| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们将曲线 $C$ 的参数方程和直线 $I$ 的参数方程写出来： 曲线 $C$ 的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 \cos \theta \\ y = \sin \theta \end{array} \right. \] 直线 $I$ 的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = a + 4t \\ y = 1 - t \end{array} \right. \] 当 $a = -1$ 时，直线 $I$ 的参数方程变为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 4t \\ y = 1 - t \end{array} \right. \] 我们需要找到曲线 $C$ 和直线 $I$ 的交点，即找到满足两组方程的 $(x, y)$ 坐标。将直线 $I$ 的参数方程代入曲线 $C$ 的参数方程中： \[ \left\{ \begin{array}{l} -1 + 4t = 3 \cos \theta \\ 1 - t = \sin \theta \end{array} \right. \] 解第二个方程，得到 $t$： \[ t = 1 - \sin \theta \] 将 $t$ 代入第一个方程： \[ -1 + 4(1 - \sin \theta) = 3 \cos \theta \] \[ -1 + 4 - 4 \sin \theta = 3 \cos \theta \] \[ 3 - 4 \sin \theta = 3 \cos \theta \] 将方程两边同时除以 3： \[ 1 - \frac{4}{3} \sin \theta = \cos \theta \] 我们得到一个关于 $\theta$ 的方程： \[ \cos \theta + \frac{4}{3} \sin \theta = 1 \] 为了求解 $\theta$，我们可以使用三角恒等式 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$。设 $\cos \theta = x$，$\sin \theta = y$，则有： \[ x + \frac{4}{3} y = 1 \] \[ x^2 + y^2 = 1 \] 将 $x = 1 - \frac{4}{3} y$ 代入 $x^2 + y^2 = 1$： \[ (1 - \frac{4}{3} y)^2 + y^2 = 1 \] \[ 1 - \frac{8}{3} y + \frac{16}{9} y^2 + y^2 = 1 \] \[ 1 - \frac{8}{3} y + \frac{25}{9} y^2 = 1 \] \[ \frac{25}{9} y^2 - \frac{8}{3} y = 0 \] \[ \frac{25}{9} y (y - \frac{24}{25}) = 0 \] 解得 $y = 0$ 或 $y = \frac{24}{25}$。对应的 $\sin \theta$ 为 0 或 $\frac{24}{25}$。 当 $\sin \theta = 0$ 时，$\cos \theta = 1$，对应的点为 $(3, 0)$。 当 $\sin \theta = \frac{24}{25}$ 时，$\cos \theta = \frac{7}{25}$，对应的点为 $(\frac{21}{25}, \frac{24}{25})$。 验证这两个点是否在直线上： 对于 $(3, 0)$： \[ x = -1 + 4t \Rightarrow 3 = -1 + 4t \Rightarrow t = 1 \] \[ y = 1 - t \Rightarrow 0 = 1 - 1 \] 满足直线方程。 对于 $(\frac{21}{25}, \frac{24}{25})$： \[ x = -1 + 4t \Rightarrow \frac{21}{25} = -1 + 4t \Rightarrow t = \frac{46}{100} = \frac{23}{50} \] \[ y = 1 - t \Rightarrow \frac{24}{25} = 1 - \frac{23}{50} \Rightarrow \frac{24}{25} = \frac{27}{25} \] 不满足直线方程。 所以，交点为 $(3, 0)$。 <eoe> 【答案】交点坐标为 $(3, 0)$。<eoa> (2)【解析】 我们需要求曲线 $C$ 上的点到直线 $I$ 的距离的最大值。曲线 $C$ 的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 \cos \theta \\ y = \sin \theta \end{array} \right. \] 直线 $I$ 的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = a + 4t \\ y = 1 - t \end{array} \right. \] 直线 $I$ 的一般方程为： \[ y = 1 - \frac{x - a}{4} \] \[ 4y = 4 - x + a \] \[ x + 4y = a + 4 \] 点 $(x_0, y_0)$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离公式为： \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] 将直线方程 $x + 4y - a - 4 = 0$ 代入公式，$A = 1, B = 4, C = -a - 4$，曲线 $C$ 上的点 $(3 \cos \theta, \sin \theta)$ 到直线的距离为： \[ d = \frac{|3 \cos \theta + 4 \sin \theta - a - 4|}{\sqrt{1^2 + 4^2}} = \frac{|3 \cos \theta + 4 \sin \theta - a - 4|}{\sqrt{17}} \] 已知最大距离为 $\sqrt{17}$，则： \[ \frac{|3 \cos \theta + 4 \sin \theta - a - 4|}{\sqrt{17}} = \sqrt{17} \] \[ |3 \cos \theta + 4 \sin \theta - a - 4| = 17 \] 由于 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$ 的取值范围在 $[-1, 1]$ 之间，$3 \cos \theta + 4 \sin \theta$ 的最大值和最小值分别为： \[ \max(3 \cos \theta + 4 \sin \theta) = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \] \[ \min(3 \cos \theta + 4 \sin \theta) = -5 \] 所以： \[ |5 - a - 4| = 17 \] \[ |1 - a| = 17 \] 解得： \[ 1 - a = 17 \quad \text{或} \quad 1 - a = -17 \] \[ a = -16 \quad \text{或} \quad a = 18 \] <eoe> 【答案】$a = -16$ 或 $a = 18$。<eoa> |
解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$; $a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$; 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$, 所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$. (2) I 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$, 椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi)$, 所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为: $\mathrm{d}=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$, 且的 $\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\sqrt{17}$. (1)当 $-a-4 \leqslant 0$ 时, 即 $a \geqslant-4$ 时, $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$ 解得 $a=8 \geqslant-4$, 符合题意. (2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时 $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$ 解得 $a=-16<-4$, 符合题意. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 当a=-1时，直线l的参数方程为$\begin{cases}x=-1+4t \\ y=1-t\end{cases}$。将其代入曲线C的普通方程$\frac{x^2}{9} + y^2 =1$，得： $$ \frac{(-1+4t)^2}{9} + (1-t)^2 =1 $$ 展开并化简： $$ \frac{16t^2 -8t +1}{9} + t^2 -2t +1 =1 \\ 25t^2 -26t +1 =0 $$ 解得$t=1$或$t=\frac{1}{25}$。代入直线方程得交点坐标为$(3,0)$和$\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$。 <eoe> 【答案】 (1) 交点坐标为 $(3,0)$ 和 $\left(-\dfrac{21}{25}, \dfrac{24}{25}\right)$。 <eoa> (2)【解析】 将直线l化为普通方程$x +4y -a -4=0$。曲线C上点$(3\cosθ, \sinθ)$到直线的距离为： $$ d = \frac{|3\cosθ +4\sinθ -a -4|}{\sqrt{17}} $$ 最大距离为$\sqrt{17}$，故有： $$ \max|3\cosθ +4\sinθ -a -4| =17 $$ 因$3\cosθ +4\sinθ$的取值范围为$[-5,5]$，则： $$ \max\left\{ |1-a|, |a+9| \right\} =17 $$ 解得$a=-16$或$a=8$。 <eoe> 【答案】 (2) $a$ 的值为 $-16$ 或 $8$。 <eoa> |
解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$; $a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$; 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$, 所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$. (2) I 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$, 椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi)$, 所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为: $\mathrm{d}=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$, 且的 $\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\sqrt{17}$. (1)当 $-a-4 \leqslant 0$ 时, 即 $a \geqslant-4$ 时, $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$ 解得 $a=8 \geqslant-4$, 符合题意. (2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时 $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$ 解得 $a=-16<-4$, 符合题意. |
| gpto1 | (1)【解析】 首先，我们将曲线 $C$ 和直线 $l$ 的参数方程分别列出： 曲线 $C$： $$ \left\{\begin{array}{l} x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}\right. $$ 当 $a=-1$ 时，直线 $l$ 的参数方程为： $$ \left\{\begin{array}{l} x=-1+4 t \\ y=1-t \end{array}\right. $$ 为了求 $C$ 与 $l$ 的交点，我们需要找到满足以上两组方程的 $\theta$ 和 $t$。我们可以通过消元法来解决。 从直线的参数方程中，消去参数 $t$： $$ \begin{cases} x=-1+4 t \\ y=1-t \end{cases} \implies t=1-y $$ 将 $t$ 代回到 $x$ 中： $$ x=-1+4(1-y)=3-4 y $$ 对于曲线 $C$，$x=3 \cos \theta$，$y=\sin \theta$，因此代入上式： $$ 3 \cos \theta = 3 - 4 \sin \theta $$ 两边同时除以 3，得到： $$ \cos \theta + \frac{4}{3} \sin \theta =1 $$ 为了将方程化简，我们考虑利用三角恒等式。设： $$ 3 \cos \theta + 4 \sin \theta = R \cos (\theta - \varphi) $$ 其中： $$ R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \\ \cos \varphi = \frac{3}{5}, \quad \sin \varphi = \frac{4}{5} $$ 因此，原方程化为： $$ 5 \cos (\theta - \varphi) = 3 $$ 两边除以 5： $$ \cos (\theta - \varphi) = \frac{3}{5} $$ 因此： $$ \theta - \varphi = \arccos\left(\frac{3}{5}\right) \quad \text{或} \quad \theta - \varphi = 2\pi - \arccos\left(\frac{3}{5}\right) $$ 计算 $\varphi$： $$ \varphi = \arccos\left(\frac{3}{5}\right) $$ 所以两个 $\theta$ 的解为： $$ \theta = 2\arccos\left(\frac{3}{5}\right) \quad \text{和} \quad \theta = 2\pi $$ 计算对应的交点坐标： 1. 当 $\theta = 2\arccos\left(\frac{3}{5}\right)$ 时， $$ x = 3 \cos(2\arccos\left(\frac{3}{5}\right)) = 3 \left(2 \cos^2 \left(\frac{3}{5}\right) -1\right) = 3 \left(2 \left(\frac{3}{5}\right)^2 -1\right) = -\frac{21}{25} \\ y = \sin(2\arccos\left(\frac{3}{5}\right)) = 2 \sin\left(\frac{3}{5}\right) \cos\left(\frac{3}{5}\right) = 2 \left(\frac{4}{5}\right) \left(\frac{3}{5}\right) = \frac{24}{25} $$ 2. 当 $\theta = 0$ 时， $$ x = 3 \cos 0 = 3 \\ y = \sin 0 = 0 $$ <eoe> 【答案】(1) 当 $a=-1$ 时，曲线 $C$ 与直线 $l$ 的交点为： $$ \left(3, 0\right) \quad \text{和} \quad \left(-\dfrac{21}{25}, \dfrac{24}{25}\right) $$ <eoa> (2)【解析】 首先，将直线 $l$ 的参数方程化为一般式。当 $t=1-y$，将其代入 $x$ 得到： $$ x = a + 4 t = a + 4(1 - y) = (a + 4) - 4 y $$ 因此，直线 $l$ 的一般式为： $$ x + 4 y - (a + 4) = 0 $$ 直线的标准式为 $Ax + By + C = 0$，其中 $A = 1$，$B = 4$，$C = -(a + 4)$。 曲线上任意一点 $(x, y)$ 到直线的距离为： $$ D = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|x + 4 y - (a + 4)|}{\sqrt{17}} $$ 将曲线 $C$ 的参数方程代入，得到： $$ x + 4 y = 3 \cos \theta + 4 \sin \theta $$ 因此，距离为： $$ D = \frac{|3 \cos \theta + 4 \sin \theta - (a + 4)|}{\sqrt{17}} $$ 已知 $D_{\text{max}} = \sqrt{17}$，所以： $$ \max_{\theta} \left|3 \cos \theta + 4 \sin \theta - (a + 4)\right| = 17 $$ 同样使用三角恒等式，得到： $$ 3 \cos \theta + 4 \sin \theta = 5 \cos (\theta - \varphi) $$ 因此： $$ \left|5 \cos (\theta - \varphi) - (a + 4)\right| \leq 17 $$ 为了使上式的最大值为 17，需要满足： $$ \max \left|5 \cos (\theta - \varphi) - (a + 4)\right| = 17 $$ 考虑 $\cos (\theta - \varphi)$ 的取值范围为 $[-1, 1]$，因此： $$ \begin{cases} \left|5 \times 1 - (a + 4)\right| = 17 \\ \left|5 \times (-1) - (a + 4)\right| = 17 \end{cases} $$ 解得： 1. $5 - (a + 4) = \pm17$， - 当 $5 - (a + 4) = 17$，$a = -16$； - 当 $5 - (a + 4) = -17$，$a = 18$。 2. $-5 - (a + 4) = \pm17$， - 当 $-5 - (a + 4) = 17$，$a = -26$； - 当 $-5 - (a + 4) = -17$，$a = 8$。 然后，通过分析，发现只有 $a = -16$ 和 $a = 8$ 满足条件。 <eoe> 【答案】(2) 满足条件的 $a$ 值为 $a = -16$ 或 $a = 8$。 <eoa> |
解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$; $a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$; 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$, 所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$. (2) I 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$, 椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi)$, 所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为: $\mathrm{d}=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$, 且的 $\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\sqrt{17}$. (1)当 $-a-4 \leqslant 0$ 时, 即 $a \geqslant-4$ 时, $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$ 解得 $a=8 \geqslant-4$, 符合题意. (2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时 $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$ 解得 $a=-16<-4$, 符合题意. |
| GPT-4o | (1)【解析】 为了求曲线 $C$ 和直线 $I$ 的交点坐标，我们需要将它们的参数方程联立求解。 首先，将曲线 $C$ 的参数方程写出： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 \cos \theta \\ y = \sin \theta \end{array} \right. \] 再将直线 $I$ 的参数方程写出（注意这里 $a = -1$）： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 4t \\ y = 1 - t \end{array} \right. \] 将直线 $I$ 的方程代入曲线 $C$ 的方程： \[ -1 + 4t = 3 \cos \theta \\ 1 - t = \sin \theta \] 我们可以通过消去 $\theta$ 来求解 $t$。首先从 $y = \sin \theta$ 得到 $\sin \theta$ 的值： \[ \sin \theta = 1 - t \] 然后，将 $\sin \theta$ 代入到 $x = 3 \cos \theta$ 中，利用 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$，我们可以得到 $\cos \theta$ 的值： \[ \cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (1 - t)^2} = \sqrt{t(2 - t)} \] 因此，有： \[ -1 + 4t = 3 \sqrt{t(2 - t)} \] 为了求解 $t$，我们首先平方两边： \[ (-1 + 4t)^2 = 9 [t(2 - t)] \] \[ 1 - 8t + 16t^2 = 9(2t - t^2) \] \[ 1 - 8t + 16t^2 = 18t - 9t^2 \] \[ 25t^2 - 26t + 1 = 0 \] 使用求根公式 $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a = 25, b = -26, c = 1$： \[ t = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 100}}{50} = \frac{26 \pm \sqrt{576}}{50} = \frac{26 \pm 24}{50} \] \[ t = 1 \quad \text{或} \quad t = \frac{1}{25} \] 对于 $t = 1$： \[ x = -1 + 4 \times 1 = 3 \\ y = 1 - 1 = 0 \] 对于 $t = \frac{1}{25}$： \[ x = -1 + 4 \times \frac{1}{25} = -1 + \frac{4}{25} = -\frac{21}{25} \\ y = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \] 所以交点坐标为 $(3, 0)$ 和 $(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25})$。 <eoe> 【答案】$(3, 0)$ 和 $(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25})$<eoa> (2)【解析】 为了求 $C$ 上的点到 $I$ 距离的最大值为 $\sqrt{17}$ 时的 $a$ 值，我们需要使用曲线 $C$ 的参数方程以及点到直线的距离公式。 曲线 $C$ 的参数方程依然是： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 \cos \theta \\ y = \sin \theta \end{array} \right. \] 直线 $I$ 的方程为： \[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{1 + a}{4} \] 假定曲线 $C$ 上的点 $(3 \cos \theta, \sin \theta)$ 到直线 $I$ 的距离为 $\sqrt{17}$，则我们使用点到直线的距离公式： \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] 其中，$A = \frac{1}{4}$，$B = |
解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$; $a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$; 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$, 所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$. (2) I 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$, 椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi)$, 所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为: $\mathrm{d}=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$, 且的 $\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\sqrt{17}$. (1)当 $-a-4 \leqslant 0$ 时, 即 $a \geqslant-4$ 时, $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$ 解得 $a=8 \geqslant-4$, 符合题意. (2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时 $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$ 解得 $a=-16<-4$, 符合题意. |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】 将直线l的参数方程代入曲线C的参数方程,消去参数,求出交点坐标.由\begin{cases}x=3\cos\theta\\y=\sin\theta\end{cases}得\cos\theta=\frac{x}{3},\sin\theta=y,所以\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1,即\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1,所以曲线C的方程为\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1,又a=-1,所以直线l的方程为x=-1+4t,y=1-t,即\frac{x+1}{4}=t,所以y=1-\frac{x+1}{4}=\frac{3-x}{4},所以\frac{x^{2}}{9}+(\frac{3-x}{4})^{2}=1,解得x=0或x=-\frac{15}{5},所以y=1或y=\frac{9}{5},所以交点坐标为(0,1)或(-\frac{15}{5},\frac{9}{5}).<eoe>【答案】(0,1)或(-\frac{15}{5},\frac{9}{5}).(2)【解析】 最终结果是-3 |
解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$; $a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$; 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$, 所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$. (2) I 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$, 椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi)$, 所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为: $\mathrm{d}=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$, 且的 $\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\sqrt{17}$. (1)当 $-a-4 \leqslant 0$ 时, 即 $a \geqslant-4$ 时, $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$ 解得 $a=8 \geqslant-4$, 符合题意. (2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时 $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$ 解得 $a=-16<-4$, 符合题意. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)由\begin{cases}x=3\cos\theta\\y=\sin\theta\end{cases}得\cos\theta=\frac{x}{3},\sin\theta=y,两式平方相加得\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1,即曲线C的方程为\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1(a>0,b>0),故曲线C为椭圆,当a=-1时,直线l的方程为x+4y-3=0联立\begin{cases}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1\\x+4y-3=0\end{cases}得9y^{2}+24y+8=0,解得y=-\frac{4}{3}或y=-\frac{2}{3},当y=- |
解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$; $a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$; 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$, 所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$. (2) I 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$, 椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi)$, 所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为: $\mathrm{d}=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$, 且的 $\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\sqrt{17}$. (1)当 $-a-4 \leqslant 0$ 时, 即 $a \geqslant-4$ 时, $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$ 解得 $a=8 \geqslant-4$, 符合题意. (2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时 $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$ 解得 $a=-16<-4$, 符合题意. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】首先，我们需要将曲线 $C$ 和直线 $I$ 的参数方程代入到直角坐标系中，以便找到它们的交点。曲线 $C$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=3 \\cos \\theta \\\\ y=\\sin \\theta\\end{array}\\right.$，直线 $I$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=a+4t \\\\ y=1-t\\end{array}\\right.$。当 $a=-1$ 时，直线 $I$ 的参数方程变为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=-1+4t \\\\ y=1-t\\end{array}\\right.$。\n\n为了找到交点，我们需要解这两个方程组。首先，我们将直线 $I$ 的参数方程代入曲线 $C$ 的参数方程中，得到：\n\n$-1 + 4t = 3 \\cos \\theta$\n\n$1 - t = \\sin \\theta$\n\n我们可以将 $\\sin \\theta$ 和 $\\cos \\theta$ 的关系 $\\sin^2 \\theta + \\cos^2 \\theta = 1$ 代入，得到：\n\n$(1 - t)^2 + \\left(\\frac{-1 + 4t}{3}\\right)^2 = 1$\n\n展开并简化这个方程：\n\n$1 - 2t + t^2 + \\frac{(-1 + 4t)^2}{9} = 1$\n\n$1 - 2t + t^2 + \\frac{1 - 8t + 16t^2}{9} = 1$\n\n将所有项乘以 9 以消除分母：\n\n$9 - 18t + 9t^2 + 1 - 8t + 16t^2 = 9$\n\n合并同类项：\n\n$25t^2 - 26t + 1 = 0$\n\n解这个二次方程，使用求根公式 $t = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a = 25$，$b = -26$，$c = 1$：\n\n$t = \\frac{26 \\pm \\sqrt{676 - 100}}{50} = \\frac{26 \\pm \\sqrt{576}}{50} = \\frac{26 \\pm 24}{50}$\n\n所以，$t = \\frac{50}{50} = 1$ 或 $t = \\frac{2}{50} = \\frac{1}{25}$。\n\n将这两个 $t$ 值代入直线 $I$ 的参数方程中，得到交点坐标：\n\n当 $t = 1$ 时，$x = -1 + 4 \\cdot 1 = 3$，$y = 1 - 1 = 0$，所以交点为 $(3, 0)$。\n\n当 $t = \\frac{1}{25}$ 时，$x = -1 + 4 \\cdot \\frac{1}{25} = -1 + \\frac{4}{25} = -\\frac{21}{25}$，$y = 1 - \\frac{1}{25} = \\frac{24}{25}$，所以交点为 $(-\\frac{21}{25}, \\frac{24}{25})$。\n\n因此，曲线 $C$ 和直线 $I$ 的交点坐标为 $(3, 0)$ 和 $(-\\frac{21}{25}, \\frac{24}{25})$。<eoe>\n【答案】$(3, 0)$ 和 $(-\\frac{21}{25}, \\frac{24}{25})$<eoa>\n\n(2)【解析】我们需要找到曲线 $C$ 上的点到直线 $I$ 的距离的最大值为 $\\sqrt{17}$ 时的 $a$ 值。曲线 $C$ 上的点可以表示为 $(3 \\cos \\theta, \\sin \\theta)$，直线 $I$ 的方程可以写成 $Ax + By + C = 0$ 的形式，其中 $A = 4$，$B = -1$，$C = -a$。\n\n点到直线的距离公式为 $\\frac{|Ax + By + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}$。将曲线 $C$ 上的点 $(3 \\cos \\theta, \\sin \\theta)$ 代入，得到：\n\n$\\frac{|4 \\cdot 3 \\cos \\theta - 1 \\cdot \\sin \\theta - a|}{\\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \\frac{|12 \\cos \\theta - \\sin \\theta - a|}{\\sqrt{17}}$\n\n我们知道这个距离的最大值为 $\\sqrt{17}$，所以：\n\n$\\frac{|12 \\cos \\theta - \\sin \\theta - a|}{\\sqrt{17}} = \\sqrt{17}$\n\n两边乘以 $\\sqrt{17}$，得到：\n\n$|12 \\cos \\theta - \\sin \\theta - a| = 17$\n\n这意味着：\n\n$12 \\cos \\theta - \\sin \\theta - a = 17$ 或 $12 \\cos \\theta - \\sin \\theta - a = -17$\n\n解这两个方程，得到：\n\n$a = 12 \\cos \\theta - \\sin \\theta - 17$ 或 $a = 12 \\cos \\theta - \\sin \\theta + 17$\n\n由于 $\\cos \\theta$ 和 $\\sin \\theta$ 的取值范围分别是 $[-1, 1]$，我们可以找到 $a$ 的取值范围。为了使 $a$ 的值满足题目条件，我们需要找到使得 $|12 \\cos \\theta - \\sin \\theta|$ 的最大值为 17 的 $\\theta$ 值。\n\n通过分析，我们可以发现当 $\\cos \\theta = 1$ 和 $\\sin \\theta = 0$ 时，$12 \\cos \\theta - \\sin \\theta = 12$，当 $\\cos \\theta = -1$ 和 $\\sin \\theta = 0$ 时，$12 \\cos \\theta - \\sin \\theta = -12$。因此，$a$ 的值可以是 $12 - 17 = -5$ 或 $-12 + 17 = 5$。\n\n所以，$a$ 的值为 $-5$ 或 $5$。<eoe>\n【答案】$a = -5$ 或 $a = 5$<eoa>" | 解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$; $a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$; 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$, 所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$. (2) I 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$, 椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi)$, 所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为: $\mathrm{d}=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$, 且的 $\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\sqrt{17}$. (1)当 $-a-4 \leqslant 0$ 时, 即 $a \geqslant-4$ 时, $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$ 解得 $a=8 \geqslant-4$, 符合题意. (2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时 $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$ 解得 $a=-16<-4$, 符合题意. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 首先，我们有曲线 $C$ 的参数方程 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=3\\cos\\theta \\\\ y=\\sin\\theta\\end{array}\\right.$ 和直线 $I$ 的参数方程 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=-1+4t \\\\ y=1-t\\end{array}\\right.$。为了找到曲线 $C$ 和直线 $I$ 的交点，我们需要解这两个方程组，即找到满足两个方程组的参数 $\\theta$ 和 $t$ 的值。将直线 $I$ 的 $x$ 和 $y$ 表达式代入曲线 $C$ 的参数方程中，得到关于 $\\theta$ 和 $t$ 的方程组。具体地，将 $x=3\\cos\\theta$ 和 $y=\\sin\\theta$ 与 $x=-1+4t$ 和 $y=1-t$ 相等，解出 $\\theta$ 和 $t$ 的值，进而求出交点坐标。\n<eoe>\n【答案】 由 $x=3\\cos\\theta=-1+4t$ 和 $y=\\sin\\theta=1-t$，我们可以通过解方程组求解。首先，解 $y=1-t=\\sin\\theta$ 得到 $t=1-\\sin\\theta$。将此代入 $x=-1+4t$ 得到 $3\\cos\\theta=-1+4(1-\\sin\\theta)$，即 $3\\cos\\theta=-1+4-4\\sin\\theta$，整理得 $3\\cos\\theta+4\\sin\\theta=3$。利用三角恒等变换，设 $3\\cos\\theta+4\\sin\\theta=\\sqrt{3^2+4^2}\\sin(\\theta+\\varphi)=5\\sin(\\theta+\\varphi)=3$，其中 $\\sin\\varphi=3/5$，$\\cos\\varphi=4/5$。解得 $\\sin(\\theta+\\varphi)=3/5$。由于 $\\sin\\varphi=3/5$，则 $\\varphi=\\arcsin(3/5)$。因此，$\\sin(\\theta+\\arcsin(3/5))=3/5$。通过解 $\\theta$ 和 $t$ 的值，可以得到交点坐标。这里我们直接给出解，交点坐标为 $(-1,1)$ 和 $(\\frac{11}{5},-\\frac{1}{5})$。\n<eoa>\n\n(2)【解析】 要求曲线 $C$ 上的点到直线 $I$ 的距离的最大值为 $\\sqrt{17}$，我们首先需要了解曲线 $C$ 和直线 $I$ 的几何关系。曲线 $C$ 是一个椭圆，而直线 $I$ 是一条直线。曲线 $C$ 上的点到直线 $I$ 的距离可以通过点到直线的距离公式计算。设曲线 $C$ 上的任意一点为 $(3\\cos\\theta,\\sin\\theta)$，直线 $I$ 的方程为 $x=-1+4t$ 和 $y=1-t$，可以转化为一般式 $Ax+By+C=0$，其中 $A=4$，$B=1$，$C=1$。点到直线的距离公式为 $d=\\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\\sqrt{A^2+B^2}}$，其中 $(x_0,y_0)$ 是曲线 $C$ 上的任意一点。将 $(3\\cos\\theta,\\sin\\theta)$ 代入距离公式，可以得到关于 $\\theta$ 的表达式，然后求这个表达式的最大值，使其等于 $\\sqrt{17}$，从而求出 $a$ 的值。\n<eoe>\n【答案】 曲线 $C$ 上的点到直线 $I$ 的距离公式为 $d=\\frac{|4x+y+1|}{\\sqrt{4^2+1^2}}$，将 $x=3\\cos\\theta$ 和 $y=\\sin\\theta$ 代入，得到 $d=\\frac{|12\\cos\\theta+\\sin\\theta+1|}{\\sqrt{17}}$。要求 $d$ 的最大值为 $\\sqrt{17}$，即 $\\frac{|12\\cos\\theta+\\sin\\theta+1|}{\\sqrt{17}}=\\sqrt{17}$，化简得 $|12\\cos\\theta+\\sin\\theta+1|=17$。由于 $12\\cos\\theta+\\sin\\theta$ 的最大值为 $\\sqrt{12^2+1^2}=\\sqrt{145}$，因此 $12\\cos\\theta+\\sin\\theta+1$ 的最大值为 $\\sqrt{145}+1$。令 $\\sqrt{145}+1=17$，解得 $a=-1$。\n<eoa>" | 解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$; $a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$; 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$, 所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$. (2) I 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$, 椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi)$, 所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为: $\mathrm{d}=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$, 且的 $\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\sqrt{17}$. (1)当 $-a-4 \leqslant 0$ 时, 即 $a \geqslant-4$ 时, $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$ 解得 $a=8 \geqslant-4$, 符合题意. (2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时 $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$ 解得 $a=-16<-4$, 符合题意. |
| baichuan4 | (1)【解析】 首先，我们需要将曲线 $C$ 的参数方程和直线 $I$ 的参数方程联立起来解方程组。由于 $a=-1$，直线 $I$ 的参数方程变为： $$ \left\{ \begin{array}{l} x=-1+4t \\ y=1-t \end{array} \right. $$ 将这个方程组代入曲线 $C$ 的参数方程中，得到： $$ \left\{ \begin{array}{l} 3\cos\theta = -1 + 4t \\ \sin\theta = 1 - t \end{array} \right. $$ 由于 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，我们可以将上面的两个方程平方后相加，消去参数 $\theta$，得到关于 $t$ 的方程： $$ 9(1 - t)^2 + (-1 + 4t)^2 = 1 $$ 展开并简化得： $$ 9 - 18t + 9t^2 + 1 - 8t + 16t^2 = 1 $$ $$ 25t^2 - 26t + 9 = 0 $$ 解这个二次方程，得到 $t$ 的两个可能值。然后，将这两个 $t$ 值分别代入直线 $I$ 的参数方程中，得到对应的 $x, y$ 坐标，即为 $C$ 与 $I$ 的交点坐标。 【答案】 解二次方程 $25t^2 - 26t + 9 = 0$，得： $$ t = \frac{26 \pm \sqrt{26^2 - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25} = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 900}}{50} = \frac{26 \pm \sqrt{-224}}{50} $$ 由于根号下为负数，这意味着方程没有实数解，因此曲线 $C$ 和直线 $I$ 在 $a=-1$ 时没有交点。所以交点坐标为不存在。 (2)【解析】 要找到曲线 $C$ 上的点到直线 $I$ 距离的最大值，我们首先需要知道点到直线的距离公式。对于点 $(x_0, y_0)$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离公式为： $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$ 直线 $I$ 的普通方程为 $x + 4y - a - 4 = 0$，即 $A = 1, B = 4, C = -a - 4$。曲线 $C$ 上的点可以表示为 $(\theta) = (3\cos\theta, \sin\theta)$。将这些值代入距离公式中，得到： $$ d(\theta) = \frac{|3\cos\theta + 4\sin\theta - a - 4|}{\sqrt{1^2 + 4^2}} $$ $$ d(\theta) = \frac{|3\cos\theta + 4\sin\theta - a - 4|}{\sqrt{17}} $$ 要使 $d(\theta)$ 达到最大值 $\sqrt{17}$，分子必须达到最大值，即： $$ |3\cos\theta + 4\sin\theta - a - 4| = 17 $$ 由于 $3\cos\theta + 4\sin\theta$ 的最大值为 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，所以我们有： $$ |5 - a - 4| = 17 $$ $$ |1 - a| = 17 $$ 解这个绝对值方程，得到 $a$ 的两个可能值。 【答案】 解绝对值方程 $|1 - a| = 17$，得： $$ 1 - a = \pm 17 $$ 所以，$a = 18$ 或 $a = -16$。 |
解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$; $a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$; 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$, 所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$. (2) I 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$, 椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi)$, 所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为: $\mathrm{d}=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$, 且的 $\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\sqrt{17}$. (1)当 $-a-4 \leqslant 0$ 时, 即 $a \geqslant-4$ 时, $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$ 解得 $a=8 \geqslant-4$, 符合题意. (2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时 $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$ 解得 $a=-16<-4$, 符合题意. |
| doubao | (1)【解析】当$a=-1$时，直线$l$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+4t\\ y=1-t\end{array}\right.$，消去参数$t$可得直线$l$的普通方程为$x+4y-3=0$。曲线$C$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3\cos\theta\\ y=\sin\theta\end{array}\right.$，消去参数$\theta$可得曲线$C$的普通方程为$\frac{x^2}{9}+y^2=1$。联立直线$l$和曲线$C$的方程可得$\begin{cases}x+4y-3=0\\\frac{x^2}{9}+y^2=1\end{cases}$，解方程组可得交点坐标。<eoe> 【答案】由$\begin{cases}x+4y-3=0\\\frac{x^2}{9}+y^2=1\end{cases}$，将$x=3-4y$代入椭圆方程可得$\frac{(3-4y)^2}{9}+y^2=1$，化简得$25y^2-24y=0$，解得$y=0$或$y=\frac{24}{25}$，当$y=0$时，$x=3$，当$y=\frac{24}{25}$时，$x=\frac{3}{25}$，所以交点坐标为$(3,0)$，$(\frac{3}{25},\frac{24}{25})$。<eoa> (2)【解析】直线$l$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=a+4t\\ y=1-t\end{array}\right.$，消去参数$t$可得直线$l$的普通方程为$x+4y-a-4=0$。设曲线$C$上一点的坐标为$(3\cos\theta,\sin\theta)$，利用点到直线距离公式求出该点到直线$l$的距离，根据三角函数的性质求出距离的最大值，结合已知条件可求得$a$。<eoe> 【答案】设曲线$C$上一点的坐标为$(3\cos\theta,\sin\theta)$，则该点到直线$l$的距离为$d=\frac{|3\cos\theta+4\sin\theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5(\frac{3}{5}\cos\theta+\frac{4}{5}\sin\theta)-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5\sin(\theta+\varphi)-a-4|}{\sqrt{17}}$，其中$\tan\varphi=\frac{3}{4}$。当$\sin(\theta+\varphi)=-1$时，距离最大，最大值为$\frac{|5\times(-1)-a-4|}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}$，即$|9+a|=17$，解得$a=8$或$a=-26$。<eoa> |
解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$; $a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$; 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$, 所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$. (2) I 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$, 椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi)$, 所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为: $\mathrm{d}=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$, 且的 $\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\sqrt{17}$. (1)当 $-a-4 \leqslant 0$ 时, 即 $a \geqslant-4$ 时, $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$ 解得 $a=8 \geqslant-4$, 符合题意. (2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时 $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$ 解得 $a=-16<-4$, 符合题意. |
| minimax | (1)【解析】首先，我们需要找到曲线 $C$ 和直线 $I$ 的交点。这意味着我们需要找到满足曲线 $C$ 和直线 $I$ 参数方程的 $\theta$ 和 $t$ 的值。由于 $a=-1$，我们可以将直线 $I$ 的参数方程中的 $a$ 替换为 $-1$，得到新的参数方程。然后，我们将曲线 $C$ 的参数方程和直线 $I$ 的参数方程联立，消去参数 $\theta$ 和 $t$，得到一个关于 $x$ 和 $y$ 的方程组。解这个方程组，我们可以找到交点的坐标。<eoe> 【答案】将 $a=-1$ 代入直线 $I$ 的参数方程，得到： $$ \left\{\begin{array}{l} x=-1+4t \\ y=1-t \end{array}\right. $$ 联立曲线 $C$ 的参数方程和直线 $I$ 的参数方程，得到： $$ \left\{\begin{array}{l} x=3\cos\theta \\ y=\sin\theta \end{array}\right. $$ 和 $$ \left\{\begin{array}{l} x=-1+4t \\ y=1-t \end{array}\right. $$ 由于 $x$ 和 $y$ 分别对应，我们可以得到： $$ 3\cos\theta = -1 + 4t $$ $$ \sin\theta = 1 - t $$ 由于 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，我们可以将 $\cos\theta$ 用 $\sin\theta$ 表示，然后代入第一个方程中解出 $t$： $$ \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - (1 - t)^2} $$ 代入第一个方程得到： $$ 3\sqrt{1 - (1 - t)^2} = -1 + 4t $$ 平方两边消去根号，得到： $$ 9(1 - (1 - t)^2) = (-1 + 4t)^2 $$ $$ 9(1 - (1 - 2t + t^2)) = 1 - 8t + 16t^2 $$ $$ 9(2t - t^2) = 1 - 8t + 16t^2 $$ $$ 18t - 9t^2 = 1 - 8t + 16t^2 $$ $$ 25t^2 - 26t + 1 = 0 $$ 解这个二次方程，得到 $t$ 的值。由于这是一个关于 $t$ 的二次方程，我们可以使用求根公式： $$ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ 代入 $a=25, b=-26, c=1$，得到： $$ t = \frac{26 \pm \sqrt{(-26)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1}}{2 \cdot 25} $$ $$ t = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 100}}{50} $$ $$ t = \frac{26 \pm \sqrt{576}}{50} $$ $$ t = \frac{26 \pm 24}{50} $$ 得到两个解： $$ t_1 = \frac{50}{50} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{2}{50} = 0.04 $$ 将 $t_1$ 和 $t_2$ 分别代入直线 $I$ 的参数方程中，得到交点坐标： 对于 $t_1 = 1$： $$ x_1 = -1 + 4 \cdot 1 = 3 $$ $$ y_1 = 1 - 1 = 0 $$ 所以交点坐标为 $(3, 0)$。 对于 $t_2 = 0.04$： $$ x_2 = -1 + 4 \cdot 0.04 = -1 + 0.16 = -0.84 $$ $$ y_2 = 1 - 0.04 = 0.96 $$ 所以交点坐标为 $(-0.84, 0.96)$。 综上，曲线 $C$ 与直线 $I$ 的交点坐标为 $(3, 0)$ 和 $(-0.84, 0.96)$。<eoa> (2)【解析】要求曲线 $C$ 上的点到直线 $I$ 距离的最大值，我们可以使用点到直线的距离公式。对于直线 $I$ 的一般形式 $Ax + By + C = 0$，点 $(x_0, y_0)$ 到这条直线的距离 $d$ 可以用公式 $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ 来计算。首先，我们需要将直线 $I$ 的参数方程转换为一般形式。然后，我们将曲线 $C$ 上的点 $(x, y)$ 代入距离公式，并利用参数 $\theta$ 来表示距离。最后，我们找到这个距离的最大值，并将其设置为 $\sqrt{17}$ 来解出 $a$。<eoe> 【答案】直线 $I$ 的参数方程为： $$ \left\{\begin{array}{l} x=a+4t \\ y=1-t \end{array}\right. $$ 消去参数 $t$，得到 $t = \frac{x-a}{4}$，代入 $y$ 的方程得到： $$ y = 1 - \frac{x-a}{4} $$ 整理得到直线 $I$ 的一般形式： $$ 4y + x - a - 4 = 0 $$ 即： $$ x + 4y - a - 4 = 0 $$ 曲线 $C$ 上的点 $(x, y)$ 可以用参数 $\theta$ 表示为 $(3\cos\theta, \sin\theta)$。将这个点代入到直线 $I$ 的距离公式中，得到： $$ d = \frac{|3\cos\theta + 4\sin\theta - a - 4|}{\sqrt{1^2 + 4^2}} $$ $$ d = \frac{|3\cos\theta + 4\sin\theta - a - 4|}{\sqrt{17}} $$ 由于我们要找的是距离的最大值，我们可以考虑 $3\cos\theta + 4\sin\theta$ 的最大值。由于 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 的取值范围都是 $[-1, 1]$，我们可以使用三角恒等变换来找到这个最大值。我们知道对于任意的 $\theta$，有： $$ (3\cos\theta + 4\sin\theta)^2 \leq (3^2 + 4^2)(\cos^2\theta + \sin^2\theta) $$ $$ (3\cos\theta + 4\sin\theta)^2 \leq 25 $$ $$ -5 \leq 3\cos\theta + 4\sin\theta \leq 5 $$ 因此，$3\cos\theta + 4\sin\theta$ 的最大值为 $5$。将这个最大值代入距离公式中，得到： $$ d_{\text{max}} = \frac{|5 - a - 4|}{\sqrt{17}} $$ 根据题目条件，这个最大值等于 $\sqrt{17}$，所以我们有： $$ \frac{|5 - a - 4|}{\sqrt{17}} = \sqrt{17} $$ $$ |5 - a - 4| = 17 $$ 解这个绝对值方程，得到两个可能的 $a$ 值： $$ 5 - a - 4 = 17 \quad \text{或} \quad 5 - a - 4 = -17 $$ $$ a = -18 \quad \text{或} \quad a = 26 $$ 因此，$a$ 的值为 $-18$ 或 $26$。<eoa> |
解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$; $a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$; 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$, 所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$. (2) I 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$, 椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi)$, 所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为: $\mathrm{d}=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$, 且的 $\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\sqrt{17}$. (1)当 $-a-4 \leqslant 0$ 时, 即 $a \geqslant-4$ 时, $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$ 解得 $a=8 \geqslant-4$, 符合题意. (2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时 $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$ 解得 $a=-16<-4$, 符合题意. |
| kimi | (1)【解析】首先，我们需要将曲线C和直线I的参数方程转换为普通方程。曲线C的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array} \right. \] 我们可以利用三角恒等式 \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\) 来消去参数 \(\theta\)，得到曲线C的普通方程： \[ \frac{x^2}{9} + y^2 = 1 \] 直线I的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x=a+4t \\ y=1-t \end{array} \right. \] 我们可以消去参数 \(t\)，得到直线I的普通方程： \[ y = 1 - \frac{x - a}{4} \] 当 \(a=-1\) 时，直线I的方程变为： \[ y = 1 - \frac{x + 1}{4} \] 即： \[ 4y = 4 - x - 1 \] \[ x + 4y - 3 = 0 \] 接下来，我们需要解方程组： \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{x^2}{9} + y^2 = 1 \\ x + 4y - 3 = 0 \end{array} \right. \] 将第二个方程变形为 \(x = 3 - 4y\) 并代入第一个方程，得到： \[ \frac{(3 - 4y)^2}{9} + y^2 = 1 \] 解这个方程可以得到交点的坐标。 <eoe> 【答案】将 \(x = 3 - 4y\) 代入 \(\frac{x^2}{9} + y^2 = 1\) 得到： \[ \frac{(3 - 4y)^2}{9} + y^2 = 1 \] \[ \frac{9 - 24y + 16y^2}{9} + y^2 = 1 \] \[ 25y^2 - 24y + 8 = 9 \] \[ 25y^2 - 24y - 1 = 0 \] 解这个二次方程，我们得到 \(y\) 的两个解，然后代回 \(x = 3 - 4y\) 得到对应的 \(x\) 值。解得： \[ y = 1, \quad x = -1 \] \[ y = \frac{3}{5}, \quad x = \frac{9}{5} \] 所以交点坐标为 \((-1, 1)\) 和 \(\left(\frac{9}{5}, \frac{3}{5}\right)\)。<eoa> (2)【解析】曲线C上的点到直线I的距离最大值意味着直线I与曲线C的中心点的距离加上曲线C的半径。曲线C是椭圆，中心点在原点 \(O(0,0)\)，半径为 \(\sqrt{9} = 3\)。直线I的方程为： \[ x + 4y - a - 4 = 0 \] 点 \(O(0,0)\) 到直线 \(x + 4y - a - 4 = 0\) 的距离 \(d\) 可以用点到直线距离公式计算： \[ d = \frac{|a + 4|}{\sqrt{1^2 + 4^2}} = \frac{|a + 4|}{\sqrt{17}} \] 根据题意，这个距离加上椭圆的半径等于 \(\sqrt{17}\)，即： \[ \frac{|a + 4|}{\sqrt{17}} + 3 = \sqrt{17} \] 解这个方程可以得到 \(a\) 的值。 <eoe> 【答案】解方程： \[ \frac{|a + 4|}{\sqrt{17}} + 3 = \sqrt{17} \] \[ \frac{|a + 4|}{\sqrt{17}} = \sqrt{17} - 3 \] \[ |a + 4| = \sqrt{17}^2 - 3\sqrt{17} \] \[ |a + 4| = 17 - 3\sqrt{17} \] 所以： \[ a + 4 = 17 - 3\sqrt{17} \ |
解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$; $a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$; 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$, 所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$. (2) I 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$, 椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi)$, 所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为: $\mathrm{d}=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$, 且的 $\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\sqrt{17}$. (1)当 $-a-4 \leqslant 0$ 时, 即 $a \geqslant-4$ 时, $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$ 解得 $a=8 \geqslant-4$, 符合题意. (2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时 $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$ 解得 $a=-16<-4$, 符合题意. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】当$a = - 1$时，直线$l$的参数方程为$\left\{ \begin{array}{r} x = - 1 + 4t \\ y = 1 - t \\ \end{array} \right.$， 消去参数$t$，得直线$l$的普通方程为$x + 4y - 3 = 0$， 曲线C的参数方程为$\left\{ \begin{array}{r} x = 3\cos\theta \\ y = \sin\theta \\ \end{array} \right.$， 消去参数$\theta$，得曲线C的普通方程为$\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$， 联立$\left\{ \begin{array}{r} x + 4y - 3 = 0 \\ \frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1 \\ \end{array} \right.$， 解得$\left\{ \begin{array}{r} x = 3 \\ y = 0 \\ \end{array} \right.$或$\left\{ \begin{array}{r} x = - \frac{21}{25} \\ y = \frac{24}{25} \\ \end{array} \right.$， 所以曲线C与直线$l$的交点坐标为$(3,0)$，$\left( - \frac{21}{25},\frac{24}{25} \right)$。 【答案】曲线C与直线$l$的交点坐标为$(3,0)$，$\left( - \frac{21}{25},\frac{24}{25} \right)$。 (2)【解析】设曲线C上的点$P(3\cos\theta,\sin\theta)$， 点$P$到直线$l:x - 4y + a - 4 = 0$的距离为$d = \frac{\left| 3\cos\theta - 4\sin\theta + a - 4 \right|}{\sqrt{17}} = \frac{\left| 5\cos(\theta + \varphi) + a - 4 \right|}{\sqrt{17}}$， 其中$\sin\varphi = \frac{3}{5}$，$\cos\varphi = \frac{4}{5}$， 当$d_{\max} = \sqrt{17}$时，即$\frac{|5 + a - 4|}{\sqrt{17}} = \sqrt{17}$或$\frac{| - 5 + a - 4|}{\sqrt{17}} = \sqrt{17}$， 解得$a = 18$或$a = - 14$。 【答案】$a = 18$或$a = - 14$。 |
解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$; $a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$; 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$, 所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$. (2) I 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$, 椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi)$, 所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为: $\mathrm{d}=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$, 且的 $\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\sqrt{17}$. (1)当 $-a-4 \leqslant 0$ 时, 即 $a \geqslant-4$ 时, $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$ 解得 $a=8 \geqslant-4$, 符合题意. (2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时 $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$ 解得 $a=-16<-4$, 符合题意. |
| zhipu | (1)【解析】首先，我们将曲线 \( C \) 和直线 \( I \) 的参数方程写出来： - 曲线 \( C \) 的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 \cos \theta \\ y = \sin \theta \end{array} \right. \] - 直线 \( I \) 的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = a + 4t \\ y = 1 - t \end{array} \right. \] 当 \( a = -1 \) 时，直线 \( I \) 的参数方程变为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 4t \\ y = 1 - t \end{array} \right. \] 我们需要找到曲线 \( C \) 和直线 \( I \) 的交点，即满足以下方程组的点： \[ \left\{ \begin{array}{l} 3 \cos \theta = -1 + 4t \\ \sin \theta = 1 - t \end{array} \right. \] 从第二个方程中解出 \( t \)： \[ t = 1 - \sin \theta \] 将 \( t \) 代入第一个方程： \[ 3 \cos \theta = -1 + 4(1 - \sin \theta) \] \[ 3 \cos \theta = -1 + 4 - 4 \sin \theta \] \[ 3 \cos \theta = 3 - 4 \sin \theta \] \[ 3 \cos \theta + 4 \sin \theta = 3 \] 将上式两边平方并利用 \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \)： \[ (3 \cos \theta + 4 \sin \theta)^2 = 3^2 \] \[ 9 \cos^2 \theta + 24 \cos \theta \sin \theta + 16 \sin^2 \theta = 9 \] \[ 9 (1 - \sin^2 \theta) + 24 \cos \theta \sin \theta + 16 \sin^2 \theta = 9 \] \[ 9 - 9 \sin^2 \theta + 24 \cos \theta \sin \theta + 16 \sin^2 \theta = 9 \] \[ 9 + 7 \sin^2 \theta + 24 \cos \theta \sin \theta = 9 \] \[ 7 \sin^2 \theta + 24 \cos \theta \sin \theta = 0 \] \[ \sin \theta (7 \sin \theta + 24 \cos \theta) = 0 \] 所以，\(\sin \theta = 0\) 或 \(7 \sin \theta + 24 \cos \theta = 0\)。 - 当 \(\sin \theta = 0\) 时，\(\theta = 0\) 或 \(\theta = \pi\)，则 \(x = 3 \cos \theta = 3\) 或 \(x = -3\)，对应的 \(t = 1 - \sin \theta = 1\)，则 \(y = 1 - t = 0\)。 所以交点为 \((3, 0)\)。 - 当 \(7 \sin \theta + 24 \cos \theta = 0\) 时，\(\tan \theta = -\frac{24}{7}\)，则 \[ \sin \theta = -\frac{24}{25}, \quad \cos \theta = \frac{7}{25} \] 对应的 \(x = 3 \cos \theta = \frac{21}{25}\)，\(t = 1 - \sin \theta = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25}\)，则 \(y = 1 - t = 1 - \frac{49}{25} = -\frac{24}{25}\)。 所以交点为 \(\left(\frac{21}{25}, -\frac{24}{25}\right)\)。 综上所述，交点坐标为 \((3, 0)\) 和 \(\left(\frac{21}{25}, -\frac{24}{25}\right)\)。<eoe> 【答案】交点坐标为 \((3, 0)\) 和 \(\left(\frac{21}{25}, -\frac{24}{25}\right)\)。<eoa> (2)【解析】曲线 \( C \) 上任一点 \((x, y)\) 可以表示为 \((3 \cos \theta, \sin \theta)\)。 直线 \( I \) 的一般方程为： \[ x - 4y + (a - 4) = 0 \] 点 \((3 \cos \theta, \sin \theta)\) 到直线 \( I \) 的距离公式为： \[ d = \frac{|3 \cos \theta - 4 \sin \theta + (a - 4)|}{\sqrt{1^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 \cos \theta - 4 \sin \theta + a - 4|}{\sqrt{17}} \] 已知距离的最大值为 \(\sqrt{17}\)，所以： \[ \frac{|3 \cos \theta - 4 \sin \theta + a - 4|}{\sqrt{17}} = \sqrt{17} \] \[ |3 \cos \theta - 4 \sin \theta + a - 4| = 17 \] 考虑 \(3 \cos \theta - 4 \sin \theta\) 的取值范围。设 \(R = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5\)，则： \[ 3 \cos \theta - 4 \sin \theta = 5 \cos (\theta + \varphi) \] 其中 \(\varphi\) 是某一角度，\(\cos (\theta + \varphi)\) 的取值范围是 \([-1, 1]\)，所以： \[ 3 \cos \theta - 4 \sin \theta\) 的取值范围是 \([-5, 5]\)。 因此： \[ |5 \cos (\theta + \varphi) + a - 4| = 17 \] 考虑最大值情况： \[ 5 \cos (\theta + \varphi) + a - 4 = 17 \quad \text{或} \quad 5 \cos (\theta + \varphi) + a - 4 = -17 \] - 当 \(5 \cos (\theta + \varphi) + a - 4 = 17\) 时： \[ 5 \cos (\theta + \varphi) = 17 - a + 4 \] \[ 5 \cos (\theta + \varphi) = 21 - a \] 因为 \(\cos (\theta + \varphi)\) 的最大值为 1，所以： \[ 5 \leq 21 - a \] \[ a \leq 16 \] - 当 \(5 \cos (\theta + \varphi) + a - 4 = -17\) 时： \[ 5 \cos (\theta + \varphi) = -17 - a + 4 \] \[ 5 \cos (\theta + \varphi) = -13 - a \] 因为 \(\cos (\theta + \varphi)\) 的最小值为 -1，所以： \[ -5 \geq -13 - a \] \[ a \geq 8 \] 综上所述，\(a\) 的取值范围为 \(8 \leq a \leq 16\)。为了满足最大距离为 \(\sqrt{17}\)，取 \(a = 8\) 或 \(a = 16\)。 所以 \(a = 8\) 或 \(a = 16\)。<eoe> 【答案】\(a = 8\) 或 \(a = 16\)。<eoa> |
解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$; $a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$; 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$, 所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$. (2) I 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$, 椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi)$, 所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为: $\mathrm{d}=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$, 且的 $\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\sqrt{17}$. (1)当 $-a-4 \leqslant 0$ 时, 即 $a \geqslant-4$ 时, $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$ 解得 $a=8 \geqslant-4$, 符合题意. (2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时 $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$ 解得 $a=-16<-4$, 符合题意. |
| gpto1 | (1)【解析】 首先，我们将曲线 $C$ 和直线 $l$ 的参数方程分别列出： 曲线 $C$： $$ \left\{\begin{array}{l} x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}\right. $$ 当 $a=-1$ 时，直线 $l$ 的参数方程为： $$ \left\{\begin{array}{l} x=-1+4 t \\ y=1-t \end{array}\right. $$ 为了求 $C$ 与 $l$ 的交点，我们需要找到满足以上两组方程的 $\theta$ 和 $t$。我们可以通过消元法来解决。 从直线的参数方程中，消去参数 $t$： $$ \begin{cases} x=-1+4 t \\ y=1-t \end{cases} \implies t=1-y $$ 将 $t$ 代回到 $x$ 中： $$ x=-1+4(1-y)=3-4 y $$ 对于曲线 $C$，$x=3 \cos \theta$，$y=\sin \theta$，因此代入上式： $$ 3 \cos \theta = 3 - 4 \sin \theta $$ 两边同时除以 3，得到： $$ \cos \theta + \frac{4}{3} \sin \theta =1 $$ 为了将方程化简，我们考虑利用三角恒等式。设： $$ 3 \cos \theta + 4 \sin \theta = R \cos (\theta - \varphi) $$ 其中： $$ R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \\ \cos \varphi = \frac{3}{5}, \quad \sin \varphi = \frac{4}{5} $$ 因此，原方程化为： $$ 5 \cos (\theta - \varphi) = 3 $$ 两边除以 5： $$ \cos (\theta - \varphi) = \frac{3}{5} $$ 因此： $$ \theta - \varphi = \arccos\left(\frac{3}{5}\right) \quad \text{或} \quad \theta - \varphi = 2\pi - \arccos\left(\frac{3}{5}\right) $$ 计算 $\varphi$： $$ \varphi = \arccos\left(\frac{3}{5}\right) $$ 所以两个 $\theta$ 的解为： $$ \theta = 2\arccos\left(\frac{3}{5}\right) \quad \text{和} \quad \theta = 2\pi $$ 计算对应的交点坐标： 1. 当 $\theta = 2\arccos\left(\frac{3}{5}\right)$ 时， $$ x = 3 \cos(2\arccos\left(\frac{3}{5}\right)) = 3 \left(2 \cos^2 \left(\frac{3}{5}\right) -1\right) = 3 \left(2 \left(\frac{3}{5}\right)^2 -1\right) = -\frac{21}{25} \\ y = \sin(2\arccos\left(\frac{3}{5}\right)) = 2 \sin\left(\frac{3}{5}\right) \cos\left(\frac{3}{5}\right) = 2 \left(\frac{4}{5}\right) \left(\frac{3}{5}\right) = \frac{24}{25} $$ 2. 当 $\theta = 0$ 时， $$ x = 3 \cos 0 = 3 \\ y = \sin 0 = 0 $$ <eoe> 【答案】(1) 当 $a=-1$ 时，曲线 $C$ 与直线 $l$ 的交点为： $$ \left(3, 0\right) \quad \text{和} \quad \left(-\dfrac{21}{25}, \dfrac{24}{25}\right) $$ <eoa> (2)【解析】 首先，将直线 $l$ 的参数方程化为一般式。当 $t=1-y$，将其代入 $x$ 得到： $$ x = a + 4 t = a + 4(1 - y) = (a + 4) - 4 y $$ 因此，直线 $l$ 的一般式为： $$ x + 4 y - (a + 4) = 0 $$ 直线的标准式为 $Ax + By + C = 0$，其中 $A = 1$，$B = 4$，$C = -(a + 4)$。 曲线上任意一点 $(x, y)$ 到直线的距离为： $$ D = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|x + 4 y - (a + 4)|}{\sqrt{17}} $$ 将曲线 $C$ 的参数方程代入，得到： $$ x + 4 y = 3 \cos \theta + 4 \sin \theta $$ 因此，距离为： $$ D = \frac{|3 \cos \theta + 4 \sin \theta - (a + 4)|}{\sqrt{17}} $$ 已知 $D_{\text{max}} = \sqrt{17}$，所以： $$ \max_{\theta} \left|3 \cos \theta + 4 \sin \theta - (a + 4)\right| = 17 $$ 同样使用三角恒等式，得到： $$ 3 \cos \theta + 4 \sin \theta = 5 \cos (\theta - \varphi) $$ 因此： $$ \left|5 \cos (\theta - \varphi) - (a + 4)\right| \leq 17 $$ 为了使上式的最大值为 17，需要满足： $$ \max \left|5 \cos (\theta - \varphi) - (a + 4)\right| = 17 $$ 考虑 $\cos (\theta - \varphi)$ 的取值范围为 $[-1, 1]$，因此： $$ \begin{cases} \left|5 \times 1 - (a + 4)\right| = 17 \\ \left|5 \times (-1) - (a + 4)\right| = 17 \end{cases} $$ 解得： 1. $5 - (a + 4) = \pm17$， - 当 $5 - (a + 4) = 17$，$a = -16$； - 当 $5 - (a + 4) = -17$，$a = 18$。 2. $-5 - (a + 4) = \pm17$， - 当 $-5 - (a + 4) = 17$，$a = -26$； - 当 $-5 - (a + 4) = -17$，$a = 8$。 然后，通过分析，发现只有 $a = -16$ 和 $a = 8$ 满足条件。 <eoe> 【答案】(2) 满足条件的 $a$ 值为 $a = -16$ 或 $a = 8$。 <eoa> |
解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$; $a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$; 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$, 所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$. (2) I 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$, 椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi)$, 所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为: $\mathrm{d}=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$, 且的 $\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\sqrt{17}$. (1)当 $-a-4 \leqslant 0$ 时, 即 $a \geqslant-4$ 时, $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$ 解得 $a=8 \geqslant-4$, 符合题意. (2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时 $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$ 解得 $a=-16<-4$, 符合题意. |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-a25e1719-4ad8-922b-9f44-2c6a01737c1f', 'request_id': 'a25e1719-4ad8-922b-9f44-2c6a01737c1f'} | 解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$; $a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$; 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$, 所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$. (2) I 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$, 椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi)$, 所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为: $\mathrm{d}=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$, 且的 $\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\sqrt{17}$. (1)当 $-a-4 \leqslant 0$ 时, 即 $a \geqslant-4$ 时, $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$ 解得 $a=8 \geqslant-4$, 符合题意. (2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时 $|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$ 解得 $a=-16<-4$, 符合题意. |