| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们需要将曲线 $C$ 和直线 $I$ 的参数方程转换为直角坐标方程。 对于曲线 $C$，其参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 \cos \theta \\ y = 4 \sin \theta \end{array} \right. \] 我们可以利用三角恒等式 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ 来消去参数 $\theta$。将 $x$ 和 $y$ 代入该恒等式： \[ \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \] 整理得到曲线 $C$ 的直角坐标方程： \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 \] 对于直线 $I$，其参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \cos \alpha \\ y = 2 + t \sin \alpha \end{array} \right. \] 消去参数 $t$，我们可以将 $t$ 表示为 $t = \frac{x - 1}{\cos \alpha}$ 或 $t = \frac{y - 2}{\sin \alpha}$。将这两个表达式相等： \[ \frac{x - 1}{\cos \alpha} = \frac{y - 2}{\sin \alpha} \] 整理得到直线 $I$ 的直角坐标方程： \[ (x - 1) \sin \alpha = (y - 2) \cos \alpha \] <eoe> 【答案】 (1) 曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1$。 直线 $I$ 的直角坐标方程为 $(x - 1) \sin \alpha = (y - 2) \cos \alpha$。 <eoa> (2)【解析】 已知曲线 $C$ 截直线 $I$ 所得线段的中点坐标为 $(1, 2)$，我们需要求直线 $I$ 的斜率。 首先，设曲线 $C$ 与直线 $I$ 的交点为 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，则中点坐标为： \[ \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = (1, 2) \] 因此有： \[ \frac{x_1 + x_2}{2} = 1 \quad \text{和} \quad \frac{y_1 + y_2}{2} = 2 \] 即： \[ x_1 + x_2 = 2 \quad \text{和} \quad y_1 + y_2 = 4 \] 将直线 $I$ 的方程 $(x - 1) \sin \alpha = (y - 2) \cos \alpha$ 代入曲线 $C$ 的方程 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1$，我们可以得到两个交点的坐标。 设 $x = 1 + t \cos \alpha$ 和 $y = 2 + t \sin \alpha$，代入曲线 $C$ 的方程： \[ \frac{(1 + t \cos \alpha)^2}{4} + \frac{(2 + t \sin \alpha)^2}{16} = 1 \] 展开并整理： \[ \frac{1 + 2t \cos \alpha + t^2 \cos^2 \alpha}{4} + \frac{4 + 8t \sin \alpha + 4t^2 \sin^2 \alpha}{16} = 1 \] \[ \frac{1 + 2t \cos \alpha + t^2 \cos^2 \alpha}{4} + \frac{1 + 2t \sin \alpha + t^2 \sin^2 \alpha}{4} = 1 \] \[ \frac{2 + 2t (\cos \alpha + \sin \alpha) + t^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)}{4} = 1 \] \[ \frac{2 + 2t (\cos \alpha + \sin \alpha) + t^2}{4} = 1 \] \[ 2 + 2t (\cos \alpha + \sin \alpha) + t^2 = 4 \] \[ t^2 + 2t (\cos \alpha + \sin \alpha) - 2 = 0 \] 解这个二次方程可以得到 $t$ 的两个解 $t_1$ 和 $t_2$，然后代入 $x = 1 + t \cos \alpha$ 和 $y = 2 + t \sin \alpha$ 得到两个交点的坐标。 由于中点坐标为 $(1, 2)$，我们可以直接利用对称性求出斜率。直线 $I$ 的斜率为： \[ \text{斜率} = \tan \alpha \] <eoe> 【答案】 (2) 直线 $I$ 的斜率为 $\tan \alpha$。 <eoa> |
解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 转换为直角坐标方程为: $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$. 直线 I 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 转换为直角坐标方程为: $x \sin \alpha-y \cos \alpha+2 \cos \alpha-\sin \alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\frac{(2+t \sin \alpha)^{2}}{16}+\frac{(1+t \cos \alpha)^{2}}{4}=1$ 整理得： $\left(4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right) t^{2}+(8 \cos \alpha+4 \sin \alpha) t-8=0$, 则: $t_{1}+t_{2}=-\frac{8 \cos \alpha+4 \sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$, 由于 (1, 2) 为中点坐标, (1)当直线的斜率不存时, $x=1$. 无解故舍去. (2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数) 所以利用中点坐标公式 $\frac{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}{2}=0$, 则: $8 \cos \alpha+4 \sin \alpha=0$, 解得: $\tan \alpha=-2$, 即: 直线 I 的斜率为 -2 . |
| deepseekr1 | (1)【解析】 曲线C的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 2\cos\theta \\ y = 4\sin\theta \end{cases} \] 将\(\cos\theta = x/2\)和\(\sin\theta = y/4\)代入\(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)，得： \[ \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = 1 \implies \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1. \] 直线l的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 1 + t\cos\alpha \\ y = 2 + t\sin\alpha \end{cases} \] 消去参数\(t\)，由\(t = \frac{x-1}{\cos\alpha}\)代入\(y\)的表达式： \[ y = 2 + \tan\alpha(x - 1). \] 因此，直线l的直角坐标方程为\(y = \tan\alpha(x - 1) + 2\)。 <eoe> 【答案】 (1) 曲线C的直角坐标方程为\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1\)；直线I的直角坐标方程为\(y = \tan\alpha(x - 1) + 2\)。 <eoa> (2)【解析】 将直线方程\(y = k(x - 1) + 2\)（其中\(k = \tan\alpha\)）代入椭圆方程： \[ \frac{x^2}{4} + \frac{[k(x-1)+2]^2}{16} = 1. \] 展开并整理得： \[ (4 + k^2)x^2 + (-2k^2 + 4k)x + (k^2 - 4k - 12) = 0. \] 根据韦达定理，根的和\(x_1 + x_2 = \frac{2k^2 - 4k}{4 + k^2}\)。因中点横坐标为1，故： \[ \frac{2k^2 - 4k}{4 + k^2} = 2 \implies 2k^2 - 4k = 8 + 2k^2 \implies -4k = 8 \implies k = -2. \] <eoe> 【答案】 (2) 直线I的斜率为\(-2\)。 <eoa> |
解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 转换为直角坐标方程为: $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$. 直线 I 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 转换为直角坐标方程为: $x \sin \alpha-y \cos \alpha+2 \cos \alpha-\sin \alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\frac{(2+t \sin \alpha)^{2}}{16}+\frac{(1+t \cos \alpha)^{2}}{4}=1$ 整理得： $\left(4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right) t^{2}+(8 \cos \alpha+4 \sin \alpha) t-8=0$, 则: $t_{1}+t_{2}=-\frac{8 \cos \alpha+4 \sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$, 由于 (1, 2) 为中点坐标, (1)当直线的斜率不存时, $x=1$. 无解故舍去. (2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数) 所以利用中点坐标公式 $\frac{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}{2}=0$, 则: $8 \cos \alpha+4 \sin \alpha=0$, 解得: $\tan \alpha=-2$, 即: 直线 I 的斜率为 -2 . |
| gpto1 | (1)【解析】 曲线 \( C \) 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 2\cos\theta \\ y = 4\sin\theta \end{cases} \] 利用三角恒等式 \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)，消去参数 \(\theta\)： \[ \left( \frac{x}{2} \right)^2 + \left( \frac{y}{4} \right)^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \] 整理得到曲线 \( C \) 的直角坐标方程： \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 \] 直线 \( I \) 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 1 + t\cos\alpha \\ y = 2 + t\sin\alpha \end{cases} \] 消去参数 \( t \)： \[ \frac{x - 1}{\cos\alpha} = t = \frac{y - 2}{\sin\alpha} \] 所以直线 \( I \) 的直角坐标方程为： \[ (x - 1)\sin\alpha - (y - 2)\cos\alpha = 0 \] <eoe> 【答案】 (1) 曲线 \( C \) 的直角坐标方程为：\(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{16} = 1\)； 直线 \( I \) 的直角坐标方程为：\((x - 1)\sin\alpha - (y - 2)\cos\alpha = 0\)。<eoa> (2)【解析】 已知曲线 \( C \) 被直线 \( I \) 截得的弦的中点为 \( (1, 2) \)，根据椭圆的弦中点公式，对于椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)，弦的中点 \( (x_0, y_0) \) 满足： \[ \frac{x x_0}{a^2} + \frac{y y_0}{b^2} = \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} \] 将 \( a = 2, b = 4, x_0 = 1, y_0 = 2 \) 代入，得到弦的方程： \[ \frac{x \cdot 1}{4} + \frac{y \cdot 2}{16} = \frac{1^2}{4} + \frac{2^2}{16} \] 化简： \[ \frac{x}{4} + \frac{y}{8} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \] 两边乘以 8： \[ 2x + y = 4 \] 该弦的斜率为： \[ k = -2 \] 另外，直线 \( I \) 过点 \( (1, 2) \)，其斜率为： \[ k = \tan\alpha = -2 \] <eoe> 【答案】 (2) 直线 \( I \) 的斜率为 \(-2\)。<eoa> |
解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 转换为直角坐标方程为: $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$. 直线 I 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 转换为直角坐标方程为: $x \sin \alpha-y \cos \alpha+2 \cos \alpha-\sin \alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\frac{(2+t \sin \alpha)^{2}}{16}+\frac{(1+t \cos \alpha)^{2}}{4}=1$ 整理得： $\left(4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right) t^{2}+(8 \cos \alpha+4 \sin \alpha) t-8=0$, 则: $t_{1}+t_{2}=-\frac{8 \cos \alpha+4 \sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$, 由于 (1, 2) 为中点坐标, (1)当直线的斜率不存时, $x=1$. 无解故舍去. (2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数) 所以利用中点坐标公式 $\frac{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}{2}=0$, 则: $8 \cos \alpha+4 \sin \alpha=0$, 解得: $\tan \alpha=-2$, 即: 直线 I 的斜率为 -2 . |
| GPT-4o | (1)【解析】 首先我们求曲线 \( C \) 的直角坐标方程。曲线 \( C \) 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 2 \cos \theta \\ y = 4 \sin \theta \end{cases} \] 我们消去参数 \( \theta \)。由 \( x = 2 \cos \theta \) 可得 \( \cos \theta = \frac{x}{2} \)， 由 \( y = 4 \sin \theta \) 可得 \( \sin \theta = \frac{y}{4} \)。 我们知道： \[ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \] 将 \( \cos \theta \) 和 \( \sin \theta \) 代入上式： \[ \left( \frac{x}{2} \right)^2 + \left( \frac{y}{4} \right)^2 = 1 \] \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 \] 所以，曲线 \( C \) 的直角坐标方程为： \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 \] 接下来我们求直线 \( I \) 的直角坐标方程。直线 \( I \) 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 1 + t \cos \alpha \\ y = 2 + t \sin \alpha \end{cases} \] 消去参数 \( t \)。由 \( x = 1 + t \cos \alpha \) 可得： \[ t \cos \alpha = x - 1 \] \[ t = \frac{x - 1}{\cos \alpha} \] 由 \( y = 2 + t \sin \alpha \) 可得： \[ t \sin \alpha = y - 2 \] \[ t = \frac{y - 2}{\sin \alpha} \] 因为 \( t \) 是相等的，所以： \[ \frac{x - 1}{\cos \alpha} = \frac{y - 2}{\sin \alpha} \] 交叉相乘得： \[ (x - 1) \sin \alpha = (y - 2) \cos \alpha \] 所以，直线 \( I \) 的直角坐标方程为： \[ (x - 1) \sin \alpha = (y - 2) \cos \alpha \] <eoe> 【答案】 曲线 \( C \) 的直角坐标方程为： \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 \] 直线 \( I \) 的直角坐标方程为： \[ (x - 1) \sin \alpha = (y - 2) \cos \alpha \] <eoa> (2)【解析】 已知曲线 \( C \) 截直线 \( I \) 所得线段的中点坐标为 \( (1,2) \)。 假设曲线 \( C \) 和直线 \( I \) 的交点坐标分别为 \( (x_1, y_1) \) 和 \( (x_2, y_2) \)，那么中点坐标为： \[ \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = (1, 2) \] 由此可得： \[ \frac{x_1 + x_2}{2} = 1 \] \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ \frac{y_1 + y_2}{2} = 2 \] \[ y_1 + y_2 = 4 \] 将 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 的值代入 \( C \) 的方程： \[ \frac{x_1^2}{4} + \frac{y_1^2}{16} = 1 \] \[ \frac{x_2^2}{4} + \frac{y_2^2}{16} = 1 \] 将 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 的值代入 \( I \) 的方程： \[ (x_1 - 1) \sin \alpha = (y_1 - 2) \cos \alpha \] \[ (x_2 - 1) \sin \alpha = (y_2 - 2) \cos \alpha \] 由于 \( x_1 + x_2 = |
解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 转换为直角坐标方程为: $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$. 直线 I 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 转换为直角坐标方程为: $x \sin \alpha-y \cos \alpha+2 \cos \alpha-\sin \alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\frac{(2+t \sin \alpha)^{2}}{16}+\frac{(1+t \cos \alpha)^{2}}{4}=1$ 整理得： $\left(4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right) t^{2}+(8 \cos \alpha+4 \sin \alpha) t-8=0$, 则: $t_{1}+t_{2}=-\frac{8 \cos \alpha+4 \sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$, 由于 (1, 2) 为中点坐标, (1)当直线的斜率不存时, $x=1$. 无解故舍去. (2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数) 所以利用中点坐标公式 $\frac{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}{2}=0$, 则: $8 \cos \alpha+4 \sin \alpha=0$, 解得: $\tan \alpha=-2$, 即: 直线 I 的斜率为 -2 . |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】 由题意,曲线C的参数方程为\begin{cases}x=2\cos\theta\\y=4\sin\theta\end{cases},\theta为参数,则\cos\theta=\frac{x}{2},\sin\theta=\frac{y}{4},\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1,即\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1,即\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1,所以曲线C的直角坐标方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1,同理可得直线l的直角坐标方程为y-2=\tan\alpha(x-1)(2)由题意,曲线C的方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1,直线l的方程为y-2=\tan\alpha(x-1),联立\begin{cases}\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1\\y-2=\tan\alpha(x-1)\end{cases},整理得(4+16\tan^{2}\alpha)x^{2}-32\tan\alpha\cdotx+64\tan^{2}\alpha-48=0,设A=32\tan\alpha,B=64\tan^{2}\alpha-48,则A^{2}-4\times(4+16\tan^{2}\alpha)\timesB=0,解得\tan\alpha=1或\tan\alpha=-\frac{3}{4},所以直线l的斜率k=\tan\alpha=1或k=-\frac{3}{4}. 最终结果是{1,-3/4} |
解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 转换为直角坐标方程为: $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$. 直线 I 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 转换为直角坐标方程为: $x \sin \alpha-y \cos \alpha+2 \cos \alpha-\sin \alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\frac{(2+t \sin \alpha)^{2}}{16}+\frac{(1+t \cos \alpha)^{2}}{4}=1$ 整理得： $\left(4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right) t^{2}+(8 \cos \alpha+4 \sin \alpha) t-8=0$, 则: $t_{1}+t_{2}=-\frac{8 \cos \alpha+4 \sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$, 由于 (1, 2) 为中点坐标, (1)当直线的斜率不存时, $x=1$. 无解故舍去. (2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数) 所以利用中点坐标公式 $\frac{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}{2}=0$, 则: $8 \cos \alpha+4 \sin \alpha=0$, 解得: $\tan \alpha=-2$, 即: 直线 I 的斜率为 -2 . |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)由题意得\begin{cases}x=2\cos\theta\\y=4\sin\theta\end{cases}得\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1,即曲线C的直角坐标方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1;直线l的直角坐标方程为y-2=\tan\alpha(x-1)(2)由题意得,曲线C的方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1,直线l的方程为y-2=\tan\alpha(x-1)联立\begin{cases}\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1\\y-2=\tan\alpha(x-1 |
解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 转换为直角坐标方程为: $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$. 直线 I 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 转换为直角坐标方程为: $x \sin \alpha-y \cos \alpha+2 \cos \alpha-\sin \alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\frac{(2+t \sin \alpha)^{2}}{16}+\frac{(1+t \cos \alpha)^{2}}{4}=1$ 整理得： $\left(4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right) t^{2}+(8 \cos \alpha+4 \sin \alpha) t-8=0$, 则: $t_{1}+t_{2}=-\frac{8 \cos \alpha+4 \sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$, 由于 (1, 2) 为中点坐标, (1)当直线的斜率不存时, $x=1$. 无解故舍去. (2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数) 所以利用中点坐标公式 $\frac{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}{2}=0$, 则: $8 \cos \alpha+4 \sin \alpha=0$, 解得: $\tan \alpha=-2$, 即: 直线 I 的斜率为 -2 . |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】首先，我们需要将曲线 $C$ 的参数方程转换为直角坐标方程。曲线 $C$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2 \\cos \\theta \\\\ y=4 \\sin \\theta\\end{array}\\right.$。我们可以利用三角函数的基本关系 $\\cos^2 \\theta + \\sin^2 \\theta = 1$ 来消去参数 $\\theta$。\n\n将 $x = 2 \\cos \\theta$ 和 $y = 4 \\sin \\theta$ 分别平方得到：\n\\[ x^2 = 4 \\cos^2 \\theta \\]\n\\[ y^2 = 16 \\sin^2 \\theta \\]\n\n将这两个方程相加，利用 $\\cos^2 \\theta + \\sin^2 \\theta = 1$，我们得到：\n\\[ x^2 + \\frac{y^2}{4} = 4 \\cos^2 \\theta + 4 \\sin^2 \\theta = 4 \\]\n\n因此，曲线 $C$ 的直角坐标方程为：\n\\[ x^2 + \\frac{y^2}{4} = 4 \\]\n\n接下来，我们将直线 $I$ 的参数方程转换为直角坐标方程。直线 $I$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=1+t \\cos \\alpha \\\\ y=2+t \\sin \\alpha\\end{array}\\right.$。我们可以消去参数 $t$ 来得到直线的直角坐标方程。\n\n从 $x = 1 + t \\cos \\alpha$ 中解出 $t$：\n\\[ t = \\frac{x - 1}{\\cos \\alpha} \\]\n\n将这个 $t$ 代入 $y = 2 + t \\sin \\alpha$ 中：\n\\[ y = 2 + \\left(\\frac{x - 1}{\\cos \\alpha}\\right) \\sin \\alpha \\]\n\\[ y = 2 + (x - 1) \\tan \\alpha \\]\n\n因此，直线 $I$ 的直角坐标方程为：\n\\[ y = 2 + (x - 1) \\tan \\alpha \\]\n<eoe>\n【答案】\n曲线 $C$ 的直角坐标方程为：\n\\[ x^2 + \\frac{y^2}{4} = 4 \\]\n\n直线 $I$ 的直角坐标方程为：\n\\[ y = 2 + (x - 1) \\tan \\alpha \\]\n<eoa>\n\n(2)【解析】已知曲线 $C$ 截直线 $I$ 所得线段的中点坐标为 $(1,2)$。我们需要求直线 $I$ 的斜率。\n\n首先，考虑直线 $I$ 的参数方程 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=1+t \\cos \\alpha \\\\ y=2+t \\sin \\alpha\\end{array}\\right.$。当 $t = 0$ 时，直线 $I$ 经过点 $(1, 2)$。\n\n由于中点坐标为 $(1, 2)$，这意味着直线 $I$ 在 $t = 0$ 时的点 $(1, 2)$ 是截距的中点。我们可以利用中点公式来求解。\n\n设直线 $I$ 与曲线 $C$ 的交点为 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，则中点坐标为：\n\\[ \\left(\\frac{x_1 + x_2}{2}, \\frac{y_1 + y_2}{2}\\right) = (1, 2) \\]\n\n这意味着：\n\\[ x_1 + x_2 = 2 \\]\n\\[ y_1 + y_2 = 4 \\]\n\n由于直线 $I$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=1+t \\cos \\alpha \\\\ y=2+t \\sin \\alpha\\end{array}\\right.$，我们可以设 $t_1$ 和 $t_2$ 为两个交点的参数值，则：\n\\[ x_1 = 1 + t_1 \\cos \\alpha \\]\n\\[ x_2 = 1 + t_2 \\cos \\alpha \\]\n\\[ y_1 = 2 + t_1 \\sin \\alpha \\]\n\\[ y_2 = 2 + t_2 \\sin \\alpha \\]\n\n将这些代入中点公式：\n\\[ 1 + t_1 \\cos \\alpha + 1 + t_2 \\cos \\alpha = 2 \\]\n\\[ 2 + t_1 \\sin \\alpha + 2 + t_2 \\sin \\alpha = 4 \\]\n\n简化得到：\n\\[ t_1 \\cos \\alpha + t_2 \\cos \\alpha = 0 \\]\n\\[ t_1 \\sin \\alpha + t_2 \\sin \\alpha = 0 \\]\n\n这意味着：\n\\[ t_1 + t_2 = 0 \\]\n\n因此，$t_1 = -t_2$。这表明直线 $I$ 在 $t = 0$ 时的点 $(1, 2)$ 是截距的中点。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们需要求出 $\\alpha$。由于中点坐标为 $(1, 2)$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n由于中点坐标为 $(1, 2)$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha$，我们可以直接利用直线的参数方程来求解。\n\n直线 $I$ 的斜率为 $\\tan \\alpha" | 解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 转换为直角坐标方程为: $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$. 直线 I 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 转换为直角坐标方程为: $x \sin \alpha-y \cos \alpha+2 \cos \alpha-\sin \alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\frac{(2+t \sin \alpha)^{2}}{16}+\frac{(1+t \cos \alpha)^{2}}{4}=1$ 整理得： $\left(4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right) t^{2}+(8 \cos \alpha+4 \sin \alpha) t-8=0$, 则: $t_{1}+t_{2}=-\frac{8 \cos \alpha+4 \sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$, 由于 (1, 2) 为中点坐标, (1)当直线的斜率不存时, $x=1$. 无解故舍去. (2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数) 所以利用中点坐标公式 $\frac{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}{2}=0$, 则: $8 \cos \alpha+4 \sin \alpha=0$, 解得: $\tan \alpha=-2$, 即: 直线 I 的斜率为 -2 . |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 我们首先需要将曲线C和直线I的参数方程转换为直角坐标方程。对于曲线C，利用三角恒等式 $\\cos^2\\theta + \\sin^2\\theta = 1$，可以将参数方程转换为直角坐标方程。对于直线I，通过消去参数t，同样可以找到直角坐标方程。\n<eoe>\n\n【答案】\n对于曲线C，由参数方程 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2 \\cos \\theta \\\\ y=4 \\sin \\theta\\end{array}\\right.$ 可得\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\frac{x^2}{4} + \\frac{y^2}{16} &= \\cos^2\\theta + \\sin^2\\theta \\\\\n&= 1.\n\\end{aligned}\n\\]\n因此，曲线C的直角坐标方程为 $\\frac{x^2}{4} + \\frac{y^2}{16} = 1$。\n\n对于直线I，由参数方程 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=1+t \\cos \\alpha \\\\ y=2+t \\sin \\alpha\\end{array}\\right.$，消去参数t，得到\n\\[\nt = \\frac{x-1}{\\cos\\alpha} = \\frac{y-2}{\\sin\\alpha}.\n\\]\n因此，直线I的直角坐标方程为 $\\frac{y-2}{\\sin\\alpha} = \\frac{x-1}{\\cos\\alpha}$，即\n\\[\ny - 2 = \\tan\\alpha(x-1).\n\\]\n<eoa>\n\n(2)【解析】 线段中点的坐标可以通过线段两个端点坐标的平均值来表示。若曲线C截直线I所得线段的中点坐标为(1,2)，则该中点也是曲线C与直线I交点坐标的平均值。因此，我们可以通过求解曲线C和直线I的交点，然后找到使这些交点平均值为(1,2)的$\\alpha$值，从而求得直线I的斜率。\n<eoe>\n\n【答案】\n曲线C和直线I的交点满足两个方程组:\n\\[\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n\\frac{x^2}{4} + \\frac{y^2}{16} = 1 \\\\\ny - 2 = \\tan\\alpha(x-1)\n\\end{array}\\right.\n\\]\n将直线I的方程代入曲线C的方程中，可以求解x和y的值，从而找到交点坐标。由于线段的中点坐标为(1,2)，意味着这两个交点的坐标平均值为(1,2)。设交点坐标分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，则有\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\frac{x_1 + x_2}{2} &= 1 \\\\\n\\frac{y_1 + y_2}{2} &= 2.\n\\end{aligned}\n\\]\n由于直线I的方程为$y - 2 = \\tan\\alpha(x-1)$，其斜率为$\\tan\\alpha$。\n\n为了求$\\tan\\alpha$，我们可以通过解方程组找到$x_1, y_1, x_2, y_2$的关系，然后利用中点的性质。由于中点为(1,2)，且中点也在直线I上，直线I通过点(1,2)，这意味着直线I的斜率可以直接由其方程的系数给出，即$\\tan\\alpha$。然而，直接求解$\\tan\\alpha$需要具体的交点坐标，这通常涉及到复杂的代数运算。但根据题目的设定，中点(1,2)恰好在直线I上，意味着直线I通过点(1,2)，因此我们可以通过直线I的方程直接找到其斜率。\n\n直线I的方程为\n\\[\ny - 2 = \\tan\\alpha(x-1),\n\\]\n因此，直线I的斜率为$\\tan\\alpha$。由于直线I通过点(1,2)，我们可以直接从直线方程中读出斜率，即斜率$\\tan\\alpha$。\n<eoa>" | 解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 转换为直角坐标方程为: $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$. 直线 I 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 转换为直角坐标方程为: $x \sin \alpha-y \cos \alpha+2 \cos \alpha-\sin \alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\frac{(2+t \sin \alpha)^{2}}{16}+\frac{(1+t \cos \alpha)^{2}}{4}=1$ 整理得： $\left(4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right) t^{2}+(8 \cos \alpha+4 \sin \alpha) t-8=0$, 则: $t_{1}+t_{2}=-\frac{8 \cos \alpha+4 \sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$, 由于 (1, 2) 为中点坐标, (1)当直线的斜率不存时, $x=1$. 无解故舍去. (2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数) 所以利用中点坐标公式 $\frac{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}{2}=0$, 则: $8 \cos \alpha+4 \sin \alpha=0$, 解得: $\tan \alpha=-2$, 即: 直线 I 的斜率为 -2 . |
| baichuan4 | (1)【解析】 对于曲线C，我们有参数方程： $$ \left\{ \begin{array}{l} x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta \end{array} \right. $$ 由于在直角坐标系中，$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，我们可以得到： $$ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 $$ 因此，曲线C的直角坐标方程是： $$ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 $$ 对于直线I，我们有参数方程： $$ \left\{ \begin{array}{l} x=1+t \cos \alpha \\ y=2+t \sin \alpha \end{array} \right. $$ 消去参数$t$，我们可以得到： $$ \frac{y - 2}{\sin \alpha} = \frac{x - 1}{\cos \alpha} $$ 整理后得到直线I的直角坐标方程： $$ y = (\tan \alpha)x + 2 - (\tan \alpha) $$ 【答案】 曲线C的直角坐标方程是： $$ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 $$ 直线I的直角坐标方程是： $$ y = (\tan \alpha)x + 2 - (\tan \alpha) $$ (2)【解析】 根据题目条件，曲线C截直线I所得线段的中点坐标为$(1,2)$。设这个线段的两个端点在曲线C上的参数分别为$\theta_1$和$\theta_2$，则有： $$ \frac{2\cos\theta_1 + 2\cos\theta_2}{2} = 1 \\ \frac{4\sin\theta_1 + 4\sin\theta_2}{2} = 2 $$ 化简得： $$ \cos\theta_1 + \cos\theta_2 = 1 \\ \sin\theta_1 + \sin\theta_2 = 1 $$ 由于$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，我们可以得到： $$ (\cos\theta_1 + \cos\theta_2)^2 + (\sin\theta_1 + \sin\theta_2)^2 = 2 $$ 代入$\cos\theta_1 + \cos\theta_2 = 1$和$\sin\theta_1 + \sin\theta_2 = 1$，得到： $$ 1 + 1 + 2(\cos\theta_1\cos\theta_2 + \sin\theta_1\sin\theta_2) = 2 $$ 化简得： $$ \cos(\theta_1 - \theta_2) = 0 $$ 这意味着$\theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2}$或$\theta_1 - \theta_2 = \frac{3\pi}{2}$（这里只考虑主值）。 由于曲线C是椭圆，直线I截椭圆所得的线段的两个端点应该在椭圆的同一象限内，因此我们取$\theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2}$。 接下来，我们需要找到直线I的斜率。由于直线I的参数方程为： $$ \left\{ \begin{array}{l} x=1+t \cos \alpha \\ y=2+t \sin \alpha \end{array} \right. $$ 我们可以得到直线I的斜率$k = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$。 由于曲线C截直线I所得线段的中点坐标为$(1,2)$，我们可以将这个坐标代入直线I的参数方程中，得到： $$ 1 = 1 + t \cos \alpha \\ 2 = 2 + t \sin \alpha $$ 由于$t$不可能为0（否则直线I与曲线C不相交），我们可以得到： $$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0}{1} = 0 $$ 因此，直线I的斜率$k = 0$。 【答案】 直线I的斜率为$0$。 |
解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 转换为直角坐标方程为: $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$. 直线 I 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 转换为直角坐标方程为: $x \sin \alpha-y \cos \alpha+2 \cos \alpha-\sin \alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\frac{(2+t \sin \alpha)^{2}}{16}+\frac{(1+t \cos \alpha)^{2}}{4}=1$ 整理得： $\left(4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right) t^{2}+(8 \cos \alpha+4 \sin \alpha) t-8=0$, 则: $t_{1}+t_{2}=-\frac{8 \cos \alpha+4 \sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$, 由于 (1, 2) 为中点坐标, (1)当直线的斜率不存时, $x=1$. 无解故舍去. (2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数) 所以利用中点坐标公式 $\frac{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}{2}=0$, 则: $8 \cos \alpha+4 \sin \alpha=0$, 解得: $\tan \alpha=-2$, 即: 直线 I 的斜率为 -2 . |
| doubao | (1)【解析】对于曲线$C$，由参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=2\cos\theta\\ y=4\sin\theta\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}=\cos\theta\\ \frac{y}{4}=\sin\theta\end{array}\right.$，两式平方相加可得：$\left(\frac{x}{2}\right)^2+(\frac{y}{4})^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$，即$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$。 对于直线$l$，当$\cos\alpha\neq0$时，$x=1+t\cos\alpha$移项得$t=\frac{x-1}{\cos\alpha}$，代入$y=2+t\sin\alpha$可得$y=2+\frac{(x-1)\sin\alpha}{\cos\alpha}$，整理可得直线$l$的直角坐标方程为$y\sin\alpha-x\cos\alpha+\cos\alpha-\sin\alpha=0$；当$\cos\alpha=0$时，直线$l$的直角坐标方程为$x=1$。 <eoe> 【答案】曲线$C$的直角坐标方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$；直线$l$的直角坐标方程为当$\cos\alpha\neq0$时，$y\sin\alpha-x\cos\alpha+\cos\alpha-\sin\alpha=0$，当$\cos\alpha=0$时，$x=1$。 <eoa> (2)【解析】将直线$l$的参数方程代入曲线$C$的直角坐标方程可得： $\frac{(1+t\cos\alpha)^2}{4}+\frac{(2+t\sin\alpha)^2}{16}=1$， 展开化简得$(4\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)t^2+(8\cos\alpha+4\sin\alpha)t-8=0$。 因为曲线$C$截直线$l$所得线段的中点坐标为$(1,2)$，所以$t_1+t_2=0$。 由韦达定理$t_1+t_2=-\frac{8\cos\alpha+4\sin\alpha}{4\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}=0$， 即$8\cos\alpha+4\sin\alpha=0$， $2\cos\alpha+\sin\alpha=0$， 则直线$l$的斜率$k=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-2$。 <eoe> 【答案】直线$l$的斜率为$-2$。 <eoa> |
解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 转换为直角坐标方程为: $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$. 直线 I 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 转换为直角坐标方程为: $x \sin \alpha-y \cos \alpha+2 \cos \alpha-\sin \alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\frac{(2+t \sin \alpha)^{2}}{16}+\frac{(1+t \cos \alpha)^{2}}{4}=1$ 整理得： $\left(4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right) t^{2}+(8 \cos \alpha+4 \sin \alpha) t-8=0$, 则: $t_{1}+t_{2}=-\frac{8 \cos \alpha+4 \sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$, 由于 (1, 2) 为中点坐标, (1)当直线的斜率不存时, $x=1$. 无解故舍去. (2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数) 所以利用中点坐标公式 $\frac{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}{2}=0$, 则: $8 \cos \alpha+4 \sin \alpha=0$, 解得: $\tan \alpha=-2$, 即: 直线 I 的斜率为 -2 . |
| minimax | (1)【解析】首先，我们需要将曲线 $C$ 和直线 $I$ 的参数方程转换为直角坐标方程。对于曲线 $C$，参数方程为 $x=2 \cos \theta$ 和 $y=4 \sin \theta$。利用三角恒等式 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$，我们可以消去参数 $\theta$，得到曲线 $C$ 的直角坐标方程。对于直线 $I$，参数方程为 $x=1+t \cos \alpha$ 和 $y=2+t \sin \alpha$。通过消去参数 $t$，我们可以得到直线 $I$ 的直角坐标方程。<eoe> 【答案】对于曲线 $C$，我们有： $$x = 2 \cos \theta$$ $$y = 4 \sin \theta$$ 利用三角恒等式 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$，我们可以得到： $$\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$ 因此，曲线 $C$ 的直角坐标方程为： $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1$$ 对于直线 $I$，我们有： $$x = 1 + t \cos \alpha$$ $$y = 2 + t \sin \alpha$$ 我们可以解出参数 $t$： $$t = \frac{x - 1}{\cos \alpha} = \frac{y - 2}{\sin \alpha}$$ 将 $t$ 的两个表达式相等，得到： $$\frac{x - 1}{\cos \alpha} = \frac{y - 2}{\sin \alpha}$$ 整理得到直线 $I$ 的直角坐标方程： $$y - 2 = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}(x - 1)$$ $$y - 2 = \tan \alpha (x - 1)$$ $$y = \tan \alpha x + (2 - \tan \alpha)$$<eoa> (2)【解析】曲线 $C$ 截直线 $I$ 所得线段的中点坐标为 $(1,2)$，意味着存在两个参数 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 对应于曲线 $C$ 上的两个点，这两个点在直线 $I$ 上，且它们的中点坐标为 $(1,2)$。我们需要找到这两个参数对应的点，然后利用这两个点来求直线 $I$ 的斜率。由于中点坐标已知，我们可以利用中点公式来求解 $\theta_1$ 和 $\theta_2$，然后利用这两个参数对应的点在直线 $I$ 上的条件来求解 $\alpha$，最后求出直线 $I$ 的斜率。<eoe> 【答案】设曲线 $C$ 上对应于参数 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 的两点分别为 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$，它们在直线 $I$ 上，且它们的中点坐标为 $(1,2)$。根据中点公式，我们有： $$x_1 + x_2 = 2 \cdot 1 = 2$$ $$y_1 + y_2 = 2 \cdot 2 = 4$$ 将曲线 $C$ 的参数方程代入，得到： $$2 \cos \theta_1 + 2 \cos \theta_2 = 2$$ $$4 \sin \theta_1 + 4 \sin \theta_2 = 4$$ 简化得到： $$\cos \theta_1 + \cos \theta_2 = 1$$ $$\sin \theta_1 + \sin \theta_2 = 1$$ 由于 $\cos \theta_1 + \cos \theta_2$ 和 $\sin \theta_1 + \sin \theta_2$ 的最大值分别为 $2$ 和 $2\sqrt{2}$，上述等式只有在 $\theta_1 = \theta_2$ 或 $\theta_1 + \theta_2 = \pi$ 时成立。但由于中点坐标为 $(1,2)$，这意味着 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 不能相等，因此我们有 $\theta_1 + \theta_2 = \pi$。 现在我们知道了 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 的关系，我们可以利用它们在直线 $I$ 上的条件来求解 $\alpha$。由于 $P_1$ 和 $P_2$ 在直线 $I$ 上，我们有： $$x_1 = 1 + t_1 \cos \alpha$$ $$y_1 = 2 + t_1 \sin \alpha$$ $$x_2 = 1 + t_2 \cos \alpha$$ $$y_2 = 2 + t_2 \sin \alpha$$ 其中 $t_1$ 和 $t_2$ 是对应于 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 的参数 $t$ 的值。由于 $x_1 + x_2 = 2$ 和 $y_1 + y_2 = 4$，我们可以得到： $$1 + t_1 \cos \alpha + 1 + t_2 \cos \alpha = 2$$ $$2 + t_1 \sin \alpha + 2 + t_2 \sin \alpha = 4$$ 简化得到： $$t_1 \cos \alpha + t_2 \cos \alpha = 0$$ $$t_1 \sin \alpha + t_2 \sin \alpha = 0$$ 由于 $\theta_1 + \theta_2 = \pi$，我们知道 $\cos \theta_1 = -\cos \theta_2$ 和 $\sin \theta_1 = -\sin \theta_2$，因此 $t_1 = -t_2$。这意味着直线 $I$ 的斜率 $m = \tan \alpha$ 可以通过点 $(1,2)$ 来求解。由于直线 $I$ 的方程为 $y = \tan \alpha x + (2 - \tan \alpha)$，我们可以将点 $(1,2)$ 代入得到： $$2 = \tan \alpha \cdot 1 + (2 - \tan \alpha)$$ $$2 = 2$$ 这个方程对于任何 $\tan \alpha$ 都成立，因此我们无法从这个方程中直接求出 $\tan \alpha$。但是，我们知道直线 $I$ 必须通过曲线 $C$ 的中心 $(0,0)$，因此我们可以将 $(0,0)$ 代入直线 $I$ 的方程来求解 $\tan \alpha$： $$0 = \tan \alpha \cdot 0 + (2 - \tan \alpha)$$ $$0 = 2 - \tan \alpha$$ $$\tan \alpha = 2$$ 因此，直线 $I$ 的斜率为 $2$。<eoa> |
解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 转换为直角坐标方程为: $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$. 直线 I 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 转换为直角坐标方程为: $x \sin \alpha-y \cos \alpha+2 \cos \alpha-\sin \alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\frac{(2+t \sin \alpha)^{2}}{16}+\frac{(1+t \cos \alpha)^{2}}{4}=1$ 整理得： $\left(4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right) t^{2}+(8 \cos \alpha+4 \sin \alpha) t-8=0$, 则: $t_{1}+t_{2}=-\frac{8 \cos \alpha+4 \sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$, 由于 (1, 2) 为中点坐标, (1)当直线的斜率不存时, $x=1$. 无解故舍去. (2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数) 所以利用中点坐标公式 $\frac{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}{2}=0$, 则: $8 \cos \alpha+4 \sin \alpha=0$, 解得: $\tan \alpha=-2$, 即: 直线 I 的斜率为 -2 . |
| kimi | (1)【解析】首先，我们需要将曲线C和直线I的参数方程转换为直角坐标方程。 对于曲线C，参数方程为： \[ \begin{cases} x = 2\cos\theta \\ y = 4\sin\theta \end{cases} \] 我们可以利用三角恒等式 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) 来消去参数 \(\theta\)。将 \(x\) 和 \(y\) 的表达式平方并相加，得到： \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \] 因此，曲线C的直角坐标方程为： \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 \] 对于直线I，参数方程为： \[ \begin{cases} x = 1 + t\cos\alpha \\ y = 2 + t\sin\alpha \end{cases} \] 我们可以通过消去参数 \(t\) 来得到直角坐标方程。将第一个方程解出 \(t\)，得到 \(t = \frac{x - 1}{\cos\alpha}\)，然后将 \(t\) 代入第二个方程： \[ y = 2 + \sin\alpha \cdot \frac{x - 1}{\cos\alpha} \] 整理得到直线I的直角坐标方程为： \[ y - 2 = \tan\alpha \cdot (x - 1) \] 或者写成斜截式： \[ y = \tan\alpha \cdot x + 2 - \tan\alpha \] <eoe> 【答案】曲线C的直角坐标方程为： \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 \] 直线I的直角坐标方程为： \[ y = \tan\alpha \cdot x + 2 - \tan\alpha \] <eoa> (2)【解析】已知曲线C截直线I所得线段的中点坐标为 \((1,2)\)，我们可以通过中点坐标来求直线I的斜率 \(\tan\alpha\)。 首先，将中点坐标代入直线I的直角坐标方程： \[ 2 = \tan\alpha \cdot 1 + 2 - \tan\alpha \] 解得： \[ \tan\alpha = 0 \] <eoe> 【答案】直线I的斜率 \(\tan\alpha\) 为： \[ 0 \] <eoa> |
解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 转换为直角坐标方程为: $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$. 直线 I 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 转换为直角坐标方程为: $x \sin \alpha-y \cos \alpha+2 \cos \alpha-\sin \alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\frac{(2+t \sin \alpha)^{2}}{16}+\frac{(1+t \cos \alpha)^{2}}{4}=1$ 整理得： $\left(4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right) t^{2}+(8 \cos \alpha+4 \sin \alpha) t-8=0$, 则: $t_{1}+t_{2}=-\frac{8 \cos \alpha+4 \sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$, 由于 (1, 2) 为中点坐标, (1)当直线的斜率不存时, $x=1$. 无解故舍去. (2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数) 所以利用中点坐标公式 $\frac{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}{2}=0$, 则: $8 \cos \alpha+4 \sin \alpha=0$, 解得: $\tan \alpha=-2$, 即: 直线 I 的斜率为 -2 . |
| wenxinyiyan | (1)【解析】 对于曲线C，我们有参数方程： $\left\{\begin{array}{l} x = 2\cos\theta \\ y = 4\sin\theta \end{array}\right.$ 利用三角恒等式$\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1$，我们可以得到： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 这就是曲线C的直角坐标方程。 对于直线l，参数方程为： $\left\{\begin{array}{l} x = 1 + t\cos\alpha \\ y = 2 + t\sin\alpha \end{array}\right.$ 当$\alpha = \frac{\pi}{2}$时，直线的方程为$x = 1$； 当$\alpha \neq \frac{\pi}{2}$时，我们可以消去参数$t$，得到： $y = 2 + \tan\alpha(x - 1)$ 这就是直线l的直角坐标方程。 【答案】 曲线C的直角坐标方程为： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 直线l的直角坐标方程为： $y = 2 + \tan\alpha(x - 1)$ 当$\alpha = \frac{\pi}{2}$时，方程为$x = 1$。 (2)【解析】 将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得到： $4(1 + t\cos\alpha)^{2} + (2 + t\sin\alpha)^{2} = 16$ 整理得到： $(4\cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha)t^{2} + (16\cos\alpha + 4\sin\alpha)t - 8 = 0$ 设曲线C与直线l交于点$A(x_{1},y_{1})$和$B(x_{2},y_{2})$，则线段AB的中点坐标为$(1,2)$。根据中点公式，我们有： $x_{1} + x_{2} = 2$ $y_{1} + y_{2} = 4$ 由于$x_{1} + x_{2} = 2$，我们可以得到： $2(1 + t\cos\alpha) = 2$ 从中解出$t\cos\alpha = 0$，即$t_{1}\cos\alpha + t_{2}\cos\alpha = 0$。 又因为$y_{1} + y_{2} = 4$，我们可以得到： $2(2 + t\sin\alpha) = 4$ 从中解出$t\sin\alpha = 0$，即$t_{1}\sin\alpha + t_{2}\sin\alpha = 0$。 结合上述两个方程，我们可以得到： $\tan\alpha = \frac{t\sin\alpha}{t\cos\alpha} = \pm \frac{1}{2}$ 所以，直线l的斜率为$\pm \frac{1}{2}$。 【答案】 直线l的斜率为$\pm \frac{1}{2}$。 |
解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 转换为直角坐标方程为: $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$. 直线 I 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 转换为直角坐标方程为: $x \sin \alpha-y \cos \alpha+2 \cos \alpha-\sin \alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\frac{(2+t \sin \alpha)^{2}}{16}+\frac{(1+t \cos \alpha)^{2}}{4}=1$ 整理得： $\left(4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right) t^{2}+(8 \cos \alpha+4 \sin \alpha) t-8=0$, 则: $t_{1}+t_{2}=-\frac{8 \cos \alpha+4 \sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$, 由于 (1, 2) 为中点坐标, (1)当直线的斜率不存时, $x=1$. 无解故舍去. (2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数) 所以利用中点坐标公式 $\frac{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}{2}=0$, 则: $8 \cos \alpha+4 \sin \alpha=0$, 解得: $\tan \alpha=-2$, 即: 直线 I 的斜率为 -2 . |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们需要将曲线 \(C\) 和直线 \(I\) 的参数方程转换为直角坐标方程。 对于曲线 \(C\)： \[ \begin{cases} x = 2 \cos \theta \\ y = 4 \sin \theta \end{cases} \] 我们可以消去参数 \(\theta\)。利用三角恒等式 \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\)，我们有： \[ \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = 1 \] 即： \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 \] 这就是曲线 \(C\) 的直角坐标方程。 对于直线 \(I\)： \[ \begin{cases} x = 1 + t \cos \alpha \\ y = 2 + t \sin \alpha \end{cases} \] 我们可以消去参数 \(t\)。由第一个方程得到： \[ t = \frac{x - 1}{\cos \alpha} \] 将其代入第二个方程： \[ y = 2 + \left(\frac{x - 1}{\cos \alpha}\right) \sin \alpha \] 整理得： \[ y = 2 + (x - 1) \tan \alpha \] 这就是直线 \(I\) 的直角坐标方程。 <eoe> 【答案】 曲线 \(C\) 的直角坐标方程为： \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 \] 直线 \(I\) 的直角坐标方程为： \[ y = 2 + (x - 1) \tan \alpha \] <eoa> (2)【解析】 已知曲线 \(C\) 截直线 \(I\) 所得线段的中点坐标为 \((1, 2)\)，我们需要求直线 \(I\) 的斜率。 设曲线 \(C\) 与直线 \(I\) 的交点为 \(A(x_1, y_1)\) 和 \(B(x_2, y_2)\)，则中点坐标为： \[ \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = (1, 2) \] 由此得到： \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ y_1 + y_2 = 4 \] 将直线 \(I\) 的参数方程代入曲线 \(C\) 的直角坐标方程： \[ \frac{(1 + t \cos \alpha)^2}{4} + \frac{(2 + t \sin \alpha)^2}{16} = 1 \] 展开并整理： \[ \frac{1 + 2t \cos \alpha + t^2 \cos^2 \alpha}{4} + \frac{4 + 4t \sin \alpha + t^2 \sin^2 \alpha}{16} = 1 \] 乘以16消去分母： \[ 4(1 + 2t \cos \alpha + t^2 \cos^2 \alpha) + 4 + 4t \sin \alpha + t^2 \sin^2 \alpha = 16 \] 整理得： \[ 4 + 8t \cos \alpha + 4t^2 \cos^2 \alpha + 4 + 4t \sin \alpha + t^2 \sin^2 \alpha = 16 \] \[ 8 + 4t^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + 8t (\cos \alpha + \sin \alpha) = 16 \] 利用 \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\)，简化为： \[ 8 + 4t^2 + 8t (\cos \alpha + \sin \alpha) = 16 \] \[ 4t^2 + 8t (\cos \alpha + \sin \alpha) - 8 = 0 \] \[ t^2 + 2t (\cos \alpha + \sin \alpha) - 2 = 0 \] 设方程的两根为 \(t_1\) 和 \(t_2\)，则根据根与系数的关系： \[ t_1 + t_2 = -2 (\cos \alpha + \sin \alpha) \] \[ t_1 t_2 = -2 \] 由于 \(x_1 + x_2 = 2\)，我们有： \[ (1 + t_1 \cos \alpha) + (1 + t_2 \cos \alpha) = 2 \] \[ 2 + (t_1 + t_2) \cos \alpha = 2 \] \[ (t_1 + t_2) \cos \alpha = 0 \] 由于 \(t_1 + t_2 = -2 (\cos \alpha + \sin \alpha)\)，代入上式： \[ -2 (\cos \alpha + \sin \alpha) \cos \alpha = 0 \] \[ \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha) = 0 \] 由于 \(\cos \alpha \neq 0\)（否则直线方程无意义），所以： \[ \cos \alpha + \sin \alpha = 0 \] \[ \sin \alpha = -\cos \alpha \] \[ \tan \alpha = -1 \] 因此，直线 \(I\) 的斜率为 \(-1\)。 <eoe> 【答案】 直线 \(I\) 的斜率为： \[ -1 \] <eoa> |
解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 转换为直角坐标方程为: $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$. 直线 I 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 转换为直角坐标方程为: $x \sin \alpha-y \cos \alpha+2 \cos \alpha-\sin \alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\frac{(2+t \sin \alpha)^{2}}{16}+\frac{(1+t \cos \alpha)^{2}}{4}=1$ 整理得： $\left(4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right) t^{2}+(8 \cos \alpha+4 \sin \alpha) t-8=0$, 则: $t_{1}+t_{2}=-\frac{8 \cos \alpha+4 \sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$, 由于 (1, 2) 为中点坐标, (1)当直线的斜率不存时, $x=1$. 无解故舍去. (2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数) 所以利用中点坐标公式 $\frac{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}{2}=0$, 则: $8 \cos \alpha+4 \sin \alpha=0$, 解得: $\tan \alpha=-2$, 即: 直线 I 的斜率为 -2 . |
| gpto1 | (1)【解析】 曲线 \( C \) 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 2\cos\theta \\ y = 4\sin\theta \end{cases} \] 利用三角恒等式 \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)，消去参数 \(\theta\)： \[ \left( \frac{x}{2} \right)^2 + \left( \frac{y}{4} \right)^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \] 整理得到曲线 \( C \) 的直角坐标方程： \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 \] 直线 \( I \) 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 1 + t\cos\alpha \\ y = 2 + t\sin\alpha \end{cases} \] 消去参数 \( t \)： \[ \frac{x - 1}{\cos\alpha} = t = \frac{y - 2}{\sin\alpha} \] 所以直线 \( I \) 的直角坐标方程为： \[ (x - 1)\sin\alpha - (y - 2)\cos\alpha = 0 \] <eoe> 【答案】 (1) 曲线 \( C \) 的直角坐标方程为：\(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{16} = 1\)； 直线 \( I \) 的直角坐标方程为：\((x - 1)\sin\alpha - (y - 2)\cos\alpha = 0\)。<eoa> (2)【解析】 已知曲线 \( C \) 被直线 \( I \) 截得的弦的中点为 \( (1, 2) \)，根据椭圆的弦中点公式，对于椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)，弦的中点 \( (x_0, y_0) \) 满足： \[ \frac{x x_0}{a^2} + \frac{y y_0}{b^2} = \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} \] 将 \( a = 2, b = 4, x_0 = 1, y_0 = 2 \) 代入，得到弦的方程： \[ \frac{x \cdot 1}{4} + \frac{y \cdot 2}{16} = \frac{1^2}{4} + \frac{2^2}{16} \] 化简： \[ \frac{x}{4} + \frac{y}{8} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \] 两边乘以 8： \[ 2x + y = 4 \] 该弦的斜率为： \[ k = -2 \] 另外，直线 \( I \) 过点 \( (1, 2) \)，其斜率为： \[ k = \tan\alpha = -2 \] <eoe> 【答案】 (2) 直线 \( I \) 的斜率为 \(-2\)。<eoa> |
解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 转换为直角坐标方程为: $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$. 直线 I 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 转换为直角坐标方程为: $x \sin \alpha-y \cos \alpha+2 \cos \alpha-\sin \alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\frac{(2+t \sin \alpha)^{2}}{16}+\frac{(1+t \cos \alpha)^{2}}{4}=1$ 整理得： $\left(4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right) t^{2}+(8 \cos \alpha+4 \sin \alpha) t-8=0$, 则: $t_{1}+t_{2}=-\frac{8 \cos \alpha+4 \sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$, 由于 (1, 2) 为中点坐标, (1)当直线的斜率不存时, $x=1$. 无解故舍去. (2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数) 所以利用中点坐标公式 $\frac{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}{2}=0$, 则: $8 \cos \alpha+4 \sin \alpha=0$, 解得: $\tan \alpha=-2$, 即: 直线 I 的斜率为 -2 . |
| deepseekv3 | (1)【解析】首先，我们需要将曲线 \( C \) 和直线 \( I \) 的参数方程转换为直角坐标方程。 对于曲线 \( C \)： \[ \begin{cases} x = 2 \cos \theta \\ y = 4 \sin \theta \end{cases} \] 利用三角恒等式 \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \)，我们可以消去参数 \( \theta \)： \[ \left( \frac{x}{2} \right)^2 + \left( \frac{y}{4} \right)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \] 因此，曲线 \( C \) 的直角坐标方程为： \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 \] 对于直线 \( I \)： \[ \begin{cases} x = 1 + t \cos \alpha \\ y = 2 + t \sin \alpha \end{cases} \] 我们可以消去参数 \( t \)： \[ t = \frac{x - 1}{\cos \alpha} \] 将 \( t \) 代入 \( y \) 的方程： \[ y = 2 + \left( \frac{x - 1}{\cos \alpha} \right) \sin \alpha = 2 + (x - 1) \tan \alpha \] 因此，直线 \( I \) 的直角坐标方程为： \[ y - 2 = \tan \alpha (x - 1) \] <eoe> 【答案】 (1) 曲线 \( C \) 的直角坐标方程为 \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 \)； 直线 \( I \) 的直角坐标方程为 \( y - 2 = \tan \alpha (x - 1) \)。 <eoa> (2)【解析】已知曲线 \( C \) 截直线 \( I \) 所得线段的中点坐标为 \( (1, 2) \)。根据直线 \( I \) 的方程： \[ y - 2 = \tan \alpha (x - 1) \] 可以看出，点 \( (1, 2) \) 在直线 \( I \) 上。因此，直线 \( I \) 通过点 \( (1, 2) \)，这意味着对于任意 \( t \)，当 \( t = 0 \) 时，直线 \( I \) 经过 \( (1, 2) \)。 由于 \( (1, 2) \) 是线段的中点，且曲线 \( C \) 是椭圆，直线 \( I \) 与椭圆 \( C \) 的交点关于 \( (1, 2) \) 对称。因此，直线 \( I \) 通过椭圆的中心 \( (0, 0) \)。然而，\( (1, 2) \) 并不是椭圆的中心，因此需要重新考虑。 我们可以将直线 \( I \) 的方程代入椭圆 \( C \) 的方程： \[ \frac{(1 + t \cos \alpha)^2}{4} + \frac{(2 + t \sin \alpha)^2}{16} = 1 \] 展开并整理： \[ \frac{1 + 2t \cos \alpha + t^2 \cos^2 \alpha}{4} + \frac{4 + 4t \sin \alpha + t^2 \sin^2 \alpha}{16} = 1 \] \[ \frac{1}{4} + \frac{t \cos \alpha}{2} + \frac{t^2 \cos^2 \alpha}{4} + \frac{1}{4} + \frac{t \sin \alpha}{4} + \frac{t^2 \sin^2 \alpha}{16} = 1 \] \[ \frac{1}{2} + \frac{t \cos \alpha}{2} + \frac{t \sin \alpha}{4} + \frac{t^2 \cos^2 \alpha}{4} + \frac{t^2 \sin^2 \alpha}{16} = 1 \] \[ \frac{t \cos \alpha}{2} + \frac{t \sin \alpha}{4} + \frac{t^2 \cos^2 \alpha}{4} + \frac{t^2 \sin^2 \alpha}{16} = \frac{1}{2} \] 这是一个关于 \( t \) 的二次方程。由于 \( (1, 2) \) 是线段的中点，两个交点的参数 \( t \) 满足 \( t_1 + t_2 = 0 \)。因此，二次方程的线性项系数必须为零： \[ \frac{\cos \alpha}{2} + \frac{\sin \alpha}{4} = 0 \] 解这个方程： \[ 2 \cos \alpha + \sin \alpha = 0 \] \[ \sin \alpha = -2 \cos \alpha \] \[ \tan \alpha = -2 \] 因此，直线 \( I \) 的斜率为 \( -2 \)。 <eoe> 【答案】 (2) 直线 \( I \) 的斜率为 \( -2 \)。 <eoa> |
解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 转换为直角坐标方程为: $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$. 直线 I 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 转换为直角坐标方程为: $x \sin \alpha-y \cos \alpha+2 \cos \alpha-\sin \alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\frac{(2+t \sin \alpha)^{2}}{16}+\frac{(1+t \cos \alpha)^{2}}{4}=1$ 整理得： $\left(4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right) t^{2}+(8 \cos \alpha+4 \sin \alpha) t-8=0$, 则: $t_{1}+t_{2}=-\frac{8 \cos \alpha+4 \sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$, 由于 (1, 2) 为中点坐标, (1)当直线的斜率不存时, $x=1$. 无解故舍去. (2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数) 所以利用中点坐标公式 $\frac{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}{2}=0$, 则: $8 \cos \alpha+4 \sin \alpha=0$, 解得: $\tan \alpha=-2$, 即: 直线 I 的斜率为 -2 . |