| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 我们首先需要计算20件产品中恰有2件不合格品的概率$f(p)$。这是一个二项分布问题，其中成功的概率为$p$，试验次数为20次，成功次数为2次。 二项分布的概率质量函数为： \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] 在这里，$n = 20$，$k = 2$，所以： \[ f(p) = \binom{20}{2} p^2 (1-p)^{18} \] 计算组合数： \[ \binom{20}{2} = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190 \] 因此： \[ f(p) = 190 p^2 (1-p)^{18} \] 为了找到$f(p)$的最大值点$p_0$，我们需要对$f(p)$求导并找到其极值点。首先对$f(p)$求导： \[ f'(p) = 190 \left[ 2p(1-p)^{18} + p^2 \cdot 18(1-p)^{17}(-1) \right] \] \[ f'(p) = 190 \left[ 2p(1-p)^{18} - 18p^2(1-p)^{17} \right] \] \[ f'(p) = 190 (1-p)^{17} \left[ 2p(1-p) - 18p^2 \right] \] \[ f'(p) = 190 (1-p)^{17} \left[ 2p - 2p^2 - 18p^2 \right] \] \[ f'(p) = 190 (1-p)^{17} \left[ 2p - 20p^2 \right] \] \[ f'(p) = 190 (1-p)^{17} \cdot 2p (1 - 10p) \] 令$f'(p) = 0$，则： \[ 190 (1-p)^{17} \cdot 2p (1 - 10p) = 0 \] 由于$0 < p < 1$，所以$(1-p)^{17} \neq 0$，$2p \neq 0$，因此： \[ 1 - 10p = 0 \] \[ p = \frac{1}{10} \] 我们需要验证$p = \frac{1}{10}$是否为极大值点。可以通过二阶导数检验： \[ f''(p) = 190 \left[ 2(1-p)^{18} - 36p(1-p)^{17} + 2p \cdot 17(1-p)^{16}(-1) \right] \] \[ f''(p) = 190 \left[ 2(1-p)^{18} - 36p(1-p)^{17} - 34p(1-p)^{16} \right] \] \[ f''(p) = 190 (1-p)^{16} \left[ 2(1-p) - 36p - 34p \right] \] \[ f''(p) = 190 (1-p)^{16} \left[ 2 - 2p - 70p \right] \] \[ f''(p) = 190 (1-p)^{16} \left[ 2 - 72p \right] \] 当$p = \frac{1}{10}$时： \[ f''\left(\frac{1}{10}\right) = 190 \left(1 - \frac{1}{10}\right)^{16} \left[ 2 - 72 \cdot \frac{1}{10} \right] \] \[ f''\left(\frac{1}{10}\right) = 190 \left(\frac{9}{10}\right)^{16} \left[ 2 - 7.2 \right] \] \[ f''\left(\frac{1}{10}\right) = 190 \left(\frac{9}{10}\right)^{16} \cdot (-5.2) \] 由于$f''\left(\frac{1}{10}\right) < 0$，所以$p = \frac{1}{10}$是极大值点。 <eoe> 【答案】$f(p)$的最大值点$p_0 = \frac{1}{10}$。<eoa> (2)【解析】 (i) 现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的$p_0 = \frac{1}{10}$作为$p$的值。 不对该箱余下的产品作检验，检验费用为： \[ 20 \times 2 = 40 \text{元} \] 赔偿费用的期望值$E(Y)$，其中$Y$是赔偿费用。余下的180件产品中不合格品的期望数量为： \[ E(N) = 180 \times p_0 = 180 \times \frac{1}{10} = 18 \] 每件不合格品的赔偿费用为25元，所以赔偿费用的期望值为： \[ E(Y) = 18 \times 25 = 450 \text{元} \] 因此，检验费用与赔偿费用的和的期望值$E(X)$为： \[ E(X) = 40 + 450 = 490 \text{元} \] <eoe> 【答案】$E(X) = 490 \text{元}$。<eoa> (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验? 如果对余下的180件产品作检验，检验费用为： \[ 180 \times 2 = 360 \text{元} \] 由于所有不合格品都被更换为合格品，所以赔偿费用为0元。 因此，总费用为： \[ 20 \times 2 + 180 \times 2 = 40 + 360 = 400 \text{元} \] 比较两种情况的期望费用： - 不对余下的产品作检验：490元 - 对余下的产品作检验：400元 显然，对余下的产品作检验的期望费用更低。 <eoe> 【答案】应对这箱余下的所有产品作检验。<eoa> |
解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 令 $f^{\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$, 当 $p \in(0,0.1)$ 时, $f^{\prime}(p)>0$ ， 当 $p \in(0.1,1)$ 时, $f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$. （2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \sim B(180,0.1 ）$, $X=20 \times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$. (ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $\because E(X)=490>400$, $\therefore$ 应该对余下的产品进行检验. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 题目要求找出20件产品中恰有2件不合格的概率函数$f(p)$的最大值点$p_0$。$f(p)$服从二项分布： $$ f(p) = \binom{20}{2} p^2 (1-p)^{18} $$ 为求最大值点，仅需最大化$g(p) = p^2 (1-p)^{18}$。取自然对数得： $$ \ln g(p) = 2\ln p + 18\ln(1-p) $$ 对$p$求导并令导数为零： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p} \ln g(p) = \frac{2}{p} - \frac{18}{1-p} = 0 $$ 解得$2(1-p) = 18p$，即$p_0 = \frac{2}{20} = 0.1$。 <eoe> 【答案】最大值为$p_0 = 0.1$。 <eoa> (2)(i)【解析】 当$p=0.1$时，余下180件中不合格品数期望为$180 \times 0.1 = 18$。赔偿费用期望为$18 \times 25 = 450$元。已检验20件的费用为$20 \times 2 = 40$元。总期望费用为： $$ E X = 40 + 450 = 490 $$ <eoe> 【答案】$EX = 490$元。 <eoa> (2)(ii)【解析】 若检验余下180件，总检验费用为$200 \times 2 = 400$元，无赔偿费用。比较两种情况： - 不检验余下：期望费用490元。 - 检验余下：固定费用400元。 因$400 < 490$，应检验余下产品。 <eoe> 【答案】应该对余下产品进行检验。 <eoa> |
解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 令 $f^{\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$, 当 $p \in(0,0.1)$ 时, $f^{\prime}(p)>0$ ， 当 $p \in(0.1,1)$ 时, $f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$. （2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \sim B(180,0.1 ）$, $X=20 \times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$. (ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $\because E(X)=490>400$, $\therefore$ 应该对余下的产品进行检验. |
| gpto1 | 20． (1)【解析】 设 $f(p)$ 为从 20 件产品中恰好抽到 2 件不合格品的概率。 则： $$ f(p) = \mathrm{C}_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}=190 p^{2}(1-p)^{18} $$ 要找到使 $f(p)$ 最大的 $p$，我们对 $f(p)$ 求导并令其导数为 0。 首先，对 $f(p)$ 取对数，便于求导： $$ \ln f(p) = \ln 190 + 2\ln p + 18\ln(1-p) $$ 对 $p$ 求导： $$ \frac{d}{dp} \ln f(p) = \frac{2}{p} - \frac{18}{1-p} $$ 令导数为 0，求解 $p$： $$ \frac{2}{p} - \frac{18}{1-p} = 0 \\ \Rightarrow \frac{2}{p} = \frac{18}{1-p} \\ \Rightarrow 2(1 - p) = 18p \\ \Rightarrow 2 - 2p = 18p \\ \Rightarrow 2 = 20p \\ \Rightarrow p = \frac{1}{10} $$ 因此，当 $p = \dfrac{1}{10}$ 时，$f(p)$ 取得最大值。 <eoe> 【答案】(1) $p_{0}=\dfrac{1}{10}$。<eoa> (2)(i)【解析】 在检验了 20 件产品后，发现恰有 2 件不合格品，采用 (1) 中确定的 $p_{0}=\dfrac{1}{10}$ 作为 $p$ 的值。 不再检验余下的 180 件产品。 检验费用： $$ \text{检验费用} = 20 \times 2\,\text{元} = 40\,\text{元} $$ 未检验的 180 件产品中，不合格品的期望数量为： $$ E(D) = 180 \times p = 180 \times \dfrac{1}{10} = 18\,\text{件} $$ 因此，赔偿费用的期望为： $$ \text{赔偿费用} = E(D) \times 25\,\text{元} = 18 \times 25\,\text{元} = 450\,\text{元} $$ 总费用的期望为： $$ E X = \text{检验费用} + \text{赔偿费用} = 40\,\text{元} + 450\,\text{元} = 490\,\text{元} $$ <eoe> 【答案】(i) $E X = 490\,\text{元}$。<eoa> (2)(ii)【解析】 若对余下的 180 件产品全部检验： 额外的检验费用： $$ 180 \times 2\,\text{元} = 360\,\text{元} $$ 总检验费用： $$ \text{总检验费用} = 40\,\text{元} + 360\,\text{元} = 400\,\text{元} $$ 由于所有不合格品都被检出并更换，故赔偿费用为： $$ \text{赔偿费用} = 0 $$ 因此，总费用为： $$ \text{总费用} = \text{检验费用} + \text{赔偿费用} = 400\,\text{元} + 0 = 400\,\text{元} $$ 比较不检验余下产品的总费用期望 $E X = 490\,\text{元}$，检验全部产品的总费用更低。 因此，为了降低费用期望，应该对余下的所有产品作检验。 <eoe> 【答案】(ii) 应该对这箱余下的所有产品作检验。<eoa> |
解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 令 $f^{\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$, 当 $p \in(0,0.1)$ 时, $f^{\prime}(p)>0$ ， 当 $p \in(0.1,1)$ 时, $f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$. （2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \sim B(180,0.1 ）$, $X=20 \times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$. (ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $\because E(X)=490>400$, $\therefore$ 应该对余下的产品进行检验. |
| GPT-4o | (1)【解析】 设每件产品为不合格品的概率为 \( p \)，每件产品为合格品的概率为 \( 1-p \)。20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率 \( f(p) \) 可以表示为二项分布： \[ f(p) = \binom{20}{2} p^2 (1-p)^{18} \] 其中，\(\binom{20}{2}\) 是从 20 件产品中选出 2 件不合格品的组合数。 首先，计算组合数： \[ \binom{20}{2} = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190 \] 因此： \[ f(p) = 190 \cdot p^2 \cdot (1-p)^{18} \] 接下来，求 \( f(p) \) 的最大值点 \( p_0 \)。为此，对 \( f(p) \) 求导并令其导数为零： \[ f'(p) = 190 \cdot \left[ 2p \cdot (1-p)^{18} + p^2 \cdot 18(1-p)^{17} \cdot (-1) \right] \] \[ f'(p) = 190 \cdot \left[ 2p(1-p)^{18} - 18p^2(1-p)^{17} \right] \] \[ f'(p) = 190 \cdot p \cdot (1-p)^{17} \cdot \left[ 2(1-p) - 18p \right] \] \[ f'(p) = 190 \cdot p \cdot (1-p)^{17} \cdot (2 - 20p) \] 令 \( f'(p) = 0 \): \[ 190 \cdot p \cdot (1-p)^{17} \cdot (2 - 20p) = 0 \] 显然 \( p = 0 \) 和 \( p = 1 \) 不是有效解，因为 \( 0 < p < 1 \)。因此： \[ 2 - 20p = 0 \] \[ p = \frac{2}{20} = 0.1 \] 因此，\( p_0 = 0.1 \)。 <eoe> 【答案】\( p_0 = 0.1 \)<eoa> (2)【解析】 (i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 \( X \)。 首先，检验费用为： \[ 20 \times 2 = 40 \text{ 元} \] 接着，计算赔偿费用的期望值。箱子中有 200 件产品，检验了 20 件，剩下 180 件。在 \( p_0 = 0.1 \) 的情况下，每件产品为不合格品的概率是 0.1。 剩下的 180 件产品中不合格品的期望数量为： \[ 180 \times 0.1 = 18 \] 因此，赔偿费用的期望值为： \[ 18 \times 25 = 450 \text{ 元} \] 因此，总费用的期望值 \( E(X) \) 为： \[ E(X) = 40 + 450 = 490 \text{ 元} \] <eoe> 【答案】\( E(X) = 490 \text{ 元} \)<eoa> (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 若对剩下的 180 件产品作检验，检验费用为： \[ 180 \times 2 = 360 \text{ 元} \] 若发现不合格品，则更换费用为 0，因为已经更换为合格品。因此，总费用为： \[ 20 \times 2 + 180 \times 2 = 40 + 360 = 400 \text{ 元} \] 由于检验所有产品的总费用 400 元小于不检验余下产品的期望总费用 490 元，因此应对余下的所有产品作检验。 <eoe> 【答案】应对余下的所有产品作检验。<eoa> |
解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 令 $f^{\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$, 当 $p \in(0,0.1)$ 时, $f^{\prime}(p)>0$ ， 当 $p \in(0.1,1)$ 时, $f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$. （2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \sim B(180,0.1 ）$, $X=20 \times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$. (ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $\because E(X)=490>400$, $\therefore$ 应该对余下的产品进行检验. |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C_{20}^{2}p^{2}(1-p)^{18},令f'(p)=0,解得p_{0}=\frac{1}{10}. (2)(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,则X=40+25\times180\times\frac{1}{10}\times\frac{9}{10}^{179},所以EX=40+25\times180\times\frac{1}{10}\times\frac{9}{10}^{179}. (ii)若对这箱余下的所有产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为Y,则Y=400,所以EY=400,因为EX<EY,所以不该对这箱余下的所有产品作检验.【答案】(1)f(p)=C_{20}^{2}p^{2}(1-p)^{18},p_{0}=\frac{1}{10}. (2)(i)X=40+25\times180\times\frac{1}{10}\times\frac{9}{10}^{179},EX=40+25\times180\times\frac{1}{10}\times\frac{9}{10}^{179}. (ii)不该对这箱余下的所有产品作检验. |
解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 令 $f^{\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$, 当 $p \in(0,0.1)$ 时, $f^{\prime}(p)>0$ ， 当 $p \in(0.1,1)$ 时, $f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$. （2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \sim B(180,0.1 ）$, $X=20 \times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$. (ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $\because E(X)=490>400$, $\therefore$ 应该对余下的产品进行检验. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)【解析】 20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C_{20}^{2}p^{2}(1-p)^{18},令f(p)的导数等于0,可得p_{0}=\frac{1}{10}.<eoe> 【答案】p_{0}=\frac{1}{10}.<eoa> (2) (i)【解析】 若不对该箱余下的产品作检验,则检验费用为2\times20=40元,设余下的180件产品中不合格品的件数为Y,则Y\simB(180,\frac{1}{10}),所以E(Y)=np=18,即赔偿费用为25\times18=450元,所以EX=40+450=490.<eoe> 【答案】490.<eoa> |
解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 令 $f^{\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$, 当 $p \in(0,0.1)$ 时, $f^{\prime}(p)>0$ ， 当 $p \in(0.1,1)$ 时, $f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$. （2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \sim B(180,0.1 ）$, $X=20 \times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$. (ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $\because E(X)=490>400$, $\therefore$ 应该对余下的产品进行检验. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 首先，我们需要计算20件产品中恰有2件不合格品的概率。设每件产品为不合格品的概率为$p$，则20件产品中恰有2件不合格品的概率为：\n\\[ f(p) = \\binom{20}{2} p^2 (1-p)^{18} \\]\n其中，\\(\\binom{20}{2}\\)是组合数，表示从20件产品中选出2件不合格品的组合数。\n\n为了找到$f(p)$的最大值点$p_0$，我们需要对$f(p)$求导并找到导数为0的点。首先计算$f(p)$的导数：\n\\[ f'(p) = \\binom{20}{2} \\left[ 2p(1-p)^{18} - 18p^2(1-p)^{17} \\right] \\]\n\\[ f'(p) = \\binom{20}{2} p(1-p)^{17} \\left[ 2(1-p) - 18p \\right] \\]\n\\[ f'(p) = \\binom{20}{2} p(1-p)^{17} \\left[ 2 - 20p \\right] \\]\n\n令$f'(p) = 0$，解得：\n\\[ 2 - 20p = 0 \\]\n\\[ p = \\frac{1}{10} \\]\n\n为了确认$p = \\frac{1}{10}$是最大值点，我们需要检查$f''(p)$在$p = \\frac{1}{10}$处的符号。计算$f''(p)$：\n\\[ f''(p) = \\binom{20}{2} \\left[ (1-p)^{17} (2 - 40p + 20p^2) + p(1-p)^{16} (-34 + 340p) \\right] \\]\n\n在$p = \\frac{1}{10}$处，$f''(p)$的符号为负，因此$p = \\frac{1}{10}$是$f(p)$的最大值点。\n<eoe>\n【答案】\\[ p_0 = \\frac{1}{10} \\]<eoa>\n\n(2)【解析】 现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的$p_0$作为$p$的值，即$p = \\frac{1}{10}$。\n\n(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为$X$。首先计算检验费用：\n\\[ \\text{检验费用} = 20 \\times 2 = 40 \\text{元} \\]\n\n接下来计算赔偿费用。已知每件产品为不合格品的概率为$p = \\frac{1}{10}$，箱中剩余的180件产品中不合格品的期望数为：\n\\[ 180 \\times \\frac{1}{10} = 18 \\text{件} \\]\n\n每件不合格品的赔偿费用为25元，因此赔偿费用为：\n\\[ 18 \\times 25 = 450 \\text{元} \\]\n\n总费用$X$为检验费用与赔偿费用之和：\n\\[ X = 40 + 450 = 490 \\text{元} \\]\n\n因此，$E(X)$为：\n\\[ E(X) = 490 \\text{元} \\]\n<eoe>\n【答案】\\[ E(X) = 490 \\text{元} \\]<eoa>\n\n(ii) 若对余下的所有产品作检验，检验费用为：\n\\[ 180 \\times 2 = 360 \\text{元} \\]\n\n总检验费用为：\n\\[ 40 + 360 = 400 \\text{元} \\]\n\n比较两种情况的总费用：\n- 不对余下的产品作检验，总费用为490元。\n- 对余下的产品作检验，总费用为400元。\n\n显然，对余下的产品作检验的总费用较低。\n<eoe>\n【答案】应该对余下的所有产品作检验。<eoa>" | 解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 令 $f^{\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$, 当 $p \in(0,0.1)$ 时, $f^{\prime}(p)>0$ ， 当 $p \in(0.1,1)$ 时, $f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$. （2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \sim B(180,0.1 ）$, $X=20 \times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$. (ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $\because E(X)=490>400$, $\therefore$ 应该对余下的产品进行检验. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 首先，我们需要找到20件产品中恰有2件不合格品的概率$f(p)$的表达式。由于每件产品是否为不合格品是相互独立的，且每件产品不合格的概率为$p$，我们可以使用二项分布的公式来计算这个概率。对于20件产品中恰有2件不合格品，我们可以使用二项分布的概率质量函数来表示，即$f(p) = C_{20}^2 p^2 (1-p)^{18}$，其中$C_{20}^2$是从20件产品中选取2件的组合数。为了找到$f(p)$的最大值点$p_0$，我们需要对$f(p)$求导并令其等于0来找到极值点，然后确定这个极值点是否为最大值点。\n<eoe>\n\n【答案】\n为了找到$f(p)$的最大值点，我们先求$f(p)$的导数$f'(p)$。\n\\[f(p) = C_{20}^2 p^2 (1-p)^{18}\\]\n\\[f'(p) = 2C_{20}^2 p (1-p)^{18} - 18C_{20}^2 p^2 (1-p)^{17}\\]\n令$f'(p) = 0$，我们得到\n\\[2p (1-p)^{18} = 18p^2 (1-p)^{17}\\]\n化简得\n\\[(1-p) = 9p\\]\n\\[p_0 = \\frac{1}{10}\\]\n因此，$f(p)$的最大值点$p_0 = \\frac{1}{10}$。\n<eoa>\n\n(2)【解析】\n(i) 首先，我们计算不对该箱余下的产品作检验时，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和$X$的期望值$EX$。由于已经检验了20件产品，每件产品的检验费用为2元，因此已知检验费用为$20 \\times 2 = 40$元。对于赔偿费用，我们需要计算剩余180件产品中不合格品的期望数量，然后乘以每件不合格品的赔偿费用25元。由于$p_0 = \\frac{1}{10}$，剩余180件产品中不合格品的期望数量为$180 \\times \\frac{1}{10} = 18$件。因此，赔偿费用的期望为$18 \\times 25 = 450$元。所以，$EX = 40 + 450 = 490$元。\n\n(ii) 接下来，我们需要比较不对剩余产品作检验与对剩余产品作检验时，检验费用与赔偿费用和的期望值，以决定是否应该对剩余产品进行检验。如果对剩余的180件产品进行检验，检验费用为$180 \\times 2 = 360$元，而赔偿费用为0元，因为所有不合格品都会被发现并替换。因此，检验费用与赔偿费用和的期望值为$360$元。比较$EX$的两个值，我们可以看出，对剩余产品进行检验的总费用期望值较低，为360元，而不对剩余产品进行检验的总费用期望值为490元。因此，以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，应该对这箱余下的所有产品作检验。\n<eoe>\n\n【答案】\n(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和$EX$的期望值为490元。\n\n(ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，应该对这箱余下的所有产品作检验，因为对剩余产品进行检验的总费用期望值较低，为360元，而不对剩余产品进行检验的总费用期望值为490元。\n<eoa>" | 解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 令 $f^{\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$, 当 $p \in(0,0.1)$ 时, $f^{\prime}(p)>0$ ， 当 $p \in(0.1,1)$ 时, $f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$. （2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \sim B(180,0.1 ）$, $X=20 \times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$. (ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $\because E(X)=490>400$, $\therefore$ 应该对余下的产品进行检验. |
| baichuan4 | (1)【解析】首先，我们需要找到函数 $f(p)$ 的表达式。20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率可以用二项分布来计算，即： $$f(p) = C_{20}^{2}p^2(1-p)^{18}$$ 其中 $C_{20}^{2}$ 是从 20 件产品中选出 2 件的组合数，$p$ 是每件产品为不合格品的概率，$(1-p)$ 是每件产品为合格品的概率。 为了找到 $f(p)$ 的最大值点 $p_0$，我们需要对 $f(p)$ 求导，并令导数等于零： $$f'(p) = C_{20}^{2}(2p(1-p)^{18} + p^2(-18)(1-p)^{17}) = 0$$ 化简得： $$2p(1-p)^{18} = 18p^2(1-p)^{17}$$ $$2(1-p) = 18p$$ $$2 - 2p = 18p$$ $$2 = 20p$$ $$p_0 = \frac{1}{10}$$ 因此，$f(p)$ 的最大值点 $p_0$ 为 $\frac{1}{10}$。 【答案】$\frac{1}{10}$ |
解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 令 $f^{\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$, 当 $p \in(0,0.1)$ 时, $f^{\prime}(p)>0$ ， 当 $p \in(0.1,1)$ 时, $f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$. （2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \sim B(180,0.1 ）$, $X=20 \times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$. (ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $\because E(X)=490>400$, $\therefore$ 应该对余下的产品进行检验. |
| doubao | (1)【解析】从 200 件产品中任取 20 件，每件产品为不合格品的概率为 p，恰有 2 件不合格品的概率：$f(p)=C_{20}^{2}p^{2}(1-p)^{18}$。对$f(p)$求导可得$f'(p)=C_{20}^{2}[2p(1-p)^{18}-18p^{2}(1-p)^{17}]$，令$f'(p)=0$，求解可得极值点，再判断最大值点。<eoe> 【答案】$f(p)=C_{20}^{2}p^{2}(1-p)^{18}$，$f'(p)=C_{20}^{2}[2p(1-p)^{18}-18p^{2}(1-p)^{17}]$，令$f'(p)=0$，即$2p(1-p)^{18}-18p^{2}(1-p)^{17}=0$，$2p(1-p)^{17}(1-p-9p)=0$，$2p(1-p)^{17}(1-10p)=0$，因为$0<p<1$，所以$p=\frac{1}{10}$，当$p\in(0,\frac{1}{10})$时，$f'(p)>0$，当$p\in(\frac{1}{10},1)$时，$f'(p)<0$，所以$f(p)$在$p=\frac{1}{10}$处取得最大值，即$p_0=\frac{1}{10}$。<eoa> (2)(i)【解析】已知$p_0=\frac{1}{10}$，则不合格品的概率为$\frac{1}{10}$，20 件中恰有 2 件不合格品，那么余下 180 件中不合格品的期望为$180\times\frac{1}{10}=18$件，检验费用为 20×2=40 元，赔偿费用为 18×25=450 元，可求得$X$的期望。<eoe> 【答案】已知$p=\frac{1}{10}$，不合格品的件数服从二项分布，余下 180 件中不合格品的期望为$180\times\frac{1}{10}=18$件，检验费用为 40 元，赔偿费用为 18×25=450 元，$X=40+450=490$，$E(X)=490$。<eoa> (ii)【解析】若对余下的产品作检验，则检验费用为 200×2=400 元，比较检验费用与(i)中期望费用的大小来决策。<eoe> 【答案】若对余下的产品作检验，检验费用为 400 元，因为$400<490$，所以应该对这箱余下的所有产品作检验。<eoa> |
解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 令 $f^{\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$, 当 $p \in(0,0.1)$ 时, $f^{\prime}(p)>0$ ， 当 $p \in(0.1,1)$ 时, $f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$. （2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \sim B(180,0.1 ）$, $X=20 \times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$. (ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $\because E(X)=490>400$, $\therefore$ 应该对余下的产品进行检验. |
| minimax | (1)【解析】 要求20件产品中恰有2件不合格品的概率$f(p)$，可以使用二项分布公式。二项分布的概率质量函数为： \[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] 其中，$n$是试验次数，$k$是成功次数（此处为不合格品数），$p$是每次试验成功的概率。 对于本题，$n=20$，$k=2$，所以有： \[ f(p) = \binom{20}{2} p^2 (1-p)^{18} \] \[ f(p) = \frac{20!}{2!(20-2)!} p^2 (1-p)^{18} \] \[ f(p) = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} p^2 (1-p)^{18} \] \[ f(p) = 190 p^2 (1-p)^{18} \] 为了找到$f(p)$的最大值点$p_0$，我们需要对$f(p)$求导，并找到导数为0的点。求导后，我们设置导数等于0，解出$p$的值，然后验证这个值是否为最大值点。 求导得到： \[ f'(p) = 190 [2p(1-p)^{18} - 18p^2(1-p)^{17}] \] \[ f'(p) = 190 [2(1-p)^{18} - 18p(1-p)^{17}] \] \[ f'(p) = 190 (1-p)^{17} [2(1-p) - 18p] \] \[ f'(p) = 190 (1-p)^{17} (2 - 20p) \] 令$f'(p) = 0$，解得$p = \frac{1}{10}$或$p = 1$。由于$p$的取值范围是$0<p<1$，所以$p = 1$不是有效的解。因此，我们只需要检查$p = \frac{1}{10}$是否为最大值点。 为了验证$p = \frac{1}{10}$是否为最大值点，我们可以计算二阶导数$f''(p)$，或者简单地检查$p = \frac{1}{10}$附近的值，因为二项分布是对称的，且在$p = \frac{1}{2}$时达到最大值，所以$p = \frac{1}{10}$是最大值点。 因此，$p_0 = \frac{1}{10}$。<eoe> 【答案】$p_0 = \frac{1}{10}$。<eoa> (2)(i)【解析】 如果不对该箱余下的产品作检验，那么这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为$X$。检验费用为20件产品的检验费用，即$20 \times 2 = 40$元。赔偿费用为不合格品进入用户手中的赔偿费用，由于已知有2件不合格品，所以赔偿费用为$2 \times 25 = 50$元。 因此，$X$的期望值$E(X)$为检验费用与赔偿费用之和： \[ E(X) = 40 + 50 = 90 \text{元} \]<eoe> 【答案】$E(X) = 90$元。<eoa> (2)(ii)【解析】 为了决定是否对余下的所有产品作检验，我们需要计算如果检验余下产品后的期望费用，并与不检验的期望费用进行比较。 如果检验余下的产品，那么需要额外支付180件产品的检验费用，即$180 \times 2 = 360$元。如果在检验的20件产品中发现有不合格品，那么可以推断余下的产品中也可能有不合格品，因此检验余下的产品是有意义的。 现在我们需要计算在发现2件不合格品的情况下，余下产品中恰好有$x$件不合格品的概率，并计算相应的赔偿费用。由于每件产品为不合格品的概率为$p_0 = \frac{1}{10}$，且相互独立，我们可以使用二项分布来计算这个概率。 余下产品中恰好有$x$件不合格品的概率为： \[ P(X=x) = \binom{180}{x} \left(\frac{1}{10}\right)^x \left(\frac{9}{10}\right)^{180-x} \] 对于每种$x$的情况，我们需要计算赔偿费用，然后乘以相应的概率，最后加上检验费用，得到总的期望费用。 总的期望费用$E(Total)$为： \[ E(Total) = 40 + 360 + \sum_{x=0}^{180} x \cdot 25 \cdot P(X=x) \] \[ E(Total) = 400 + 25 \sum_{x=0}^{180} x \cdot \binom{180}{x} \left(\frac{1}{10}\right)^x \left(\frac{9}{10}\right)^{180-x} \] 由于计算这个期望值涉及到较为复杂的二项分布求和，我们可以简化问题。注意到，如果余下的产品中没有不合格品，那么不需要支付赔偿费用，而如果有多于2件不合格品，那么赔偿费用会增加。因此，如果余下的产品中恰好有0件或1件不合格品，那么检验余下的产品是有利的，因为这样可以避免支付额外的赔偿费用。 因此，我们需要计算余下产品中恰好有0件或1件不合格品的概率，并与不检验的期望费用进行比较。如果检验余下产品的期望费用低于90元，那么应该检验余下的产品；如果高于90元，则不应该检验。 计算余下产品中恰好有0件不合格品的概率： \[ P(X=0) = \binom{180}{0} \left(\frac{1}{10}\right)^0 \left(\frac{9}{10}\right)^{180} \] \[ P(X=0) = 1 \times 1 \times \left(\frac{9}{10}\right)^{180} \] 计算余下产品中恰好有1件不合格品的概率： \[ P(X=1) = \binom{180}{1} \left(\frac{1}{10}\right)^1 \left(\frac{9}{10}\right)^{179} \] \[ P(X=1) = 180 \times \frac{1}{10} \times \left(\frac{9}{10}\right)^{179} \] 总的期望费用$E(Total)$简化为： \[ E(Total) = 400 + 25 \times (0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1)) \] \[ E(Total) = 400 + 25 \times 180 \times \frac{1}{10} \times \left(\frac{9}{10}\right)^{179} \] \[ E(Total) = 400 + 4500 \times \left(\frac{9}{10}\right)^{179} \] 我们需要比较$E(Total)$和90元来决定是否检验余下的产品。<eoe> 【答案】 为了决定是否检验余下的产品，我们需要计算$E(Total)$并比较它与90元。 \[ E(Total) = 400 + 4500 \times \left(\frac{9}{10}\right)^{179} \] 计算这个值，然后与90元比较，如果$E(Total) < 90$，则不对余下的产品作检验；如果$E(Total) > 90$，则对余下的产品作检验。<eoa> |
解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 令 $f^{\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$, 当 $p \in(0,0.1)$ 时, $f^{\prime}(p)>0$ ， 当 $p \in(0.1,1)$ 时, $f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$. （2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \sim B(180,0.1 ）$, $X=20 \times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$. (ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $\because E(X)=490>400$, $\therefore$ 应该对余下的产品进行检验. |
| kimi | (1)【解析】 首先，我们需要计算20件产品中恰有2件不合格品的概率。由于每件产品是否为不合格品是相互独立的，我们可以使用二项分布来计算这个概率。 二项分布的概率质量函数为： \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] 其中，\( n \) 是试验次数，\( k \) 是成功次数，\( p \) 是单次试验成功的概率。 在这个问题中，\( n = 20 \)，\( k = 2 \)，\( p \) 是每件产品为不合格品的概率。 所以，20件产品中恰有2件不合格品的概率 \( f(p) \) 为： \[ f(p) = \binom{20}{2} p^2 (1-p)^{18} \] 为了找到 \( f(p) \) 的最大值点 \( p_0 \)，我们需要对 \( f(p) \) 求导，并令导数等于0。 \[ f'(p) = \frac{d}{dp} \left[ \binom{20}{2} p^2 (1-p)^{18} \right] \] 求导后，令 \( f'(p) = 0 \)，解得 \( p_0 \)。 <eoe> 【答案】 \[ f(p) = \binom{20}{2} p^2 (1-p)^{18} \] \[ f'(p) = 20 \cdot 19 \cdot p \cdot (1-p)^{17} - 20 \cdot 19 \cdot p^2 \cdot 17 \cdot (1-p)^{17} \] \[ f'(p) = 20 \cdot 19 \cdot (1-p)^{17} \cdot (p - 17p + 17) \] 令 \( f'(p) = 0 \)，解得 \( p_0 = \frac{17}{37} \)。 <eoa> (2)(i)【解析】 已知 \( p_0 = \frac{17}{37} \)，现在需要计算不对该箱余下的产品作检验时，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和 \( X \) 的期望值 \( E(X) \)。 首先，计算不合格品的期望数量。由于每件产品为不合格品的概率为 \( p_0 \)，所以一箱产品中不合格品的期望数量为 \( 200 \cdot p_0 \)。 赔偿费用的期望值为不合格品数量乘以每件不合格品的赔偿费用，即 \( 200 \cdot p_0 \cdot 25 \)。 检验费用为20件产品的检验费用，即 \( 20 \cdot 2 \)。 所以，\( X \) 的期望值为： \[ E(X) = 20 \cdot 2 + 200 \cdot p_0 \cdot 25 \] <eoe> 【答案】 \[ E(X) = 40 + 200 \cdot \frac{17}{37} \cdot 25 \] \[ E(X) = 40 + 200 \cdot \frac{425}{37} \] \[ E(X) = 40 + 23000 \cdot \frac{1}{37} \] \[ E(X) = 40 + 622.97 \] \[ E(X) \approx 662.97 \] <eoa> (2)(ii)【解析】 现在我们需要比较检验费用与赔偿费用和的期望值 \( E(X) \) 与对余下所有产品作检验的总费用。 对余下所有产品作检验的总费用为： \[ \text{总费用} = 200 \cdot 2 \] 如果 \( E(X) < \text{总费用} \)，则不作检验更划算；如果 \( E(X) > \text{总费用} \)，则作检验更划算。 <eoe> 【答案】 \[ \text{总费用} = 400 \] \[ E(X) \approx 662.97 \] 由于 \( E(X) < \text{总费用} \)，所以不对该箱余下的产品作检验更划算。 <eoa> |
解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 令 $f^{\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$, 当 $p \in(0,0.1)$ 时, $f^{\prime}(p)>0$ ， 当 $p \in(0.1,1)$ 时, $f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$. （2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \sim B(180,0.1 ）$, $X=20 \times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$. (ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $\because E(X)=490>400$, $\therefore$ 应该对余下的产品进行检验. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】根据二项分布的概率计算公式，20件产品中恰有2件不合格品的概率为$f(p) = C_{20}^{2}p^{2}(1 - p)^{18}$。为了找到$f(p)$的最大值点，我们需要对$f(p)$求导并令导数等于0，解出p的值。 【答案】对$f(p) = C_{20}^{2}p^{2}(1 - p)^{18}$求导，得到$f'(p) = 2C_{20}^{2}p(1 - p)^{18} - 18C_{20}^{2}p^{2}(1 - p)^{17} = 0$，解得$p_{0} = 0.1$。 (2)(i)【解析】由(1)中得到的$p_{0} = 0.1$，我们可以计算出这一箱产品中不合格品的期望数量，进而计算出检验费用与赔偿费用的和的期望值$E[X]$。 【答案】令$Y$表示这一箱产品中不合格品的数量，则$Y \sim B(200, 0.1)$，所以$E[Y] = 20$。由于已经检验出2件不合格品，所以余下的期望不合格品数量为$E[Y] - 2 = 18$。每件不合格品的赔偿费用为25元，所以赔偿费用的期望值为$18 \times 25 = 450$元。检验费用为20件产品的检验费用，即$20 \times 2 = 40$元。所以总费用$X$的期望值为$E[X] = 450 + 40 = 490$元。 (ii)【解析】为了决定是否对余下的所有产品进行检验，我们需要比较不对余下产品检验时的总费用期望值与对余下产品全部检验时的费用。 【答案】如果不对余下的产品进行检验，则费用期望值为490元。若对余下的180件产品全部进行检验，则检验费用为$180 \times 2 = 360$元。由于全部检验可以确保不会有不合格品进入用户手中，所以赔偿费用为0。因此，对余下产品全部检验的总费用为360元。由于360元小于490元，所以应该对余下的全部产品进行检验。 |
解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 令 $f^{\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$, 当 $p \in(0,0.1)$ 时, $f^{\prime}(p)>0$ ， 当 $p \in(0.1,1)$ 时, $f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$. （2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \sim B(180,0.1 ）$, $X=20 \times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$. (ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $\because E(X)=490>400$, $\therefore$ 应该对余下的产品进行检验. |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们需要求出20件产品中恰有2件不合格品的概率$f(p)$。根据二项分布的公式，这个概率可以表示为： \[ f(p) = \binom{20}{2} p^2 (1-p)^{18} \] 其中，\(\binom{20}{2}\)是组合数，表示从20件产品中选出2件不合格品的组合数，计算得： \[ \binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190 \] 所以，概率函数可以写成： \[ f(p) = 190 p^2 (1-p)^{18} \] 为了求$f(p)$的最大值点$p_0$，我们需要对$f(p)$求导数，并找到其极值点。首先求导数： \[ f'(p) = 190 \left[ 2p(1-p)^{18} + p^2 \cdot 18(1-p)^{17} \cdot (-1) \right] \] \[ f'(p) = 190 \left[ 2p(1-p)^{18} - 18p^2(1-p)^{17} \right] \] \[ f'(p) = 190p(1-p)^{17} \left[ 2(1-p) - 18p \right] \] \[ f'(p) = 190p(1-p)^{17} \left[ 2 - 20p \right] \] 令$f'(p) = 0$，解得： \[ 190p(1-p)^{17} \left[ 2 - 20p \right] = 0 \] 由于$0 < p < 1$，所以$p \neq 0$且$p \neq 1$，因此： \[ 2 - 20p = 0 \] \[ 20p = 2 \] \[ p = \frac{1}{10} \] 为了确认这个点是最大值点，我们需要检查二阶导数$f''(p)$在$p = \frac{1}{10}$时的符号。计算二阶导数： \[ f''(p) = 190 \left[ \frac{d}{dp} \left( p(1-p)^{17}(2-20p) \right) \right] \] 使用乘积法则进行求导，过程较为复杂，但我们可以直接代入$p = \frac{1}{10}$来验证其符号。 通过简单验证可以发现，当$p = \frac{1}{10}$时，$f''(p) < 0$，因此$p = \frac{1}{10}$是最大值点。 所以，$f(p)$的最大值点$p_0 = \frac{1}{10}$。 <eoe> 【答案】$p_0 = \frac{1}{10}$<eoa> (2)(i)【解析】 已知$p = p_0 = \frac{1}{10}$，我们需要求出不对该箱余下的产品作检验时，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和$X$的期望值$E(X)$。 首先，计算检验费用： \[ \text{检验费用} = 20 \times 2 = 40 \text{元} \] 接下来，计算赔偿费用。余下的180件产品中，每件产品为不合格品的概率为$\frac{1}{10}$，所以不合格品的期望数量为： \[ E(\text{不合格品数量}) = 180 \times \frac{1}{10} = 18 \] 每件不合格品的赔偿费用为25元，所以赔偿费用的期望值为： \[ E(\text{赔偿费用}) = 18 \times 25 = 450 \text{元} \] 因此，$X$的期望值为： \[ E(X) = \text{检验费用} + E(\text{赔偿费用}) = 40 + 450 = 490 \text{元} \] <eoe> 【答案】$E(X) = 490 \text{元}$<eoa> (ii)【解析】 现在我们需要决策是否对这箱余下的所有产品作检验。如果对余下的180件产品全部进行检验，检验费用为： \[ \text{总检验费用} = 200 \times 2 = 400 \text{元} \] 由于进行了全面检验，不会有不合格品进入用户手中，因此赔偿费用为0。 比较两种情况下的费用： - 不进行全面检验的费用期望值：$E(X) = 490 \text{元}$ - 进行全面检验的费用：$400 \text{元}$ 因为$400 < 490$，所以从期望值的角度来看，对这箱余下的所有产品进行全面检验是更经济的选择。 <eoe> 【答案】应该对这箱余下的所有产品作检验。<eoa> |
解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 令 $f^{\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$, 当 $p \in(0,0.1)$ 时, $f^{\prime}(p)>0$ ， 当 $p \in(0.1,1)$ 时, $f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$. （2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \sim B(180,0.1 ）$, $X=20 \times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$. (ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $\because E(X)=490>400$, $\therefore$ 应该对余下的产品进行检验. |
| gpto1 | 20． (1)【解析】 设 $f(p)$ 为从 20 件产品中恰好抽到 2 件不合格品的概率。 则： $$ f(p) = \mathrm{C}_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}=190 p^{2}(1-p)^{18} $$ 要找到使 $f(p)$ 最大的 $p$，我们对 $f(p)$ 求导并令其导数为 0。 首先，对 $f(p)$ 取对数，便于求导： $$ \ln f(p) = \ln 190 + 2\ln p + 18\ln(1-p) $$ 对 $p$ 求导： $$ \frac{d}{dp} \ln f(p) = \frac{2}{p} - \frac{18}{1-p} $$ 令导数为 0，求解 $p$： $$ \frac{2}{p} - \frac{18}{1-p} = 0 \\ \Rightarrow \frac{2}{p} = \frac{18}{1-p} \\ \Rightarrow 2(1 - p) = 18p \\ \Rightarrow 2 - 2p = 18p \\ \Rightarrow 2 = 20p \\ \Rightarrow p = \frac{1}{10} $$ 因此，当 $p = \dfrac{1}{10}$ 时，$f(p)$ 取得最大值。 <eoe> 【答案】(1) $p_{0}=\dfrac{1}{10}$。<eoa> (2)(i)【解析】 在检验了 20 件产品后，发现恰有 2 件不合格品，采用 (1) 中确定的 $p_{0}=\dfrac{1}{10}$ 作为 $p$ 的值。 不再检验余下的 180 件产品。 检验费用： $$ \text{检验费用} = 20 \times 2\,\text{元} = 40\,\text{元} $$ 未检验的 180 件产品中，不合格品的期望数量为： $$ E(D) = 180 \times p = 180 \times \dfrac{1}{10} = 18\,\text{件} $$ 因此，赔偿费用的期望为： $$ \text{赔偿费用} = E(D) \times 25\,\text{元} = 18 \times 25\,\text{元} = 450\,\text{元} $$ 总费用的期望为： $$ E X = \text{检验费用} + \text{赔偿费用} = 40\,\text{元} + 450\,\text{元} = 490\,\text{元} $$ <eoe> 【答案】(i) $E X = 490\,\text{元}$。<eoa> (2)(ii)【解析】 若对余下的 180 件产品全部检验： 额外的检验费用： $$ 180 \times 2\,\text{元} = 360\,\text{元} $$ 总检验费用： $$ \text{总检验费用} = 40\,\text{元} + 360\,\text{元} = 400\,\text{元} $$ 由于所有不合格品都被检出并更换，故赔偿费用为： $$ \text{赔偿费用} = 0 $$ 因此，总费用为： $$ \text{总费用} = \text{检验费用} + \text{赔偿费用} = 400\,\text{元} + 0 = 400\,\text{元} $$ 比较不检验余下产品的总费用期望 $E X = 490\,\text{元}$，检验全部产品的总费用更低。 因此，为了降低费用期望，应该对余下的所有产品作检验。 <eoe> 【答案】(ii) 应该对这箱余下的所有产品作检验。<eoa> |
解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 令 $f^{\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$, 当 $p \in(0,0.1)$ 时, $f^{\prime}(p)>0$ ， 当 $p \in(0.1,1)$ 时, $f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$. （2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \sim B(180,0.1 ）$, $X=20 \times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$. (ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $\because E(X)=490>400$, $\therefore$ 应该对余下的产品进行检验. |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-5f5a5c3c-1f66-95ea-a8b4-30ced695cab0', 'request_id': '5f5a5c3c-1f66-95ea-a8b4-30ced695cab0'} | 解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 令 $f^{\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$, 当 $p \in(0,0.1)$ 时, $f^{\prime}(p)>0$ ， 当 $p \in(0.1,1)$ 时, $f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$. （2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \sim B(180,0.1 ）$, $X=20 \times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$. (ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $\because E(X)=490>400$, $\therefore$ 应该对余下的产品进行检验. |