| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们知道曲线 \( C \) 的参数方程为： \[ \left\{\begin{array}{l} x = 2 \cos \beta \\ y = 2 \sin \beta \end{array}\right. \] 对于动点 \( P \)，对应的参数为 \( \beta = \alpha \)，所以 \( P \) 的坐标为： \[ P(x_1, y_1) = (2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha) \] 对于动点 \( Q \)，对应的参数为 \( \beta = 2\alpha \)，所以 \( Q \) 的坐标为： \[ Q(x_2, y_2) = (2 \cos 2\alpha, 2 \sin 2\alpha) \] 中点 \( M \) 的坐标为 \( P \) 和 \( Q \) 的中点坐标，即： \[ M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] 将 \( P \) 和 \( Q \) 的坐标代入中点公式： \[ M\left( \frac{2 \cos \alpha + 2 \cos 2\alpha}{2}, \frac{2 \sin \alpha + 2 \sin 2\alpha}{2} \right) \] \[ M\left( \cos \alpha + \cos 2\alpha, \sin \alpha + \sin 2\alpha \right) \] 利用三角恒等式： \[ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \] \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \] 所以： \[ M\left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1, \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right) \] 因此，\( M \) 的轨迹的参数方程为： \[ \left\{\begin{array}{l} x = \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \\ y = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \end{array}\right. \] <eoe> 【答案】 \[ \left\{\begin{array}{l} x = \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \\ y = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \end{array}\right. \] <eoa> (2)【解析】 我们需要将 \( M \) 到坐标原点的距离 \( d \) 表示为 \( \alpha \) 的函数。 根据中点 \( M \) 的坐标： \[ M\left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1, \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right) \] 到原点的距离 \( d \) 为： \[ d = \sqrt{\left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \right)^2 + \left( \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right)^2} \] 我们展开并简化这个表达式： \[ d^2 = \left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \right)^2 + \left( \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right)^2 \] 首先计算 \( \left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \right)^2 \)： \[ \left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \right)^2 = \cos^2 \alpha + 4 \cos^3 \alpha - 2 \cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha + 4 \cos^4 \alpha - 4 \cos^3 \alpha + 1 \] \[ = 4 \cos^4 \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha + 1 \] 再计算 \( \left( \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right)^2 \)： \[ \left( \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right)^2 = \sin^2 \alpha + 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha \] \[ = \sin^2 \alpha + 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha \] 将两个部分相加： \[ d^2 = 4 \cos^4 \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha + 1 + \sin^2 \alpha + 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha \] 我们可以看到，\( d \) 的表达式比较复杂，但我们可以通过观察 \( \alpha \) 的取值范围来判断 \( M \) 的轨迹是否经过原点。 当 \( M \) 经过原点时，\( d = 0 \)，即： \[ \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 = 0 \] \[ \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0 \] 解第一个方程： \[ \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 = 0 \] \[ 2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1 = 0 \] \[ \cos \alpha = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} \] \[ \cos \alpha = \frac{1}{2} \text{ 或 } \cos \alpha = -1 \] 解第二个方程： \[ \sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha) = 0 \] \[ \sin \alpha = 0 \text{ 或 } \cos \alpha = -\frac{1}{2} \] 结合两个方程的解： \[ \cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{3} \text{ 或 } \alpha = \frac{5\pi}{3} \] \[ \cos \alpha = -1 \Rightarrow \alpha = \pi \] \[ \sin \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 0 \text{ 或 } \alpha = \pi \text{ 或 } \alpha = 2\pi \] 通过这些解，我们可以看到 \( M \) 的轨迹不经过原点。 <eoe> 【答案】 \[ d = \sqrt{\left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \right)^2 + \left( \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right)^2} \] \( M \) 的轨迹不经过原点。 <eoa> |
解: (1) 依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\left.0<\alpha<2 \pi\right)$. (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha}(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 动点 $P$ 对应参数 $\beta = \alpha$，坐标为 $(2\cos\alpha, 2\sin\alpha)$；动点 $Q$ 对应参数 $\beta = 2\alpha$，坐标为 $(2\cos2\alpha, 2\sin2\alpha)$。中点 $M$ 的坐标为： \[ x = \frac{2\cos\alpha + 2\cos2\alpha}{2} = \cos\alpha + \cos2\alpha, \] \[ y = \frac{2\sin\alpha + 2\sin2\alpha}{2} = \sin\alpha + \sin2\alpha. \] 利用三角恒等式化简： \[ \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha -1,\quad \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \] 但直接以 $\alpha$ 为参数即可。故 $M$ 的轨迹参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = \cos\alpha + \cos2\alpha, \\ y = \sin\alpha + \sin2\alpha \end{array} \right. \quad (0 < \alpha < 2\pi). \] <eoe> 【答案】 $M$ 的轨迹参数方程为 \[ \begin{cases} x = \cos\alpha + \cos2\alpha, \\ y = \sin\alpha + \sin2\alpha \end{cases} \quad (0 < \alpha < 2\pi). \] <eoa> (2)【解析】 $M$ 到原点的距离 $d = \sqrt{x^2 + y^2}$，其中： \[ x^2 + y^2 = (\cos\alpha + \cos2\alpha)^2 + (\sin\alpha + \sin2\alpha)^2. \] 展开并化简： \[ \begin{aligned} x^2 + y^2 &= \cos^2\alpha + 2\cos\alpha\cos2\alpha + \cos^2 2\alpha + \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin2\alpha + \sin^2 2\alpha \\ &= (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha) + 2(\cos\alpha\cos2\alpha + \sin\alpha\sin2\alpha) \\ &= 1 + 1 + 2\cos(\alpha) \quad (\text{由余弦差公式}) \\ &= 2 + 2\cos\alpha. \end{aligned} \] 因此， \[ d = \sqrt{2 + 2\cos\alpha} = \sqrt{4\cos^2\frac{\alpha}{2}} = 2|\cos\frac{\alpha}{2}|. \] 由于 $0 < \alpha < 2\pi$，则 $\cos\frac{\alpha}{2} \geq 0$，故 $d = 2\cos\frac{\alpha}{2}$。 当 $d = 0$ 时，$\cos\frac{\alpha}{2} = 0$，解得 $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2}$，即 $\alpha = \pi$。此时 $M$ 的坐标为： \[ x = \cos\pi + \cos2\pi = -1 + 1 = 0, \quad y = \sin\pi + \sin2\pi = 0 + 0 = 0, \] 即 $M$ 过原点。 <eoe> 【答案】 $d = 2\cos\frac{\alpha}{2}$，且 $M$ 的轨迹经过坐标原点。 <eoa> |
解: (1) 依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\left.0<\alpha<2 \pi\right)$. (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha}(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点. |
| gpto1 | (1)【解析】 根据题意，点 $P$ 和 $Q$ 在曲线 $C$ 上，对应的参数分别为 $\beta=\alpha$ 和 $\beta=2\alpha$，其中 $0<\alpha<2\pi$。 曲线 $C$ 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 2\cos\beta \\ y = 2\sin\beta \end{cases} \] 因此，点 $P$ 的坐标为： \[ \begin{cases} x_P = 2\cos\alpha \\ y_P = 2\sin\alpha \end{cases} \] 点 $Q$ 的坐标为： \[ \begin{cases} x_Q = 2\cos2\alpha \\ y_Q = 2\sin2\alpha \end{cases} \] 线段 $PQ$ 的中点 $M$ 的坐标为： \[ \begin{cases} x_M = \dfrac{x_P + x_Q}{2} = \dfrac{2\cos\alpha + 2\cos2\alpha}{2} = \cos\alpha + \cos2\alpha \\ y_M = \dfrac{y_P + y_Q}{2} = \dfrac{2\sin\alpha + 2\sin2\alpha}{2} = \sin\alpha + \sin2\alpha \end{cases} \] 利用三角恒等式，将 $x_M$ 和 $y_M$ 化简： \[ \begin{aligned} x_M &= \cos\alpha + \cos2\alpha = 2\cos\dfrac{3\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2} \\ y_M &= \sin\alpha + \sin2\alpha = 2\sin\dfrac{3\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2} \end{aligned} \] 因此，点 $M$ 的轨迹的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 2\cos\dfrac{3\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2} \\ y = 2\sin\dfrac{3\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2} \end{cases} \] 由于 $\phi = \dfrac{\alpha}{2}$，所以参数方程也可以表示为： \[ \begin{cases} x = 2\cos3\phi\cos2\phi \\ y = 2\sin3\phi\cos2\phi \end{cases} \] 或者，将 $x$ 和 $y$ 表示为： \[ \begin{cases} x = \cos\phi + \cos5\phi \\ y = \sin\phi + \sin5\phi \end{cases} \] 其中 $\phi \in \left(0, \pi\right)$。 <eoe> 【答案】 点 $M$ 的轨迹的参数方程为： \[ \begin{cases} x = \cos\alpha + \cos2\alpha \\ y = \sin\alpha + \sin2\alpha \end{cases} \] 或化简为： \[ \begin{cases} x = 2\cos\dfrac{3\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2} \\ y = 2\sin\dfrac{3\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2} \end{cases} \] <eoa> (2)【解析】 点 $M$ 到坐标原点的距离为： \[ d = \sqrt{x_M^2 + y_M^2} \] 将 $x_M$ 和 $y_M$ 代入： \[ \begin{aligned} d &= \sqrt{(\cos\alpha + \cos2\alpha)^2 + (\sin\alpha + \sin2\alpha)^2} \\ &= \sqrt{[\cos\alpha + \cos2\alpha]^2 + [\sin\alpha + \sin2\alpha]^2} \\ &= \sqrt{[\cos^2\alpha + 2\cos\alpha\cos2\alpha + \cos^22\alpha] + [\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin2\alpha + \sin^22\alpha]} \\ &= \sqrt{[\cos^2\alpha + \sin^2\alpha] + [\cos^22\alpha + \sin^22\alpha] + 2[\cos\alpha\cos2\alpha + \sin\alpha\sin2\alpha]} \\ &= \sqrt{1 + 1 + 2[\cos(\alpha - 2\alpha)]} \\ &= \sqrt{2 + 2\cos(-\alpha)} \\ &= \sqrt{2 + 2\cos\alpha} \end{aligned} \] 利用三角恒等式： \[ 2 + 2\cos\alpha = 4\cos^2\dfrac{\alpha}{2} \] 因此： \[ d = \sqrt{4\cos^2\dfrac{\alpha}{2}} = 2\left|\cos\dfrac{\alpha}{2}\right| \] 在 $0 < \alpha < 2\pi$ 的范围内，$\cos\dfrac{\alpha}{2}$ 的取值范围为 $[-1,1]$。 当 $\alpha = \pi$ 时： \[ d = 2\left|\cos\dfrac{\pi}{2}\right| = 2 \times 0 = 0 \] 因此，当 $\alpha = \pi$ 时，$d = 0$，即点 $M$ 位于坐标原点，说明轨迹经过坐标原点。 <eoe> 【答案】 $d = 2\left|\cos\dfrac{\alpha}{2}\right|$，当 $\alpha = \pi$ 时，$d = 0$，所以点 $M$ 的轨迹经过坐标原点。 <eoa> |
解: (1) 依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\left.0<\alpha<2 \pi\right)$. (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha}(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点. |
| GPT-4o | (1)【解析】 已知动点 $P$ 和 $Q$ 都在曲线 $C$ 上，对应参数分别为 $\beta=\alpha$ 和 $\beta=2\alpha$。 首先，我们求出 $P$ 和 $Q$ 的坐标： - 对于 $P$，其坐标是 $(x_P, y_P)$，根据参数方程可得： \[ x_P = 2 \cos \alpha, \quad y_P = 2 \sin \alpha \] - 对于 $Q$，其坐标是 $(x_Q, y_Q)$，根据参数方程可得： \[ x_Q = 2 \cos (2\alpha), \quad y_Q = 2 \sin (2\alpha) \] 中点 $M$ 的坐标 $(x_M, y_M)$ 由 $P$ 和 $Q$ 的坐标计算得到： \[ x_M = \frac{x_P + x_Q}{2} = \frac{2 \cos \alpha + 2 \cos (2\alpha)}{2} = \cos \alpha + \cos (2\alpha) \] \[ y_M = \frac{y_P + y_Q}{2} = \frac{2 \sin \alpha + 2 \sin (2\alpha)}{2} = \sin \alpha + \sin (2\alpha) \] 接下来，我们利用三角恒等式简化这些表达式： \[ \cos (2\alpha) = 2 \cos^2 (\alpha) - 1 \] \[ \sin (2\alpha) = 2 \sin (\alpha) \cos (\alpha) \] 因此： \[ x_M = \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \] \[ y_M = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \] 将这些表达式进一步整理，可以得到 $M$ 的轨迹的参数方程： \[ \left\{ \begin{array}{l} x_M = \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \\ y_M = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \end{array} \right. \] <eoe> 【答案】 \[ \left\{ \begin{array}{l} x_M = \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \\ y_M = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \end{array} \right. \] <eoa> (2)【解析】 我们要将 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 表示为 $\alpha$ 的函数，并判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点。 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 为： \[ d = \sqrt{x_M^2 + y_M^2} \] 代入 $x_M$ 和 $y_M$ 的表达式： \[ d = \sqrt{(\cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1)^2 + (\sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha)^2} \] 我们需要检查 $d$ 是否有可能为0，这意味着 $M$ 经过坐标原点。 考虑 $\alpha = 0$ 或 $\alpha = \pi$： - 当 $\alpha = 0$ 时， \[ x_M = \cos 0 + 2 \cos^2 0 - 1 = 1 + 2 - 1 = 2 \] \[ y_M = \sin 0 + 2 \sin 0 \cos 0 = 0 \] 所以 $d = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2 \neq 0$ - 当 $\alpha = \pi$ 时， \[ x_M = \cos \pi + 2 \cos^2 \pi - 1 = -1 + 2 - 1 = 0 \] \[ y_M = \sin \pi + 2 \sin \pi \cos \pi = 0 \] 所以 $d = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0$ 因此，$M$ 的轨迹经过坐标原点。 <eoe> 【答案】 1. 将 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 表示为 $\alpha$ 的函数： \[ d = \sqrt{(\cos \alpha + 2 \cos |
解: (1) 依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\left.0<\alpha<2 \pi\right)$. (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha}(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点. |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】由题意,设P(2\cos\alpha,2\sin\alpha),Q(2\cos2\alpha,2\sin2\alpha),则M(\cos\alpha+\cos2\alpha,\sin\alpha+\sin2\alpha),由此可得M的轨迹的参数方程为\begin{cases}x=\cos\alpha+\cos2\alpha\\y=\sin\alpha+\sin2\alpha\end{cases}.\begin{cases}x=\cos\alpha+\cos2\alpha\\y=\sin\alpha+\sin2\alpha\end{cases}(2)由(1)可得,d^{2}=(\cos\alpha+\cos2\alpha)^{2}+(\sin\alpha+\sin2\alpha)^{2}=3+2\cos\alpha,当\alpha=\frac{2\pi}{3}时,d^{2}=1,即d=1,所以M的轨迹过坐标原点. 最终结果是{(x=cos(alpha)+cos(2*alpha),y=sin(alpha)+sin(2*alpha))}(2) |
解: (1) 依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\left.0<\alpha<2 \pi\right)$. (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha}(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)由题意可得P(2\cos\alpha,2\sin\alpha),Q(2\cos2\alpha,2\sin2\alpha),所以M的坐标为(\cos\alpha+\cos2\alpha,\sin\alpha+\sin2\alpha)所以M的轨迹的参数方程为\begin{cases}x=\cos\alpha+\cos2\alpha\\y=\sin\alpha+\sin2\alpha\end{cases}(2)d=\sqrt{(\cos\alpha+\cos2\alpha)^{2}+(\sin\alpha+\sin2\alpha)^{2}}=\sqrt{3+2\cos\alpha}因为0<\alpha<2\pi,所以-1\leqslant\cos\alpha<1,所以1\leqslant3+2\cos\alpha<5,所以1\leqslant\sqrt{ |
解: (1) 依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\left.0<\alpha<2 \pi\right)$. (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha}(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 首先，我们需要找到动点 $P$ 和 $Q$ 的坐标。根据题目，动点 $P$ 和 $Q$ 都在曲线 $C$ 上，曲线 $C$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2 \\cos \\beta \\\\ y=2 \\sin \\beta\\end{array}\\right.$。动点 $P$ 对应的参数为 $\\beta=\\alpha$，因此 $P$ 的坐标为 $(2 \\cos \\alpha, 2 \\sin \\alpha)$。动点 $Q$ 对应的参数为 $\\beta=2 \\alpha$，因此 $Q$ 的坐标为 $(2 \\cos 2\\alpha, 2 \\sin 2\\alpha)$。\n\n接下来，我们需要找到 $P$ 和 $Q$ 的中点 $M$ 的坐标。中点 $M$ 的坐标为 $P$ 和 $Q$ 坐标之和的一半，即：\n\\[\nM = \\left( \\frac{2 \\cos \\alpha + 2 \\cos 2\\alpha}{2}, \\frac{2 \\sin \\alpha + 2 \\sin 2\\alpha}{2} \\right)\n\\]\n简化后得到：\n\\[\nM = (\\cos \\alpha + \\cos 2\\alpha, \\sin \\alpha + \\sin 2\\alpha)\n\\]\n\n利用三角恒等式，$\\cos 2\\alpha = 2 \\cos^2 \\alpha - 1$ 和 $\\sin 2\\alpha = 2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha$，我们可以进一步简化 $M$ 的坐标：\n\\[\nM = (\\cos \\alpha + 2 \\cos^2 \\alpha - 1, \\sin \\alpha + 2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha)\n\\]\n\\[\nM = (2 \\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1, 2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha)\n\\]\n\n因此，$M$ 的轨迹的参数方程为：\n\\[\n\\left\\{\\begin{array}{l}x = 2 \\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1 \\\\ y = 2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha\\end{array}\\right.\n\\]\n<eoe>\n【答案】\n\\[\n\\left\\{\\begin{array}{l}x = 2 \\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1 \\\\ y = 2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha\\end{array}\\right.\n\\]\n<eoa>\n\n(2)【解析】 我们需要将 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 表示为 $\\alpha$ 的函数。$M$ 的坐标为 $(x, y)$，其中 $x = 2 \\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1$ 和 $y = 2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha$。因此，$M$ 到坐标原点的距离 $d$ 为：\n\\[\nd = \\sqrt{x^2 + y^2}\n\\]\n\\[\nd = \\sqrt{(2 \\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1)^2 + (2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha)^2}\n\\]\n\n我们需要判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点。即判断是否存在 $\\alpha$ 使得 $x = 0$ 且 $y = 0$。\n\n首先，考虑 $x = 0$：\n\\[\n2 \\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1 = 0\n\\]\n这是一个关于 $\\cos \\alpha$ 的二次方程。解这个方程：\n\\[\n2 \\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1 = 0\n\\]\n使用求根公式：\n\\[\n\\cos \\alpha = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{1 + 8}}{4} = \\frac{-1 \\pm 3}{4}\n\\]\n\\[\n\\cos \\alpha = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2} \\quad \\text{或} \\quad \\cos \\alpha = \\frac{-4}{4} = -1\n\\]\n\n对于 $\\cos \\alpha = \\frac{1}{2}$，我们有 $\\alpha = \\frac{\\pi}{3}$ 或 $\\alpha = \\frac{5\\pi}{3}$。对于 $\\cos \\alpha = -1$，我们有 $\\alpha = \\pi$。\n\n接下来，考虑 $y = 0$：\n\\[\n2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha = 0\n\\]\n\\[\n\\sin \\alpha (2 \\cos \\alpha + 1) = 0\n\\]\n这意味着 $\\sin \\alpha = 0$ 或 $2 \\cos \\alpha + 1 = 0$。\n\n对于 $\\sin \\alpha = 0$，我们有 $\\alpha = 0$ 或 $\\alpha = \\pi$。对于 $2 \\cos \\alpha + 1 = 0$，我们有 $\\cos \\alpha = -\\frac{1}{2}$，即 $\\alpha = \\frac{2\\pi}{3}$ 或 $\\alpha = \\frac{4\\pi}{3}$。\n\n综上所述，$\\alpha = \\pi$ 是唯一使得 $x = 0$ 且 $y = 0$ 的值。因此，$M$ 的轨迹过坐标原点。\n<eoe>\n【答案】\n\\[\nd = \\sqrt{(2 \\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1)^2 + (2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha)^2}\n\\]\n$M$ 的轨迹过坐标原点。\n<eoa>" | 解: (1) 依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\left.0<\alpha<2 \pi\right)$. (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha}(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 首先，我们需要找到点P和点Q的坐标表达式。由题意知，曲线C的参数方程为$x=2\\cos\\beta, y=2\\sin\\beta$。对于点P，参数为$\\beta=\\alpha$，所以P的坐标为$(2\\cos\\alpha, 2\\sin\\alpha)$。对于点Q，参数为$\\beta=2\\alpha$，所以Q的坐标为$(2\\cos2\\alpha, 2\\sin2\\alpha)$。M为PQ的中点，所以M的坐标为P和Q坐标的平均值，即$M(\\frac{2\\cos\\alpha+2\\cos2\\alpha}{2}, \\frac{2\\sin\\alpha+2\\sin2\\alpha}{2})$，简化后得到$M(\\cos\\alpha+\\cos2\\alpha, \\sin\\alpha+\\sin2\\alpha)$。根据三角恒等式$\\cos\\alpha+\\cos2\\alpha=2\\cos\\frac{3\\alpha}{2}\\cos\\frac{\\alpha}{2}$和$\\sin\\alpha+\\sin2\\alpha=2\\sin\\frac{3\\alpha}{2}\\cos\\frac{\\alpha}{2}$，可以将M的坐标进一步表示为$M(2\\cos\\frac{3\\alpha}{2}\\cos\\frac{\\alpha}{2}, 2\\sin\\frac{3\\alpha}{2}\\cos\\frac{\\alpha}{2})$。因此，M的轨迹的参数方程为$x=2\\cos\\frac{3\\alpha}{2}\\cos\\frac{\\alpha}{2}, y=2\\sin\\frac{3\\alpha}{2}\\cos\\frac{\\alpha}{2}$。<eoe>\n【答案】$M$的轨迹的参数方程为$x=2\\cos\\frac{3\\alpha}{2}\\cos\\frac{\\alpha}{2}, y=2\\sin\\frac{3\\alpha}{2}\\cos\\frac{\\alpha}{2}$。<eoa>\n\n(2)【解析】 M到坐标原点的距离d可表示为$d=\\sqrt{x^2+y^2}$，将M的参数方程代入，得到$d=\\sqrt{(2\\cos\\frac{3\\alpha}{2}\\cos\\frac{\\alpha}{2})^2+(2\\sin\\frac{3\\alpha}{2}\\cos\\frac{\\alpha}{2})^2}$。根据三角函数的平方和公式，可以简化为$d=2\\cos\\frac{\\alpha}{2}$。接下来判断M的轨迹是否过坐标原点，即判断d是否能等于0。由$d=2\\cos\\frac{\\alpha}{2}=0$，得到$\\cos\\frac{\\alpha}{2}=0$，解得$\\alpha=\\pi$。因此，当$\\alpha=\\pi$时，M的轨迹过坐标原点。<eoe>\n【答案】M到坐标原点的距离d表示为$\\alpha$的函数为$d=2\\cos\\frac{\\alpha}{2}$。当$\\alpha=\\pi$时，M的轨迹过坐标原点。<eoa>" | 解: (1) 依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\left.0<\alpha<2 \pi\right)$. (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha}(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点. |
| baichuan4 | (1)【解析】 首先，我们知道点P和点Q都在曲线C上，所以它们的坐标可以表示为： P: $\left\{\begin{array}{l}x_P=2 \cos \alpha \\ y_P=2 \sin \alpha\end{array}\right.$ Q: $\left\{\begin{array}{l}x_Q=2 \cos 2\alpha \\ y_Q=2 \sin 2\alpha\end{array}\right.$ 由于M是PQ的中点，根据中点公式，我们可以得到M的坐标： M: $\left\{\begin{array}{l}x_M=\frac{x_P+x_Q}{2}=\cos \alpha + \cos 2\alpha \\ y_M=\frac{y_P+y_Q}{2}=\sin \alpha + \sin 2\alpha\end{array}\right.$ 因此，M的轨迹的参数方程为： $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha + \cos 2\alpha \\ y=\sin \alpha + \sin 2\alpha\end{array}\right.$ (其中 $0<\alpha<2\pi$) |
解: (1) 依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\left.0<\alpha<2 \pi\right)$. (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha}(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点. |
| doubao | (1)【解析】已知曲线$C$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2\cos\beta\\ y=2\sin\beta\end{array}\right.$（$\beta$为参数），消去参数$\beta$可得$x^{2}+y^{2}=4$，所以曲线$C$是圆心为$(0,0)$，半径为$2$的圆。设$P(2\cos\alpha,2\sin\alpha)$，$Q(2\cos2\alpha,2\sin2\alpha)$，则$M$点坐标为$(\frac{2\cos\alpha+2\cos2\alpha}{2},\frac{2\sin\alpha+2\sin2\alpha}{2})$，即$M(\cos\alpha+\cos2\alpha,\sin\alpha+\sin2\alpha)$，则$M$的轨迹的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\cos\alpha+\cos2\alpha\\ y=\sin\alpha+\sin2\alpha\end{array}\right.$（$\alpha$为参数）。<eoe> 【答案】$M$的轨迹的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\cos\alpha+\cos2\alpha\\ y=\sin\alpha+\sin2\alpha\end{array}\right.$（$\alpha$为参数）。<eoa> (2)【解析】$M$到坐标原点的距离$d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(\cos\alpha+\cos2\alpha)^{2}+(\sin\alpha+\sin2\alpha)^{2}}=\sqrt{2+2(\cos\alpha\cos2\alpha+\sin\alpha\sin2\alpha)}=\sqrt{2+2\cos\alpha}$。当$\alpha=\pi$时，$d=0$，所以$M$的轨迹过坐标原点。<eoe> 【答案】$d=\sqrt{2+2\cos\alpha}$，$M$的轨迹过坐标原点。<eoa> |
解: (1) 依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\left.0<\alpha<2 \pi\right)$. (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha}(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点. |
| minimax | (1)【解析】首先，我们需要找到点P和点Q的坐标。由于P和Q都在曲线C上，我们可以将它们的坐标表示为参数方程的形式。对于点P，参数为$\beta=\alpha$，所以它的坐标为$(2\cos\alpha, 2\sin\alpha)$。对于点Q，参数为$\beta=2\alpha$，所以它的坐标为$(2\cos2\alpha, 2\sin2\alpha)$。 接下来，我们需要找到中点M的坐标。中点的坐标是两个点坐标的算术平均值。因此，中点M的x坐标是P和Q的x坐标的平均值，中点M的y坐标是P和Q的y坐标的平均值。 最后，我们将中点M的坐标表示为参数$\alpha$的函数，这样就得到了M的轨迹的参数方程。<eoe> 【答案】中点M的x坐标为： \[ x_M = \frac{1}{2}(2\cos\alpha + 2\cos2\alpha) = \cos\alpha + \cos2\alpha \] 中点M的y坐标为： \[ y_M = \frac{1}{2}(2\sin\alpha + 2\sin2\alpha) = \sin\alpha + \sin2\alpha \] 利用三角恒等式$\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$和$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$，我们可以进一步简化M的坐标。 \[ x_M = \cos\alpha + 2\cos^2\alpha - 1 = 2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1 \] \[ y_M = \sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin\alpha(1 + 2\cos\alpha) \] 因此，中点M的轨迹的参数方程为： \[ \left\{\begin{array}{l} x_M = 2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1 \\ y_M = \sin\alpha(1 + 2\cos\alpha) \end{array}\right. \] 其中$0 < \alpha < 2\pi$。<eoa> (2)【解析】要找到中点M到坐标原点的距离$d$，我们可以使用距离公式$d = \sqrt{x^2 + y^2}$，其中$(x, y)$是点M的坐标。将M的参数方程代入距离公式，我们可以得到$d$关于$\alpha$的函数表达式。 然后，我们需要判断M的轨迹是否过坐标原点。如果M的轨迹过坐标原点，那么存在某个$\alpha$值使得$d = 0$。我们可以通过解方程$d(\alpha) = 0$来判断是否存在这样的$\alpha$值。<eoe> 【答案】根据距离公式，中点M到坐标原点的距离$d$为： \[ d = \sqrt{x_M^2 + y_M^2} \] \[ d = \sqrt{(2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1)^2 + (\sin\alpha(1 + 2\cos\alpha))^2} \] 为了判断M的轨迹是否过坐标原点，我们需要检查是否存在某个$\alpha$使得$d = 0$。由于$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$，我们可以看到分子中包含了$\cos^2\alpha$和$\sin^2\alpha$的项，这意味着分子不可能为零（除非$\cos\alpha$和$\sin\alpha$同时为零，但这在$0 < \alpha < 2\pi$的范围内是不可能的）。因此，$d$不可能为零，所以M的轨迹不过坐标原点。<eoa> |
解: (1) 依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\left.0<\alpha<2 \pi\right)$. (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha}(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点. |
| kimi | (1)【解析】首先，我们需要找到点P和点Q的坐标。根据给定的参数方程，我们可以得到点P的坐标为$P(2\cos\alpha, 2\sin\alpha)$，点Q的坐标为$Q(2\cos2\alpha, 2\sin2\alpha)$。 接下来，我们需要找到中点M的坐标。根据中点公式，我们有： $$x_M = \frac{x_P + x_Q}{2} = \frac{2\cos\alpha + 2\cos2\alpha}{2} = \cos\alpha + \cos2\alpha$$ $$y_M = \frac{y_P + y_Q}{2} = \frac{2\sin\alpha + 2\sin2\alpha}{2} = \sin\alpha + \sin2\alpha$$ 利用三角恒等式，我们可以将$\cos2\alpha$和$\sin2\alpha$分别表示为$\cos\alpha$和$\sin\alpha$的函数： $$\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$$ $$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$ 将这些恒等式代入M的坐标表达式中，我们可以得到M的参数方程。 <eoe> 【答案】$M$的轨迹的参数方程为： $$x_M = \cos\alpha + (2\cos^2\alpha - 1) = 2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1$$ $$y_M = \sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin\alpha(1 + 2\cos\alpha)$$ <eoa> (2)【解析】为了找到M到坐标原点的距离$d$，我们可以使用距离公式： $$d = \sqrt{x_M^2 + y_M^2}$$ 将M的坐标代入距离公式，我们得到： $$d = \sqrt{(2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1)^2 + (\sin\alpha(1 + 2\cos\alpha))^2}$$ 我们需要化简这个表达式，以得到$d$关于$\alpha$的函数。 接下来，我们需要判断M的轨迹是否过坐标原点。如果M的轨迹过原点，那么存在某个$\alpha$使得$d=0$。 <eoe> 【答案】$M$到坐标原点的距离$d$表示为$\alpha$的函数为： $$d = \sqrt{(2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1)^2 + (\sin\alpha(1 + 2\cos\alpha))^2}$$ 为了判断M的轨迹是否过坐标原点，我们需要解方程： $$(2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1)^2 + (\sin\alpha(1 + 2\cos\alpha))^2 = 0$$ 由于平方和为0，那么每一项都必须为0。然而，$\cos^2\alpha$和$\sin\alpha$的取值范围在0到1之间，所以不存在这样的$\alpha$使得上述方程成立。因此，M的轨迹不过坐标原点。 <eoa> |
解: (1) 依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\left.0<\alpha<2 \pi\right)$. (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha}(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】 首先，根据题意，动点$P$和$Q$在曲线$C$上，其参数方程分别为$\beta = \alpha$和$\beta = 2\alpha$。因此，点$P$和$Q$的坐标分别为$P(2\cos\alpha, 2\sin\alpha)$和$Q(2\cos2\alpha, 2\sin2\alpha)$。 由于$M$是$PQ$的中点，根据中点坐标公式，我们有 $x = \frac{2\cos\alpha + 2\cos2\alpha}{2} = \cos\alpha + \cos2\alpha$ $y = \frac{2\sin\alpha + 2\sin2\alpha}{2} = \sin\alpha + \sin2\alpha$ 这就是$M$的轨迹的参数方程。 【答案】 $M$的轨迹的参数方程为： $\left\{ \begin{array}{l} x = \cos\alpha + \cos2\alpha \\ y = \sin\alpha + \sin2\alpha \end{array} \right.$ 其中，$\alpha$为参数，$0 < \alpha < 2\pi$。 (2)【解析】 $M$到坐标原点的距离$d$可以通过距离公式$\sqrt{x^2 + y^2}$计算。将$M$的坐标代入，我们得到 $d = \sqrt{(\cos\alpha + \cos2\alpha)^2 + (\sin\alpha + \sin2\alpha)^2}$ 化简后，我们得到 $d = \sqrt{2 + 2(\cos\alpha\cos2\alpha + \sin\alpha\sin2\alpha)}$ $d = \sqrt{2 + 2\cos\alpha}$ 由于$0 < \alpha < 2\pi$，我们可以看出$d$的最小值大于0，因此$M$的轨迹不过坐标原点。 【答案】 $M$到坐标原点的距离$d$表示为$\alpha$的函数为： $d = \sqrt{2 + 2\cos\alpha}$ 由于$d$的最小值大于0，因此$M$的轨迹不过坐标原点。 |
解: (1) 依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\left.0<\alpha<2 \pi\right)$. (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha}(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点. |
| zhipu | (1)【解析】 首先，根据题意，动点 \( P \) 和 \( Q \) 都在曲线 \( C \) 上，曲线 \( C \) 的参数方程为： \[ \left\{\begin{array}{l} x = 2 \cos \beta \\ y = 2 \sin \beta \end{array}\right. \] 对于点 \( P \)，其参数为 \( \beta = \alpha \)，所以点 \( P \) 的坐标为： \[ P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha) \] 对于点 \( Q \)，其参数为 \( \beta = 2\alpha \)，所以点 \( Q \) 的坐标为： \[ Q(2 \cos 2\alpha, 2 \sin 2\alpha) \] 接下来，我们求 \( P \) 和 \( Q \) 的中点 \( M \) 的坐标。中点坐标公式为： \[ M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] 将 \( P \) 和 \( Q \) 的坐标代入，得到： \[ M\left( \frac{2 \cos \alpha + 2 \cos 2\alpha}{2}, \frac{2 \sin \alpha + 2 \sin 2\alpha}{2} \right) = \left( \cos \alpha + \cos 2\alpha, \sin \alpha + \sin 2\alpha \right) \] 因此，\( M \) 的轨迹的参数方程为： \[ \left\{\begin{array}{l} x = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\ y = \sin \alpha + \sin 2\alpha \end{array}\right. \quad (0 < \alpha < 2\pi) \]<eoe> 【答案】 \[ \left\{\begin{array}{l} x = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\ y = \sin \alpha + \sin 2\alpha \end{array}\right. \quad (0 < \alpha < 2\pi) \]<eoa> (2)【解析】 接下来，我们将 \( M \) 到坐标原点的距离 \( d \) 表示为 \( \alpha \) 的函数。距离公式为： \[ d = \sqrt{x^2 + y^2} \] 其中，\( x = \cos \alpha + \cos 2\alpha \) 和 \( y = \sin \alpha + \sin 2\alpha \)。所以： \[ d = \sqrt{(\cos \alpha + \cos 2\alpha)^2 + (\sin \alpha + \sin 2\alpha)^2} \] 我们展开并简化这个表达式： \[ d = \sqrt{(\cos \alpha + \cos 2\alpha)^2 + (\sin \alpha + \sin 2\alpha)^2} \] \[ = \sqrt{\cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin 2\alpha + \sin^2 2\alpha} \] 利用三角恒等式 \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \)，我们有： \[ = \sqrt{1 + 1 + 2 (\cos \alpha \cos 2\alpha + \sin \alpha \sin 2\alpha)} \] \[ = \sqrt{2 + 2 (\cos \alpha \cos 2\alpha + \sin \alpha \sin 2\alpha)} \] 再利用三角恒等式 \( \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos (A - B) \)，我们得到： \[ = \sqrt{2 + 2 \cos (\alpha - 2\alpha)} \] \[ = \sqrt{2 + 2 \cos (-\alpha)} \] \[ = \sqrt{2 + 2 \cos \alpha} \] \[ = \sqrt{2 (1 + \cos \alpha)} \] 因此，\( d \) 表示为 \( \alpha \) 的函数为： \[ d(\alpha) = \sqrt{2 (1 + \cos \alpha)} \] 接下来，判断 \( M \) 的轨迹是否过坐标原点。当 \( M \) 过坐标原点时，\( d = 0 \)，即： \[ \sqrt{2 (1 + \cos \alpha)} = 0 \] \[ 2 (1 + \cos \alpha) = 0 \] \[ 1 + \cos \alpha = 0 \] \[ \cos \alpha = -1 \] 在 \( 0 < \alpha < 2\pi \) 的范围内，\( \cos \alpha = -1 \) 时，\( \alpha = \pi \)。所以，当 \( \alpha = \pi \) 时，\( M \) 的坐标为： \[ M(\cos \pi + \cos 2\pi, \sin \pi + \sin 2\pi) = (-1 + 1, 0 + 0) = (0, 0) \] 因此，\( M \) 的轨迹过坐标原点。<eoe> 【答案】 \[ d(\alpha) = \sqrt{2 (1 + \cos \alpha)} \] \( M \) 的轨迹过坐标原点。<eoa> |
解: (1) 依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\left.0<\alpha<2 \pi\right)$. (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha}(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点. |
| gpto1 | (1)【解析】 根据题意，点 $P$ 和 $Q$ 在曲线 $C$ 上，对应的参数分别为 $\beta=\alpha$ 和 $\beta=2\alpha$，其中 $0<\alpha<2\pi$。 曲线 $C$ 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 2\cos\beta \\ y = 2\sin\beta \end{cases} \] 因此，点 $P$ 的坐标为： \[ \begin{cases} x_P = 2\cos\alpha \\ y_P = 2\sin\alpha \end{cases} \] 点 $Q$ 的坐标为： \[ \begin{cases} x_Q = 2\cos2\alpha \\ y_Q = 2\sin2\alpha \end{cases} \] 线段 $PQ$ 的中点 $M$ 的坐标为： \[ \begin{cases} x_M = \dfrac{x_P + x_Q}{2} = \dfrac{2\cos\alpha + 2\cos2\alpha}{2} = \cos\alpha + \cos2\alpha \\ y_M = \dfrac{y_P + y_Q}{2} = \dfrac{2\sin\alpha + 2\sin2\alpha}{2} = \sin\alpha + \sin2\alpha \end{cases} \] 利用三角恒等式，将 $x_M$ 和 $y_M$ 化简： \[ \begin{aligned} x_M &= \cos\alpha + \cos2\alpha = 2\cos\dfrac{3\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2} \\ y_M &= \sin\alpha + \sin2\alpha = 2\sin\dfrac{3\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2} \end{aligned} \] 因此，点 $M$ 的轨迹的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 2\cos\dfrac{3\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2} \\ y = 2\sin\dfrac{3\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2} \end{cases} \] 由于 $\phi = \dfrac{\alpha}{2}$，所以参数方程也可以表示为： \[ \begin{cases} x = 2\cos3\phi\cos2\phi \\ y = 2\sin3\phi\cos2\phi \end{cases} \] 或者，将 $x$ 和 $y$ 表示为： \[ \begin{cases} x = \cos\phi + \cos5\phi \\ y = \sin\phi + \sin5\phi \end{cases} \] 其中 $\phi \in \left(0, \pi\right)$。 <eoe> 【答案】 点 $M$ 的轨迹的参数方程为： \[ \begin{cases} x = \cos\alpha + \cos2\alpha \\ y = \sin\alpha + \sin2\alpha \end{cases} \] 或化简为： \[ \begin{cases} x = 2\cos\dfrac{3\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2} \\ y = 2\sin\dfrac{3\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2} \end{cases} \] <eoa> (2)【解析】 点 $M$ 到坐标原点的距离为： \[ d = \sqrt{x_M^2 + y_M^2} \] 将 $x_M$ 和 $y_M$ 代入： \[ \begin{aligned} d &= \sqrt{(\cos\alpha + \cos2\alpha)^2 + (\sin\alpha + \sin2\alpha)^2} \\ &= \sqrt{[\cos\alpha + \cos2\alpha]^2 + [\sin\alpha + \sin2\alpha]^2} \\ &= \sqrt{[\cos^2\alpha + 2\cos\alpha\cos2\alpha + \cos^22\alpha] + [\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin2\alpha + \sin^22\alpha]} \\ &= \sqrt{[\cos^2\alpha + \sin^2\alpha] + [\cos^22\alpha + \sin^22\alpha] + 2[\cos\alpha\cos2\alpha + \sin\alpha\sin2\alpha]} \\ &= \sqrt{1 + 1 + 2[\cos(\alpha - 2\alpha)]} \\ &= \sqrt{2 + 2\cos(-\alpha)} \\ &= \sqrt{2 + 2\cos\alpha} \end{aligned} \] 利用三角恒等式： \[ 2 + 2\cos\alpha = 4\cos^2\dfrac{\alpha}{2} \] 因此： \[ d = \sqrt{4\cos^2\dfrac{\alpha}{2}} = 2\left|\cos\dfrac{\alpha}{2}\right| \] 在 $0 < \alpha < 2\pi$ 的范围内，$\cos\dfrac{\alpha}{2}$ 的取值范围为 $[-1,1]$。 当 $\alpha = \pi$ 时： \[ d = 2\left|\cos\dfrac{\pi}{2}\right| = 2 \times 0 = 0 \] 因此，当 $\alpha = \pi$ 时，$d = 0$，即点 $M$ 位于坐标原点，说明轨迹经过坐标原点。 <eoe> 【答案】 $d = 2\left|\cos\dfrac{\alpha}{2}\right|$，当 $\alpha = \pi$ 时，$d = 0$，所以点 $M$ 的轨迹经过坐标原点。 <eoa> |
解: (1) 依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\left.0<\alpha<2 \pi\right)$. (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha}(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点. |
| deepseekv3 | ### (1) 求 \( M \) 的轨迹的参数方程 【解析】 已知点 \( P \) 和 \( Q \) 都在曲线 \( C \) 上，曲线 \( C \) 的参数方程为： \[ \left\{\begin{array}{l} x = 2 \cos \beta \\ y = 2 \sin \beta \end{array}\right. \] 点 \( P \) 对应的参数为 \( \beta = \alpha \)，点 \( Q \) 对应的参数为 \( \beta = 2\alpha \)。 因此，点 \( P \) 和 \( Q \) 的坐标分别为： \[ P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), \quad Q(2 \cos 2\alpha, 2 \sin 2\alpha) \] 点 \( M \) 是 \( PQ \) 的中点，根据中点公式，\( M \) 的坐标为： \[ M\left(\frac{2 \cos \alpha + 2 \cos 2\alpha}{2}, \frac{2 \sin \alpha + 2 \sin 2\alpha}{2}\right) = (\cos \alpha + \cos 2\alpha, \sin \alpha + \sin 2\alpha) \] 因此，\( M \) 的轨迹的参数方程为： \[ \left\{\begin{array}{l} x = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\ y = \sin \alpha + \sin 2\alpha \end{array}\right. \] <eoe> 【答案】 \( M \) 的轨迹的参数方程为： \[ \left\{\begin{array}{l} x = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\ y = \sin \alpha + \sin 2\alpha \end{array}\right. \] <eoa> ### (2) 将 \( M \) 到坐标原点的距离 \( d \) 表示为 \( \alpha \) 的函数，并判断 \( M \) 的轨迹是否过坐标原点 【解析】 首先，\( M \) 的坐标为 \( (\cos \alpha + \cos 2\alpha, \sin \alpha + \sin 2\alpha) \)。\( M \) 到原点的距离 \( d \) 为： \[ d = \sqrt{(\cos \alpha + \cos 2\alpha)^2 + (\sin \alpha + \sin 2\alpha)^2} \] 展开并简化： \[ d^2 = (\cos \alpha + \cos 2\alpha)^2 + (\sin \alpha + \sin 2\alpha)^2 \] \[ = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin 2\alpha + \sin^2 2\alpha \] 利用三角恒等式 \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \)，得到： \[ d^2 = 1 + 1 + 2(\cos \alpha \cos 2\alpha + \sin \alpha \sin 2\alpha) \] 利用余弦差公式 \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)，有： \[ d^2 = 2 + 2 \cos(\alpha - 2\alpha) = 2 + 2 \cos(-\alpha) = 2 + 2 \cos \alpha \] 因此： \[ d = \sqrt{2(1 + \cos \alpha)} = \sqrt{4 \cos^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right)} = 2 \left|\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)\right| \] 由于 \( 0 < \alpha < 2\pi \)，所以 \( \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) \) 的绝对值可以去掉，得到： \[ d = 2 \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) \] 接下来判断 \( M \) 的轨迹是否过原点。当 \( M \) 过原点时，\( d = 0 \)，即： \[ 2 \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = 0 \Rightarrow \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = 0 \] 解得： \[ \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 由于 \( 0 < \alpha < 2\pi \)，所以 \( \alpha = \pi \)。当 \( \alpha = \pi \) 时，\( M \) 的坐标为： \[ M(\cos \pi + \cos 2\pi, \sin \pi + \sin 2\pi) = (-1 + 1, 0 + 0) = (0, 0) \] 因此，\( M \) 的轨迹过原点。 <eoe> 【答案】 \( M \) 到坐标原点的距离 \( d \) 表示为： \[ d = 2 \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) \] \( M \) 的轨迹过坐标原点。 <eoa> |
解: (1) 依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\left.0<\alpha<2 \pi\right)$. (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha}(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点. |