| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们需要将极坐标方程 \(\rho = 2 \cos \theta\) 转换为参数方程。极坐标方程 \(\rho = 2 \cos \theta\) 表示的是一个半圆，\(\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]\)。 在极坐标系中，\(\rho\) 和 \(\theta\) 与直角坐标系中的 \(x\) 和 \(y\) 的关系为： \[ x = \rho \cos \theta \] \[ y = \rho \sin \theta \] 将 \(\rho = 2 \cos \theta\) 代入上面的公式中： \[ x = (2 \cos \theta) \cos \theta = 2 \cos^2 \theta \] \[ y = (2 \cos \theta) \sin \theta = 2 \cos \theta \sin \theta \] 利用三角恒等式 \(\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta\) 和 \(\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\)，我们可以进一步简化： \[ x = 2 \cos^2 \theta = 2 \left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right) = 1 + \cos 2\theta \] \[ y = 2 \cos \theta \sin \theta = \sin 2\theta \] 因此，半圆 \(C\) 的参数方程为： \[ x = 1 + \cos 2\theta \] \[ y = \sin 2\theta \] 其中，\(\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]\)。 <eoe> 【答案】 \[ x = 1 + \cos 2\theta \] \[ y = \sin 2\theta \] 其中，\(\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]\)。 <eoa> (2)【解析】 设点 \(D\) 在半圆 \(C\) 上，其参数为 \(\theta\)，则 \(D\) 的坐标为： \[ x_D = 1 + \cos 2\theta \] \[ y_D = \sin 2\theta \] 半圆 \(C\) 在 \(D\) 处的切线的斜率可以通过求导得到。我们先求出 \(x\) 和 \(y\) 对 \(\theta\) 的导数： \[ \frac{dx}{d\theta} = -2 \sin 2\theta \] \[ \frac{dy}{d\theta} = 2 \cos 2\theta \] 切线的斜率 \(k\) 为： \[ k = \frac{dy}{dx} = \frac{2 \cos 2\theta}{-2 \sin 2\theta} = -\cot 2\theta \] 题目中给出切线与直线 \(I: y = \sqrt{3} x + 2\) 垂直，因此切线的斜率 \(k\) 应该是直线 \(I\) 的斜率的负倒数。直线 \(I\) 的斜率为 \(\sqrt{3}\)，所以切线的斜率为 \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)。 因此，我们有： \[ -\cot 2\theta = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ \cot 2\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ 2\theta = \frac{\pi}{6} \] \[ \theta = \frac{\pi}{12} \] 将 \(\theta = \frac{\pi}{12}\) 代入 \(D\) 的坐标公式中： \[ x_D = 1 + \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \] \[ y_D = \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \] 因此，点 \(D\) 的坐标为 \(\left(\frac{2 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\)。 直线 \(CD\) 的倾斜角为 \(\theta\)，即 \(\frac{\pi}{12}\)。 <eoe> 【答案】 直线 \(CD\) 的倾斜角为 \(\frac{\pi}{12}\)，点 \(D\) 的坐标为 \(\left(\frac{2 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\)。 <eoa> |
解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \leqslant y \leqslant 1)$. 可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}(t\right.$ 为参数, $0 \leqslant t \leqslant \pi)$. (2) 设 $D(1+\cos t, \sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆， $\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\therefore \operatorname{tant}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$. 故 $D$ 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$, 即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0, π/2]。将其转换为直角坐标方程：ρ=2cosθ两边乘以ρ得ρ²=2ρcosθ，即x²+y²=2x，整理为(x-1)²+y²=1，表示以(1,0)为圆心，半径1的圆。由于θ∈[0, π/2]，对应上半圆。参数方程可写为圆心角α∈[0, π]，即： \[ \begin{cases} x = 1 + \cos\alpha, \\ y = \sin\alpha, \end{cases} \] 其中α为参数，范围[0, π]。 <eoe> 【答案】 (I) 半圆C的参数方程为 \[ \begin{cases} x = 1 + \cos\theta, \\ y = \sin\theta, \end{cases} \] 其中θ为参数，且θ ∈ [0, \pi]。 <eoa> (2)【解析】 半圆C在点D处的切线斜率为-1/√3（与直线l垂直）。圆心(1,0)到点D的半径斜率为tanθ，切线斜率为-cotθ。令-cotθ = -1/√3，得θ=π/3。点D坐标为： \[ x = 1 + \cos\frac{\pi}{3} = \frac{3}{2}, \quad y = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] 直线CD（圆心到D）的斜率为√3，倾斜角为π/3。 <eoe> 【答案】 (II) 直线CD的倾斜角为\(\frac{\pi}{3}\)，点D的坐标为\(\left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)\)。 <eoa> |
解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \leqslant y \leqslant 1)$. 可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}(t\right.$ 为参数, $0 \leqslant t \leqslant \pi)$. (2) 设 $D(1+\cos t, \sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆， $\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\therefore \operatorname{tant}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$. 故 $D$ 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$, 即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. |
| gpto1 | (1)【解析】 将极坐标方程 \(\rho = 2\cos\theta\) 转换为参数方程。 在极坐标系中，点的坐标为： \[ \begin{cases} x = \rho \cos\theta = (2\cos\theta)\cos\theta = 2\cos^2\theta \\ y = \rho \sin\theta = (2\cos\theta)\sin\theta = 2\cos\theta \sin\theta \end{cases} \] 利用三角恒等式： \[ \begin{cases} \cos2\theta = 2\cos^2\theta -1 \Rightarrow \cos^2\theta = \dfrac{1+\cos2\theta}{2} \\ \sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta \end{cases} \] 所以，参数方程为： \[ \begin{cases} x = 2\cos^2\theta = 1+\cos2\theta \\ y = 2\cos\theta \sin\theta = \sin2\theta \end{cases} \] 其中，\(\theta \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)。 <eoe> 【答案】 \( C \) 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 1+\cos2\theta \\ y = \sin2\theta \end{cases} \] 其中，\(\theta \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)。 <eoa> (2)【解析】 已知直线 \( l: y = \sqrt{3}x + 2 \)，其斜率为 \( m_l = \sqrt{3} \)。 设点 \( D \) 对应的参数为 \(\theta\)，曲线 \( C \) 在点 \( D \) 处的切线斜率为： \[ \begin{align*} x &= 1+\cos2\theta \\ y &= \sin2\theta \\ \dfrac{dx}{d\theta} &= -2\sin2\theta \\ \dfrac{dy}{d\theta} &= 2\cos2\theta \\ m_t &= \dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \dfrac{2\cos2\theta}{-2\sin2\theta} = -\cot2\theta \end{align*} \] 因切线与直线 \( l \) 垂直，故有： \[ m_t \cdot m_l = -1 \Rightarrow -\cot2\theta \cdot \sqrt{3} = -1 \Rightarrow \cot2\theta = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \] 解得： \[ 2\theta = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{6} \] 代入参数方程，得点 \( D \) 的坐标： \[ \begin{cases} x_D = 1 + \cos\left(2 \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) = 1 + \cos\dfrac{\pi}{3} = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \\ y_D = \sin\left(2 \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \] 连线 \( CD \) 的斜率为： \[ m_{CD} = \dfrac{y_D - 0}{x_D - 0} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \] 故连线 \( CD \) 的倾斜角为： \[ \alpha = \arctan m_{CD} = \arctan\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right ) = \dfrac{\pi}{6} \] <eoe> 【答案】 直线 \( CD \) 的倾斜角为 \( \dfrac{\pi}{6} \)，点 \( D \) 的坐标为 \( \left( \dfrac{3}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right ) \)。 <eoa> |
解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \leqslant y \leqslant 1)$. 可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}(t\right.$ 为参数, $0 \leqslant t \leqslant \pi)$. (2) 设 $D(1+\cos t, \sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆， $\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\therefore \operatorname{tant}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$. 故 $D$ 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$, 即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. |
| GPT-4o | (1)【解析】 半圆 \( C \) 的极坐标方程为 \(\rho = 2 \cos \theta\)，其中 \(\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]\)。 首先，我们将极坐标方程转换为参数方程。记 \(\rho = x\) 和 \(\theta = t\)，则有 \(\rho = 2 \cos t\)。 在极坐标系中，转换为直角坐标系的公式为： \[ x = \rho \cos \theta \] \[ y = \rho \sin \theta \] 将 \(\rho = 2 \cos t\) 代入： \[ x = (2 \cos t) \cos t = 2 \cos^2 t \] \[ y = (2 \cos t) \sin t = 2 \cos t \sin t \] 因此，半圆 \( C \) 的参数方程为： \[ x = 2 \cos^2 t \] \[ y = 2 \cos t \sin t \] 其中 \( t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \)。<eoe> 【答案】\( x = 2 \cos^2 t \), \( y = 2 \cos t \sin t \), \( t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \)<eoa> (2)【解析】 设点 \( D \) 在半圆 \( C \) 上，半圆 \( C \) 在 \( D \) 处的切线与直线 \( l: y = \sqrt{3} x + 2 \) 垂直。 直线 \( l \) 的斜率为 \(\sqrt{3}\)，因此与之垂直的直线的斜率应为 \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)。 设点 \( D \) 的参数为 \( t \)，即 \( D \) 的坐标为： \[ x_D = 2 \cos^2 t \] \[ y_D = 2 \cos t \sin t \] 在点 \( D \) 处，曲线的切线斜率 \(\frac{dy}{dx}\) 可由参数方程求得： \[ \frac{dy}{dt} = 2 (\cos^2 t - \sin^2 t) \] \[ \frac{dx}{dt} = -4 \cos t \sin t \] 因此曲线的切线斜率为： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{2 (\cos^2 t - \sin^2 t)}{-4 \cos t \sin t} = -\frac{\cos^2 t - \sin^2 t}{2 \cos t \sin t} = -\frac{\cot t - \tan t}{2} \] 令其等于 \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)，得到： \[ -\frac{\cot t - \tan t}{2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ \cot t - \tan t = \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ \frac{\cos t}{\sin t} - \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ \frac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\sin t \cos t} = \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ \cos 2t = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin 2t \] 令 \( \cos 2t = x \)， \(\sin 2t = y\)，则有 \( x^2 + y^2 = 1 \)： \[ x = \frac{2}{\sqrt{3}} y \] \[ \left(\frac{2}{\sqrt{3}} y\right)^2 + y^2 = 1 \] \[ \frac{4}{3} y^2 + y^2 = 1 \] \[ \frac{7}{3} y^2 = 1 \] \[ y^2 = \frac{3}{7} \] \[ y = \pm\sqrt{\frac{3}{7}} \] 因此： \[ \sin 2t = \pm\sqrt{\frac{3}{7}} \] \[ \cos 2t = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin 2t = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{\frac{3}{7}} |
解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \leqslant y \leqslant 1)$. 可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}(t\right.$ 为参数, $0 \leqslant t \leqslant \pi)$. (2) 设 $D(1+\cos t, \sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆， $\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\therefore \operatorname{tant}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$. 故 $D$ 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$, 即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 (I) 由题意,半圆C的极坐标方程为\rho=2\cos\theta,\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right],即x=2\cos^{2}\theta,y=2\sin\theta\cos\theta,所以x=1-\sin^{2}\theta,y=\sin2\theta,令t=\sin\theta,则x=1-t^{2},y=2t\sqrt{1-t^{2}},所以半圆C的参数方程为\begin{cases}x=1-t^{2}\\y=2t\sqrt{1-t^{2}}\end{cases},t\in[0,1](II)由题意,直线l:y=\sqrt{3}x+2的斜率为\sqrt{3},所以直线CD的斜率为-\frac{\sqrt{3}}{3},所以\frac{dy}{dx}=-\frac{\sqrt{3}}{3},即\frac{2\sqrt{1-t^{2}}-2t^{2}}{2t}=-\frac{\sqrt{3}}{3},解得t=\frac{\sqrt{6}}{6},所以\sin\theta=\frac{\sqrt{6}}{6},所以\theta=\frac{\pi}{6},所以D(\frac{5}{4},\frac{\sqrt{3}}{2}),所以直线CD的倾斜角为\frac{5\pi}{6}. 最终结果是{(x=1-t^2,y=2*t*sqrt(1-t^2),t in [0,1])} {(5*pi/6,(5/4,sqrt(3)/2))} |
解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \leqslant y \leqslant 1)$. 可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}(t\right.$ 为参数, $0 \leqslant t \leqslant \pi)$. (2) 设 $D(1+\cos t, \sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆， $\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\therefore \operatorname{tant}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$. 故 $D$ 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$, 即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)由题意,半圆C的直角坐标方程为x^{2}+y^{2}=2x,即(x-1)^{2}+y^{2}=1,所以半圆C的圆心为(1,0),半径为1,所以半圆C的参数方程为\begin{cases}x=1+\cos\\y=\sin\end{cases}t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}](2)由题意,半圆C在D处的切线与直线l:y=\sqrt{3}x+2垂直,所以半圆C在D处的切线的斜率为-\frac{\sqrt{3}}{3}设D(1+\cos\theta,\sin\theta),则\frac{d}{dx}(1+\cos\theta,\sin\theta)|_{t |
解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \leqslant y \leqslant 1)$. 可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}(t\right.$ 为参数, $0 \leqslant t \leqslant \pi)$. (2) 设 $D(1+\cos t, \sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆， $\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\therefore \operatorname{tant}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$. 故 $D$ 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$, 即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(I) 【解析】 首先，我们知道半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\\rho=2 \\cos \\theta, \\theta \\in\\left[0, \\frac{\\pi}{2}\\right]$。为了找到其参数方程，我们需要将其转换为直角坐标系中的方程。\n\n在极坐标系中，$\\rho$ 和 $\\theta$ 与直角坐标系中的 $x$ 和 $y$ 的关系为：\n\\[ x = \\rho \\cos \\theta \\]\n\\[ y = \\rho \\sin \\theta \\]\n\n将 $\\rho = 2 \\cos \\theta$ 代入上述关系中，我们得到：\n\\[ x = 2 \\cos \\theta \\cos \\theta = 2 \\cos^2 \\theta \\]\n\\[ y = 2 \\cos \\theta \\sin \\theta \\]\n\n利用三角恒等式 $\\cos^2 \\theta = \\frac{1 + \\cos 2\\theta}{2}$ 和 $\\sin 2\\theta = 2 \\sin \\theta \\cos \\theta$，我们可以进一步简化：\n\\[ x = 2 \\left( \\frac{1 + \\cos 2\\theta}{2} \\right) = 1 + \\cos 2\\theta \\]\n\\[ y = 2 \\cos \\theta \\sin \\theta = \\sin 2\\theta \\]\n\n因此，半圆 $C$ 的参数方程为：\n\\[ x = 1 + \\cos 2\\theta \\]\n\\[ y = \\sin 2\\theta \\]\n其中 $\\theta \\in\\left[0, \\frac{\\pi}{2}\\right]$。\n<eoe>\n【答案】\n\\[ x = 1 + \\cos 2\\theta \\]\n\\[ y = \\sin 2\\theta \\]\n其中 $\\theta \\in\\left[0, \\frac{\\pi}{2}\\right]$。\n<eoa>\n\n(II) 【解析】 设点 $D$ 在半圆 $C$ 上，半圆 $C$ 在 $D$ 处的切线与直线 $I: y=\\sqrt{3} x+2$ 垂直。首先，我们需要找到直线 $I$ 的斜率。直线 $I$ 的方程为 $y = \\sqrt{3} x + 2$，其斜率为 $\\sqrt{3}$。\n\n因为半圆 $C$ 在 $D$ 处的切线与直线 $I$ 垂直，所以切线的斜率应为 $-\\frac{1}{\\sqrt{3}}$。\n\n根据参数方程 $x = 1 + \\cos 2\\theta$ 和 $y = \\sin 2\\theta$，我们可以求出 $D$ 处的切线斜率。切线的斜率是参数方程的导数：\n\\[ \\frac{dy}{dx} = \\frac{\\frac{dy}{d\\theta}}{\\frac{dx}{d\\theta}} \\]\n\n计算 $\\frac{dy}{d\\theta}$ 和 $\\frac{dx}{d\\theta}$：\n\\[ \\frac{dy}{d\\theta} = \\frac{d}{d\\theta} (\\sin 2\\theta) = 2 \\cos 2\\theta \\]\n\\[ \\frac{dx}{d\\theta} = \\frac{d}{d\\theta} (1 + \\cos 2\\theta) = -2 \\sin 2\\theta \\]\n\n因此，切线的斜率为：\n\\[ \\frac{dy}{dx} = \\frac{2 \\cos 2\\theta}{-2 \\sin 2\\theta} = -\\frac{\\cos 2\\theta}{\\sin 2\\theta} = -\\cot 2\\theta \\]\n\n我们知道切线的斜率 $-\\cot 2\\theta = -\\frac{1}{\\sqrt{3}}$，所以：\n\\[ \\cot 2\\theta = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\]\n\\[ 2\\theta = \\frac{\\pi}{3} \\]\n\\[ \\theta = \\frac{\\pi}{6} \\]\n\n将 $\\theta = \\frac{\\pi}{6}$ 代入参数方程中，求出 $D$ 的坐标：\n\\[ x = 1 + \\cos 2\\left(\\frac{\\pi}{6}\\right) = 1 + \\cos \\left(\\frac{\\pi}{3}\\right) = 1 + \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2} \\]\n\\[ y = \\sin 2\\left(\\frac{\\pi}{6}\\right) = \\sin \\left(\\frac{\\pi}{3}\\right) = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\]\n\n因此，点 $D$ 的坐标为 $\\left(\\frac{3}{2}, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$。\n\n直线 $CD$ 的倾斜角为 $\\theta = \\frac{\\pi}{6}$。\n<eoe>\n【答案】\n直线 $CD$ 的倾斜角为 $\\frac{\\pi}{6}$，点 $D$ 的坐标为 $\\left(\\frac{3}{2}, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$。\n<eoa>" | 解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \leqslant y \leqslant 1)$. 可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}(t\right.$ 为参数, $0 \leqslant t \leqslant \pi)$. (2) 设 $D(1+\cos t, \sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆， $\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\therefore \operatorname{tant}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$. 故 $D$ 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$, 即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】\n首先, 我们需要将极坐标方程 $\\rho=2\\cos\\theta, \\theta \\in\\left[0, \\frac{\\pi}{2}\\right]$ 转换为直角坐标系下的参数方程。\n\n我们知道在直角坐标系中, 极坐标与直角坐标之间的转换关系是 $x=\\rho\\cos\\theta$ 和 $y=\\rho\\sin\\theta$。\n\n将 $\\rho=2\\cos\\theta$ 代入上述转换关系, 可得:\n\\[x=2\\cos\\theta\\cos\\theta=2\\cos^2\\theta\\]\n\\[y=2\\cos\\theta\\sin\\theta\\]\n\n使用二倍角公式 $\\cos2\\theta=2\\cos^2\\theta-1$ 和 $\\sin2\\theta=2\\sin\\theta\\cos\\theta$, 可以进一步简化上述方程:\n\\[x=2\\cos^2\\theta=1+\\cos2\\theta\\]\n\\[y=\\sin2\\theta\\]\n\n但是, 由于 $\\theta \\in\\left[0, \\frac{\\pi}{2}\\right]$, 即 $\\theta$ 的范围限制了 $2\\theta$ 的范围为 $\\left[0, \\pi\\right]$。因此, 我们可以直接使用 $x=\\rho\\cos\\theta$ 和 $y=\\rho\\sin\\theta$ 来表示参数方程, 其中 $\\rho=2\\cos\\theta$:\n\\[x=2\\cos\\theta\\]\n\\[y=2\\sin\\theta\\cos\\theta=\\sin2\\theta\\]\n\n因此, 半圆 $C$ 的参数方程为 $x=2\\cos\\theta$ 和 $y=\\sin2\\theta$, 其中 $\\theta \\in\\left[0, \\frac{\\pi}{2}\\right]$。<eoe>\n\n【答案】\n半圆 $C$ 的参数方程为 $x=2\\cos\\theta$ 和 $y=\\sin2\\theta$, 其中 $\\theta \\in\\left[0, \\frac{\\pi}{2}\\right]$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n接下来, 我们要找到点 $D$ 的坐标, 使得半圆 $C$ 在 $D$ 处的切线与直线 $I: y=\\sqrt{3}x+2$ 垂直。\n\n我们知道, 直线 $I$ 的斜率为 $\\sqrt{3}$, 由于切线与直线 $I$ 垂直, 所以切线的斜率为 $-\\frac{1}{\\sqrt{3}}$。\n\n由半圆 $C$ 的参数方程 $x=2\\cos\\theta$ 和 $y=\\sin2\\theta$, 可以求出 $C$ 在任意点的导数(即切线斜率)。由于 $x$ 和 $y$ 关于 $\\theta$ 的导数分别为:\n\\[x'(\\theta)=-2\\sin\\theta\\]\n\\[y'(\\theta)=2\\cos2\\theta\\]\n\n因此, 切线的斜率为:\n\\[\\frac{dy}{dx}=\\frac{y'(\\theta)}{x'(\\theta)}=\\frac{2\\cos2\\theta}{-2\\sin\\theta}=-\\frac{\\cos2\\theta}{\\sin\\theta}\\]\n\n由于切线的斜率为 $-\\frac{1}{\\sqrt{3}}$, 我们有:\n\\[-\\frac{\\cos2\\theta}{\\sin\\theta}=-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\n\n解上述方程, 可得 $\\theta$ 的值, 从而可以找到点 $D$ 的坐标。\n\n解方程:\n\\[-\\frac{\\cos2\\theta}{\\sin\\theta}=-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\n\n即:\n\\[\\frac{\\cos2\\theta}{\\sin\\theta}=\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\n\n利用二倍角公式 $\\cos2\\theta=1-2\\sin^2\\theta$:\n\\[\\frac{1-2\\sin^2\\theta}{\\sin\\theta}=\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\n\n化简得:\n\\[1-2\\sin^2\\theta=\\frac{\\sin\\theta}{\\sqrt{3}}\\]\n\n整理得:\n\\[2\\sin^2\\theta+\\frac{\\sin\\theta}{\\sqrt{3}}-1=0\\]\n\n令 $t=\\sin\\theta$, 则有:\n\\[2t^2+\\frac{t}{\\sqrt{3}}-1=0\\]\n\n解上述方程, 可得 $t$ 的值, 从而得到 $\\theta$ 的值, 进而求得点 $D$ 的坐标。\n\n解上述方程, 我们得到 $t=\\sin\\theta=\\frac{1}{\\sqrt{3}}$ 或 $t=\\sin\\theta=-\\frac{1}{2\\sqrt{3}}$。由于 $\\theta \\in\\left[0, \\frac{\\pi}{2}\\right]$, 我们只考虑 $t=\\sin\\theta=\\frac{1}{\\sqrt{3}}$ 的解。\n\n因此, $\\theta=\\arcsin\\left(\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\right)$。\n\n将 $\\theta=\\arcsin\\left(\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\right)$ 代入半圆 $C$ 的参数方程 $x=2\\cos\\theta$ 和 $y=\\sin2\\theta$, 可得点 $D$ 的坐标为:\n\\[x=2\\cos\\left(\\arcsin\\left(\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\right)\\right)\\]\n\\[y=\\sin2\\left(\\arcsin\\left(\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\right)\\right)\\]\n\n计算上述坐标, 可得点 $D$ 的坐标。\n\n最后, 直线 $CD$ 的倾斜角即为切线的倾斜角, 由于切线的斜率为 $-\\frac{1}{\\sqrt{3}}$, 其倾斜角 $\\alpha$ 满足:\n\\[\\tan\\alpha=-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\n\n解得 $\\alpha=\\frac{5\\pi}{6}$ 或 $\\alpha=-\\frac{\\pi}{6}$。由于 $\\theta \\in\\left[0, \\frac{\\pi}{2}\\right]$, 即点 $D$ 位于第一象限, 我们只考虑 $\\alpha=\\frac{5\\pi}{6}$ 的解。\n\n因此, 直线 $CD$ 的倾斜角为 $\\frac{5\\pi}{6}$。<eoe>\n\n【答案】\n直线 $CD$ 的倾斜角为 $\\frac{5\\pi}{6}$, 点 $D$ 的坐标为 $\\left(2\\cos\\left(\\arcsin\\left(\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\right)\\right), \\sin2\\left(\\arcsin\\left(\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\right)\\right)\\right)$。<eoa>" | 解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \leqslant y \leqslant 1)$. 可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}(t\right.$ 为参数, $0 \leqslant t \leqslant \pi)$. (2) 设 $D(1+\cos t, \sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆， $\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\therefore \operatorname{tant}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$. 故 $D$ 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$, 即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. |
| baichuan4 | (I) 求 C 的参数方程; 【解析】极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$，可以转换为参数方程。在极坐标系中，任意一点的坐标可以表示为 $(x, y) = (\rho \cos \theta, \rho \sin \theta)$，代入给定的极坐标方程得到参数方程： $$ \begin{cases} x = 2 \cos^2 \theta \\ y = 2 \cos \theta \sin \theta \end{cases} $$ 其中 $\theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$。 【答案】参数方程为： $$ \begin{cases} x = 2 \cos^2 \theta \\ y = 2 \cos \theta \sin \theta \end{cases} $$ 其中 $\theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$。 (II) 设点 $D$ 在半圆 $C$ 上, 半圆 $C$ 在 $D$ 处的切线与直线 $I: y=\sqrt{3} x+2$ 垂直, 根据 （1）中你得到的参数方程, 求直线 $C D$ 的倾斜角及 $D$ 的坐标. 【解析】首先，由于半圆 $C$ 在 $D$ 处的切线与直线 $I: y=\sqrt{3} x+2$ 垂直，直线 $I$ 的斜率为 $\sqrt{3}$，所以切线的斜率为 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$（垂直线斜率的乘积为 -1）。根据参数方程，我们可以求出半圆 $C$ 上任意一点的导数（即斜率）： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{2(\cos \theta \cos \theta - \sin \theta \sin \theta)}{-4 \cos \theta \sin \theta} = \frac{-2 \cos 2\theta}{-4 \cos \theta \sin \theta} $$ 将切线的斜率 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ 代入上式，得到： $$ -\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{-2 \cos 2\theta}{-4 \cos \theta \sin \theta} $$ 化简得： $$ \cos 2\theta = 2 \cos \theta \sin \theta $$ 使用二倍角公式 $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$，得到： $$ 2 \cos^2 \theta - 1 = 2 \cos \theta \sin \theta $$ 由于 $\theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$，$\cos \theta$ 和 $\sin \theta$ 都是正的，所以我们可以除以 $2 \cos \theta$ 得到： $$ \cos \theta - \frac{1}{2} = \sin \theta $$ 使用 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，我们可以解出 $\theta$ 的值。但是，我们注意到这个方程没有简单的解析解，因此我们需要使用数值方法来找到满足条件的 $\theta$ 值。 为了简化问题，我们可以使用图形计算器或数学软件来帮助我们找到 $\theta$ 的值。假设我们找到了满足条件的 $\theta$ 值，我们可以将其代入参数方程来找到 $D$ 的坐标。 设 $\theta$ 的值为 $\theta_0$，则 $D$ 的坐标为 $(2 \cos^2 \theta_0, 2 \cos \theta_0 \sin \theta_0)$。 直线 $CD$ 的倾斜角可以通过切线的斜率来确定。由于切线的斜率为 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$，倾斜角 $\alpha$ 满足 $\tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得 $\alpha = \frac{5\pi}{6}$（在第二象限，因为斜率为负）。 【答案】假设我们通过数值方法找到了满足条件的 $\theta_0$，则 $D$ 的坐标为 $(2 \cos^2 \theta_0, 2 \cos \theta_0 \sin \theta_0)$，直线 $CD$ 的倾斜角为 $\frac{5\pi}{6}$。由于题目中没有提供具体的数值方法，我们无法给出具体的坐标值。在实际操作中，可以使用图形计算器或数学软件来找到 $\theta_0$ 的具体值。 |
解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \leqslant y \leqslant 1)$. 可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}(t\right.$ 为参数, $0 \leqslant t \leqslant \pi)$. (2) 设 $D(1+\cos t, \sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆， $\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\therefore \operatorname{tant}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$. 故 $D$ 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$, 即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. |
| doubao | (1)【解析】已知半圆$C$的极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$，即$\rho^2=2\rho\cos\theta$，转化为直角坐标方程为$x^2+y^2=2x$，整理得$(x-1)^2+y^2=1(y\geq0)$。则参数方程为$\begin{cases}x=1+\cos t\\y=\sin t\end{cases}$（$t$为参数，$0\leq t\leq\pi$）。<eoe> 【答案】$\begin{cases}x=1+\cos t\\y=\sin t\end{cases}$（$t$为参数，$0\leq t\leq\pi$）<eoa> (2)【解析】设$D(1+\cos t,\sin t)$，对半圆$C$的参数方程求导可得$x'=-\sin t$，$y'=\cos t$，所以半圆$C$在$D$处切线的斜率为$\frac{\cos t}{-\sin t}=-\frac{1}{\tan t}$。直线$l:y=\sqrt{3}x+2$的斜率为$\sqrt{3}$，因为切线与直线$l$垂直，所以$-\frac{1}{\tan t}\times\sqrt{3}=-1$，解得$\tan t=\sqrt{3}$，又因为$0\leq t\leq\pi$，所以$t=\frac{\pi}{3}$，则$D(1+\cos\frac{\pi}{3},\sin\frac{\pi}{3})=(1+\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，直线$CD$的倾斜角为$\frac{\pi}{3}$。<eoe> 【答案】直线$CD$的倾斜角为$\frac{\pi}{3}$，$D$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$<eoa> |
解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \leqslant y \leqslant 1)$. 可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}(t\right.$ 为参数, $0 \leqslant t \leqslant \pi)$. (2) 设 $D(1+\cos t, \sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆， $\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\therefore \operatorname{tant}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$. 故 $D$ 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$, 即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. |
| minimax | (1)【解析】 首先，我们需要将半圆$C$的极坐标方程$\rho=2 \cos \theta$转换为直角坐标系中的参数方程。在极坐标系中，点的直角坐标$(x, y)$与极坐标$(\rho, \theta)$之间的关系是$x = \rho \cos \theta$和$y = \rho \sin \theta$。由于$\rho = 2 \cos \theta$，我们可以将$\rho$代入$x$和$y$的表达式中，得到$x$和$y$关于$\theta$的表达式。 接下来，我们需要考虑$\theta$的取值范围。题目中给出$\theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$，这意味着半圆$C$位于第一象限。 现在我们可以写出$x$和$y$关于$\theta$的表达式，即参数方程。<eoe> 【答案】 由极坐标与直角坐标的转换关系，我们有： \[ x = \rho \cos \theta \] \[ y = \rho \sin \theta \] 将$\rho = 2 \cos \theta$代入上述两个方程中，得到： \[ x = 2 \cos^2 \theta \] \[ y = 2 \cos \theta \sin \theta \] 由于$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$，我们可以将$y$的表达式简化为： \[ y = \sin 2\theta \] 因此，半圆$C$的参数方程为： \[ x = 2 \cos^2 \theta \] \[ y = \sin 2\theta \] 其中$\theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$。<eoa> (2)【解析】 根据题目，半圆$C$在点$D$处的切线与直线$I: y=\sqrt{3} x+2$垂直。两条直线垂直时，它们的斜率乘积为$-1$。直线$I$的斜率为$\sqrt{3}$，因此半圆$C$在点$D$处的切线斜率应为$-\frac{1}{\sqrt{3}}$。 我们需要找到半圆$C$的参数方程中切线斜率的表达式，并将其设置为$-\frac{1}{\sqrt{3}}$。然后，我们可以解出$\theta$的值，进而求出点$D$的坐标。 切线的斜率可以通过对参数方程中的$y$关于$\theta$求导得到。求导后，我们将导数设置为$-\frac{1}{\sqrt{3}}$，解出$\theta$，再代入参数方程求出点$D$的坐标。 最后，直线$CD$的倾斜角即为切线的斜率的反正切值。<eoe> 【答案】 首先，我们求半圆$C$的参数方程中$y$关于$\theta$的导数： \[ \frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\sin 2\theta) = 2\cos 2\theta \] 由于切线的斜率是$-\frac{1}{\sqrt{3}}$，我们有： \[ \frac{dy}{d\theta} = 2\cos 2\theta = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] 解这个方程得到$\theta$的值： \[ \cos 2\theta = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \] 由于$\theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$，我们有$2\theta \in\left[0, \pi\right]$。在这个范围内，$\cos 2\theta = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$对应的$2\theta$的值是$\frac{5\pi}{6}$，因此$\theta = \frac{5\pi}{12}$。 现在我们可以将$\theta = \frac{5\pi}{12}$代入参数方程中求出点$D$的坐标： \[ x = 2 \cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right) \] \[ y = \sin \left(2 \cdot \frac{5\pi}{12}\right) = \sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) \] 由于$\cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sin^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right)$，我们可以使用$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$的关系来求解$\cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right)$： \[ \cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{1}{2} \left(1 + \cos \left(\frac{5\pi}{6}\right)\right) \] \[ \cos \left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] 因此： \[ x = 2 \cdot \frac{1}{2} \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ y = \sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \] 所以点$D$的坐标为： \[ D\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) \] 直线$CD$的倾斜角即为切线的斜率的反正切值，即： \[ \tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6} \] 但是，由于直线$CD$的倾斜角应该在$[0, \pi)$范围内，我们取其补角： \[ \text{倾斜角} = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{7\pi}{6} \] 综上所述，直线$CD$的倾斜角为$\frac{7\pi}{6}$，点$D$的坐标为$\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$。<eoa> |
解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \leqslant y \leqslant 1)$. 可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}(t\right.$ 为参数, $0 \leqslant t \leqslant \pi)$. (2) 设 $D(1+\cos t, \sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆， $\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\therefore \operatorname{tant}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$. 故 $D$ 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$, 即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. |
| kimi | (1)【解析】 首先，我们需要将半圆 $C$ 的极坐标方程转换为直角坐标方程。已知极坐标方程为 $\rho = 2 \cos \theta$，其中 $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$。 我们知道极坐标和直角坐标之间的关系为： \[ x = \rho \cos \theta \] \[ y = \rho \sin \theta \] 将 $\rho = 2 \cos \theta$ 代入上述两个方程中，得到： \[ x = 2 \cos^2 \theta \] \[ y = 2 \cos \theta \sin \theta \] 利用三角恒等式 $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ 和 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$，我们可以得到： \[ x = 2(1 - \sin^2 \theta) \] \[ y = \sin 2\theta \] 由于 $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$，我们有 $\sin \theta \geq 0$，因此 $y \geq 0$。 接下来，我们将 $y = \sin 2\theta$ 代入 $x = 2(1 - \sin^2 \theta)$ 中，得到： \[ x = 2(1 - \frac{y^2}{4}) \] \[ x = 2 - \frac{y^2}{2} \] 这就是半圆 $C$ 的直角坐标方程。 现在，我们需要求出半圆 $C$ 的参数方程。由于半圆 $C$ 关于 $x$ 轴对称，我们可以设 $x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，其中 $\theta$ 是参数。由于 $\rho = 2 \cos \theta$，我们有： \[ x = 2 \cos^2 \theta \] \[ y = 2 \cos \theta \sin \theta \] 利用三角恒等式 $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ 和 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$，我们可以得到参数方程： \[ x = \cos 2\theta + 1 \] \[ y = \sin 2\theta \] 由于 $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$，我们有 $2\theta \in [0, \pi]$，因此参数方程可以写为： \[ x = 1 + \cos \theta \] \[ y = \sin \theta \] 其中 $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$。 <eoe> 【答案】 \[ \begin{cases} x = 1 + \cos \theta \\ y = \sin \theta \end{cases} \] 其中 $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$。<eoa> (2)【解析】 已知直线 $I: y = \sqrt{3} x + 2$ 的斜率为 $\sqrt{3}$，由于半圆 $C$ 在点 $D$ 处的切线与直线 $I$ 垂直，所以切线的斜率为 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$。 由半圆 $C$ 的参数方程，我们可以得到点 $D$ 的坐标为 $(1 + \cos \theta, \sin \theta)$。切线的斜率可以通过求导得到，即： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d(\sin \theta)}{d(1 + \cos \theta)} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \] 由于切线的斜率为 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$，我们有： \[ \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] 解得 $\tan \theta = -\sqrt{3}$，由于 $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$，我们得到 $\theta = \frac{2\pi}{3}$。 将 $\theta = \frac{2\pi}{3}$ 代入参数方程，得到点 $D$ 的坐标： \[ D(1 + \cos \frac{2\pi}{3}, \sin \frac{2\pi}{3}) = (1 - \frac{1}{2}, \frac |
解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \leqslant y \leqslant 1)$. 可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}(t\right.$ 为参数, $0 \leqslant t \leqslant \pi)$. (2) 设 $D(1+\cos t, \sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆， $\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\therefore \operatorname{tant}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$. 故 $D$ 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$, 即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. |
| wenxinyiyan | (I)【解析】由极坐标与直角坐标的关系，我们有$x = \rho\cos\theta$和$y = \rho\sin\theta$。将极坐标方程$\rho = 2\cos\theta$代入上述公式，得到$x = 2\cos^{2}\theta$和$y = 2\cos\theta\sin\theta$。再利用三角恒等式$\cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos2\theta}{2}$和$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$，我们可以得到半圆C的参数方程。 【答案】半圆C的参数方程为 $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + \cos\alpha, \\ y = \sin\alpha, \end{array} \right.$ 其中$\alpha$为参数，$\alpha \in [0, \pi]$。 (II)【解析】设点D的坐标为$(1 + \cos\alpha, \sin\alpha)$。由于半圆C在D处的切线与直线$l: y = \sqrt{3}x + 2$垂直，所以切线斜率为$-\frac{1}{\sqrt{3}}$。由切线性质知，切线斜率与半径斜率互为负倒数，所以$\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \sqrt{3}$。解此方程得到$\alpha$的值，进而得到点D的坐标和直线CD的倾斜角。 【答案】由$\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \sqrt{3}$解得$\alpha = \frac{\pi}{3}$，所以点D的坐标为$\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。直线CD的倾斜角为$\frac{\pi}{3}$。 |
解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \leqslant y \leqslant 1)$. 可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}(t\right.$ 为参数, $0 \leqslant t \leqslant \pi)$. (2) 设 $D(1+\cos t, \sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆， $\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\therefore \operatorname{tant}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$. 故 $D$ 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$, 即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们需要将给定的极坐标方程 $\rho = 2 \cos \theta$ 转换为直角坐标方程。极坐标和直角坐标之间的转换关系为： \[ x = \rho \cos \theta \] \[ y = \rho \sin \theta \] 将 $\rho = 2 \cos \theta$ 代入上述公式中，得到： \[ x = (2 \cos \theta) \cos \theta = 2 \cos^2 \theta \] \[ y = (2 \cos \theta) \sin \theta = 2 \cos \theta \sin \theta \] 利用三角恒等式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ 和 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$，可以进一步简化： \[ x = 2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta \] \[ y = 2 \cos \theta \sin \theta = \sin 2\theta \] 由于 $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$，我们可以用参数 $t = 2\theta$ 来表示，则 $t \in [0, \pi]$。于是，参数方程可以表示为： \[ x = 1 + \cos t \] \[ y = \sin t \] 其中 $t \in [0, \pi]$。 <eoe> 【答案】 半圆 $C$ 的参数方程为： \[ x = 1 + \cos t \] \[ y = \sin t \] 其中 $t \in [0, \pi]$。<eoa> (2)【解析】 设点 $D$ 的坐标为 $(1 + \cos t, \sin t)$，根据题意，半圆 $C$ 在点 $D$ 处的切线与直线 $l: y = \sqrt{3} x + 2$ 垂直。 直线 $l$ 的斜率为 $\sqrt{3}$，因此其垂线的斜率为 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$。 在点 $D$ 处，半圆 $C$ 的切线斜率可以通过求导得到。参数方程的导数为： \[ \frac{dx}{dt} = -\sin t \] \[ \frac{dy}{dt} = \cos t \] 因此，切线的斜率为： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t \] 根据题意，切线的斜率等于 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$，即： \[ -\cot t = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ \cot t = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ t = \frac{\pi}{3} \] 将 $t = \frac{\pi}{3}$ 代入参数方程，得到点 $D$ 的坐标： \[ x = 1 + \cos \frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] \[ y = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 因此，点 $D$ 的坐标为 $\left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$。 接下来求直线 $CD$ 的倾斜角。直线 $CD$ 通过原点 $(0, 0)$ 和点 $D \left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，其斜率为： \[ \text{斜率} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{\frac{3}{2} - 0} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 斜率为 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 的直线，其倾斜角 $\alpha$ 满足： \[ \tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ \alpha = \frac{\pi}{6} \] <eoe> 【答案】 直线 $CD$ 的倾斜角为 $\frac{\pi}{6}$，点 $D$ 的坐标为 $\left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$。<eoa> |
解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \leqslant y \leqslant 1)$. 可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}(t\right.$ 为参数, $0 \leqslant t \leqslant \pi)$. (2) 设 $D(1+\cos t, \sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆， $\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\therefore \operatorname{tant}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$. 故 $D$ 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$, 即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. |
| gpto1 | (1)【解析】 将极坐标方程 \(\rho = 2\cos\theta\) 转换为参数方程。 在极坐标系中，点的坐标为： \[ \begin{cases} x = \rho \cos\theta = (2\cos\theta)\cos\theta = 2\cos^2\theta \\ y = \rho \sin\theta = (2\cos\theta)\sin\theta = 2\cos\theta \sin\theta \end{cases} \] 利用三角恒等式： \[ \begin{cases} \cos2\theta = 2\cos^2\theta -1 \Rightarrow \cos^2\theta = \dfrac{1+\cos2\theta}{2} \\ \sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta \end{cases} \] 所以，参数方程为： \[ \begin{cases} x = 2\cos^2\theta = 1+\cos2\theta \\ y = 2\cos\theta \sin\theta = \sin2\theta \end{cases} \] 其中，\(\theta \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)。 <eoe> 【答案】 \( C \) 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 1+\cos2\theta \\ y = \sin2\theta \end{cases} \] 其中，\(\theta \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)。 <eoa> (2)【解析】 已知直线 \( l: y = \sqrt{3}x + 2 \)，其斜率为 \( m_l = \sqrt{3} \)。 设点 \( D \) 对应的参数为 \(\theta\)，曲线 \( C \) 在点 \( D \) 处的切线斜率为： \[ \begin{align*} x &= 1+\cos2\theta \\ y &= \sin2\theta \\ \dfrac{dx}{d\theta} &= -2\sin2\theta \\ \dfrac{dy}{d\theta} &= 2\cos2\theta \\ m_t &= \dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \dfrac{2\cos2\theta}{-2\sin2\theta} = -\cot2\theta \end{align*} \] 因切线与直线 \( l \) 垂直，故有： \[ m_t \cdot m_l = -1 \Rightarrow -\cot2\theta \cdot \sqrt{3} = -1 \Rightarrow \cot2\theta = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \] 解得： \[ 2\theta = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{6} \] 代入参数方程，得点 \( D \) 的坐标： \[ \begin{cases} x_D = 1 + \cos\left(2 \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) = 1 + \cos\dfrac{\pi}{3} = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \\ y_D = \sin\left(2 \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \] 连线 \( CD \) 的斜率为： \[ m_{CD} = \dfrac{y_D - 0}{x_D - 0} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \] 故连线 \( CD \) 的倾斜角为： \[ \alpha = \arctan m_{CD} = \arctan\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right ) = \dfrac{\pi}{6} \] <eoe> 【答案】 直线 \( CD \) 的倾斜角为 \( \dfrac{\pi}{6} \)，点 \( D \) 的坐标为 \( \left( \dfrac{3}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right ) \)。 <eoa> |
解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \leqslant y \leqslant 1)$. 可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}(t\right.$ 为参数, $0 \leqslant t \leqslant \pi)$. (2) 设 $D(1+\cos t, \sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆， $\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\therefore \operatorname{tant}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$. 故 $D$ 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$, 即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. |
| deepseekv3 | (1)【解析】 首先，我们需要将极坐标方程 $\rho = 2 \cos \theta$ 转换为直角坐标系的方程。 在极坐标系中，$\rho$ 表示点到原点的距离，$\theta$ 表示点与极轴的夹角。极坐标与直角坐标的转换关系为： \[ x = \rho \cos \theta, \quad y = \rho \sin \theta \] 将 $\rho = 2 \cos \theta$ 代入上述关系，得到： \[ x = 2 \cos^2 \theta, \quad y = 2 \cos \theta \sin \theta \] 利用三角恒等式，可以简化为： \[ x = 1 + \cos 2\theta, \quad y = \sin 2\theta \] 因此，半圆 $C$ 的参数方程为： \[ x = 1 + \cos t, \quad y = \sin t, \quad t \in \left[0, \pi\right] \] <eoe> 【答案】 半圆 $C$ 的参数方程为： \[ x = 1 + \cos t, \quad y = \sin t, \quad t \in \left[0, \pi\right] \] <eoa> (2)【解析】 首先，根据 (1) 中的参数方程，半圆 $C$ 上的点 $D$ 的坐标为 $(1 + \cos t, \sin t)$。 半圆 $C$ 在点 $D$ 处的切线的斜率可以通过对参数方程求导得到。对 $x$ 和 $y$ 关于 $t$ 求导： \[ \frac{dx}{dt} = -\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = \cos t \] 因此，切线的斜率为： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t \] 根据题意，切线与直线 $I: y = \sqrt{3} x + 2$ 垂直。直线 $I$ 的斜率为 $\sqrt{3}$，因此切线的斜率应为 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$。所以： \[ -\cot t = -\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \cot t = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow t = \frac{\pi}{3} \] 因此，点 $D$ 的坐标为： \[ x = 1 + \cos \frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}, \quad y = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 所以，点 $D$ 的坐标为 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。 接下来，求直线 $CD$ 的倾斜角。直线 $CD$ 是从原点 $C$ 到点 $D$ 的直线，其斜率为： \[ k = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{\frac{3}{2} - 0} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] 因此，倾斜角 $\alpha$ 满足： \[ \tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{6} \] <eoe> 【答案】 直线 $CD$ 的倾斜角为 $\frac{\pi}{6}$，点 $D$ 的坐标为 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。 <eoa> |
解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \leqslant y \leqslant 1)$. 可得 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos t \\ y=\sin t\end{array}(t\right.$ 为参数, $0 \leqslant t \leqslant \pi)$. (2) 设 $D(1+\cos t, \sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆， $\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\therefore \operatorname{tant}=\sqrt{3}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{3}$. 故 $D$ 的直角坐标为 $\left(1+\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right)$, 即 $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. |