| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们将曲线 \( C \) 的参数方程转换为直角坐标方程。曲线 \( C \) 的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \\ y = \frac{4t}{1 + t^2} \end{array} \right. \] 我们可以通过消去参数 \( t \) 来得到 \( x \) 和 \( y \) 之间的关系。首先，注意到： \[ x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \quad \text{和} \quad y = \frac{4t}{1 + t^2} \] 我们可以将 \( x \) 和 \( y \) 进行如下变换： \[ x(1 + t^2) = 1 - t^2 \quad \Rightarrow \quad x + xt^2 = 1 - t^2 \quad \Rightarrow \quad xt^2 + t^2 = 1 - x \quad \Rightarrow \quad t^2(x + 1) = 1 - x \quad \Rightarrow \quad t^2 = \frac{1 - x}{x + 1} \] 然后，利用 \( y \) 的表达式： \[ y = \frac{4t}{1 + t^2} \quad \Rightarrow \quad y(1 + t^2) = 4t \quad \Rightarrow \quad y + yt^2 = 4t \quad \Rightarrow \quad yt^2 - 4t + y = 0 \] 将 \( t^2 = \frac{1 - x}{x + 1} \) 代入上式： \[ y \left( \frac{1 - x}{x + 1} \right) - 4t + y = 0 \quad \Rightarrow \quad y \left( \frac{1 - x}{x + 1} \right) + y = 4t \quad \Rightarrow \quad y \left( \frac{1 - x + x + 1}{x + 1} \right) = 4t \quad \Rightarrow \quad y \left( \frac{2}{x + 1} \right) = 4t \quad \Rightarrow \quad t = \frac{y(x + 1)}{8} \] 将 \( t = \frac{y(x + 1)}{8} \) 代入 \( t^2 = \frac{1 - x}{x + 1} \)： \[ \left( \frac{y(x + 1)}{8} \right)^2 = \frac{1 - x}{x + 1} \quad \Rightarrow \quad \frac{y^2(x + 1)^2}{64} = \frac{1 - x}{x + 1} \quad \Rightarrow \quad y^2(x + 1)^3 = 64(1 - x) \] 因此，曲线 \( C \) 的直角坐标方程为： \[ y^2(x + 1)^3 = 64(1 - x) \] 接下来，我们将直线 \( l \) 的极坐标方程转换为直角坐标方程。直线 \( l \) 的极坐标方程为： \[ 2 \rho \cos \theta + \sqrt{3} \rho \sin \theta + 11 = 0 \] 利用极坐标和直角坐标的关系： \[ \rho \cos \theta = x \quad \text{和} \quad \rho \sin \theta = y \] 将其代入直线方程： \[ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \] 因此，直线 \( l \) 的直角坐标方程为： \[ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \] <eoe> 【答案】 曲线 \( C \) 的直角坐标方程为 \( y^2(x + 1)^3 = 64(1 - x) \)。 直线 \( l \) 的直角坐标方程为 \( 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \)。 <eoa> (2)【解析】 我们需要求曲线 \( C \) 上的点到直线 \( l \) 的距离的最小值。首先，直线 \( l \) 的方程为： \[ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \] 点 \( (x_0, y_0) \) 到直线 \( 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \) 的距离公式为： \[ d = \frac{|2x_0 + \sqrt{3}y_0 + 11|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|2x_0 + \sqrt{3}y_0 + 11|}{\sqrt{4 + 3}} = \frac{|2x_0 + \sqrt{3}y_0 + 11|}{\sqrt{7}} \] 我们需要找到曲线 \( C \) 上的点 \( (x_0, y_0) \) 使得这个距离最小。曲线 \( C \) 的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \\ y = \frac{4t}{1 + t^2} \end{array} \right. \] 将 \( x \) 和 \( y \) 代入距离公式： \[ d = \frac{|2 \cdot \frac{1 - t^2}{1 + t^2} + \sqrt{3} \cdot \frac{4t}{1 + t^2} + 11|}{\sqrt{7}} = \frac{| \frac{2(1 - t^2) + 4\sqrt{3}t + 11(1 + t^2)}{1 + t^2} |}{\sqrt{7}} \] 化简分子： \[ 2(1 - t^2) + 4\sqrt{3}t + 11(1 + t^2) = 2 - 2t^2 + 4\sqrt{3}t + 11 + 11t^2 = 13 + 9t^2 + 4\sqrt{3}t \] 因此，距离公式变为： \[ d = \frac{|13 + 9t^2 + 4\sqrt{3}t|}{\sqrt{7}(1 + t^2)} \] 为了使距离最小，我们需要最小化分子 \( |13 + 9t^2 + 4\sqrt{3}t| \)。我们可以通过求导数并找到极值点来实现这一点。设： \[ f(t) = 13 + 9t^2 + 4\sqrt{3}t \] 求导数： \[ f'(t) = 18t + 4\sqrt{3} \] 令导数为零，求解 \( t \)： \[ 18t + 4\sqrt{3} = 0 \quad \Rightarrow \quad t = -\frac{2\sqrt{3}}{9} \] 将 \( t = -\frac{2\sqrt{3}}{9} \) 代入 \( f(t) \)： \[ f\left( -\frac{2\sqrt{3}}{9} \right) = 13 + 9 \left( -\frac{2\sqrt{3}}{9} \right)^2 + 4\sqrt{3} \left( -\frac{2\sqrt{3}}{9} \right) \] 计算： \[ f\left( -\frac{2\sqrt{3}}{9} \right) = 13 + 9 \cdot \frac{12}{81} - \frac{24}{9} = 13 + \frac{12}{9} - \frac{24}{9} = 13 - \frac{12}{9} = 13 - \frac{4}{3} = \frac{39}{3} - \frac{4}{3} = \frac{35}{3} \] 因此，最小距离为： \[ d_{\min} = \frac{\left| \frac{35}{3} \right|}{\sqrt{7}} = \frac{35}{3\sqrt{7}} = \frac{35\sqrt{7}}{21} = \frac{5\sqrt{7}}{3} \] <eoe> 【答案】 曲线 \( C \) 上的点到直线 \( l \) 的距离的最小值为 \( \frac{5\sqrt{7}}{3} \)。 <eoa> |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\min }=\sqrt{7}$ |
| deepseekr1 | (1)【解析】 曲线 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases} x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\ y = \frac{4t}{1 + t^2} \end{cases}$。通过消去参数 $t$，计算得： $$ x^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = \frac{(1 - t^2)^2 + (4t)^2}{(1 + t^2)^2} = \frac{1 + 2t^2 + t^4}{(1 + t^2)^2} = 1, $$ 即 $C$ 的直角坐标方程为 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$。直线 $l$ 的极坐标方程 $2\rho\cos\theta + \sqrt{3}\rho\sin\theta + 11 = 0$ 转换为直角坐标方程为 $2x + \sqrt{3}y + 11 = 0$。 <eoe> 【答案】 (1) 曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$，直线 $l$ 的直角坐标方程为 $2x + \sqrt{3}y + 11 = 0$。 <eoa> (2)【解析】 曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离公式为： $$ d = \frac{|2x + \sqrt{3}y + 11|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|2x + \sqrt{3}y + 11|}{\sqrt{7}}. $$ 将曲线 $C$ 的参数方程代入，化简得： $$ d(t) = \frac{|9t^2 + 4\sqrt{3}t + 13|}{\sqrt{7}(1 + t^2)}. $$ 通过求导找到极值点，解得 $t = -\sqrt{3}$ 时，分子取得最小值 $7$，对应的点为 $(-\frac{1}{2}, -\sqrt{3})$，代入距离公式得最小距离为 $\sqrt{7}$。 <eoe> 【答案】 (2) 曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\sqrt{7}$。 <eoa> |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\min }=\sqrt{7}$ |
| gpto1 | **(1)【解析】** 首先，求曲线 \( C \) 的直角坐标方程。 给定参数方程： \[ \begin{cases} x = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \\ y = \dfrac{4t}{1 + t^2}. \end{cases} \] 观察到 \( x \) 与 \( t \) 的关系，可以考虑将 \( t \) 替换为三角函数的形式。 令 \( t = \tan \alpha \)，则有： \[ x = \dfrac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \cos 2\alpha, \\ y = \dfrac{4 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = 2 \sin 2\alpha. \] 因此， \[ x = \cos 2\alpha, \quad y = 2 \sin 2\alpha. \] 于是， \[ x^2 + \left( \dfrac{y}{2} \right)^2 = \cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha = 1. \] 所以，曲线 \( C \) 的直角坐标方程为： \[ x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1. \] 接下来，求直线 \( l \) 的直角坐标方程。 给定极坐标方程： \[ 2 \rho \cos \theta + \sqrt{3} \rho \sin \theta + 11 = 0. \] 利用极坐标与直角坐标的关系： \[ \rho \cos \theta = x, \quad \rho \sin \theta = y. \] 代入得到： \[ 2x + \sqrt{3} y + 11 = 0. \] 因此，直线 \( l \) 的直角坐标方程为： \[ 2x + \sqrt{3} y + 11 = 0. \] **(2)【解析】** 要求曲线 \( C \) 上的点到直线 \( l \) 的距离的最小值。 首先，点 \( (x, y) \) 到直线 \( 2x + \sqrt{3} y + 11 = 0 \) 的距离公式为： \[ d = \dfrac{|2x + \sqrt{3} y + 11|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \dfrac{|2x + \sqrt{3} y + 11|}{\sqrt{7}}. \] 我们的目标是最小化 \( |2x + \sqrt{3} y + 11| \)，其中 \( (x, y) \) 满足 \( x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1 \)。 建立拉格朗日函数： \[ L(x, y, \lambda) = 2x + \sqrt{3} y + 11 - \lambda \left( x^2 + \dfrac{y^2}{4} - 1 \right). \] 求偏导数： \[ \begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x} = 2 - 2\lambda x = 0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial y} = \sqrt{3} - \dfrac{\lambda y}{2} = 0 \\ x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1 \end{cases} \] 解出： \[ x = \dfrac{1}{\lambda}, \quad y = \dfrac{2\sqrt{3}}{\lambda}. \] 将 \( x \) 和 \( y \) 代入约束条件： \[ \left( \dfrac{1}{\lambda} \right)^2 + \dfrac{\left( \dfrac{2\sqrt{3}}{\lambda} \right)^2}{4} = 1 \\ \Rightarrow \dfrac{1}{\lambda^2} + \dfrac{3}{\lambda^2} = 1 \\ \Rightarrow \dfrac{4}{\lambda^2} = 1 \\ \Rightarrow \lambda = \pm 2. \] 当 \( \lambda = 2 \) 时： \[ x = \dfrac{1}{2}, \quad y = \sqrt{3}. \] 计算此时的距离： \[ |2x + \sqrt{3} y + 11| = |2 \times \dfrac{1}{2} + \sqrt{3} \times \sqrt{3} + 11| = |1 + 3 + 11| = 15. \] 当 \( \lambda = -2 \) 时： \[ x = -\dfrac{1}{2}, \quad y = -\sqrt{3}. \] 计算此时的距离： \[ |2x + \sqrt{3} y + 11| = |2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) + \sqrt{3} \times (-\sqrt{3}) + 11| = |-1 - 3 + 11| = 7. \] 因此，最小距离为： \[ d_{\text{min}} = \dfrac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}. \] <eoe> 【答案】 (1) 曲线 \( C \) 的直角坐标方程为 \( x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1 \)； 直线 \( l \) 的直角坐标方程为 \( 2x + \sqrt{3} y + 11 = 0 \)。 (2) 曲线 \( C \) 上的点到直线 \( l \) 的距离的最小值为 \( \sqrt{7} \)。 <eoa> |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\min }=\sqrt{7}$ |
| GPT-4o | (1)【解析】 首先，我们将曲线 \(C\) 的参数方程转换为直角坐标方程。给定参数方程： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \\ y = \frac{4t}{1 + t^2} \end{array} \right. \] 我们将这两个方程联立，消去参数 \(t\)。 由 \(y = \frac{4t}{1+t^2}\)，我们得到 \(t = \frac{y}{4}\)。 将 \(t\) 代入 \(x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\)： \[ x = \frac{1 - \left(\frac{y}{4}\right)^2}{1 + \left(\frac{y}{4}\right)^2} = \frac{1 - \frac{y^2}{16}}{1 + \frac{y^2}{16}} = \frac{16 - y^2}{16 + y^2} \] 因此，曲线 \(C\) 的直角坐标方程为： \[ x = \frac{16 - y^2}{16 + y^2} \] 接下来，我们将直线 \(l\) 的极坐标方程转换为直角坐标方程。给定极坐标方程： \[ 2\rho \cos \theta + \sqrt{3} \rho \sin \theta + 11 = 0 \] 我们知道 \(\rho \cos \theta = x\) 和 \(\rho \sin \theta = y\)，因此： \[ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \] 这是直线 \(l\) 的直角坐标方程。 <eoe> 【答案】 曲线 \(C\) 的直角坐标方程为 \(x = \frac{16 - y^2}{16 + y^2}\)。 直线 \(l\) 的直角坐标方程为 \(2x + \sqrt{3}y + 11 = 0\)。 <eoa> (2)【解析】 现在我们要求曲线 \(C\) 上的点到直线 \(l\) 的距离的最小值。利用点到直线的距离公式求解。 直线 \(l\) 的方程为 \(2x + \sqrt{3}y + 11 = 0\)，根据点到直线的距离公式： \[ d = \frac{|2x + \sqrt{3}y + 11|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|2x + \sqrt{3}y + 11|}{\sqrt{4 + 3}} = \frac{|2x + \sqrt{3}y + 11|}{\sqrt{7}} \] 曲线 \(C\) 上的点 \((x, y)\) 的关系是 \(x = \frac{16 - y^2}{16 + y^2}\)。将这个关系带入到距离公式中： \[ d = \frac{\left|2\left(\frac{16 - y^2}{16 + y^2}\right) + \sqrt{3}y + 11\right|}{\sqrt{7}} \] 为了使距离 \(d\) 最小，我们需要求解最小值。我们需要对这个表达式进行进一步分析和简化。 令 \(f(y) = 2\left(\frac{16 - y^2}{16 + y^2}\right) + \sqrt{3}y + 11\)，然后求 \(|f(y)|\) 的最小值。 首先，我们将 \(f(y)\) 化简： \[ f(y) = \frac{32 - 2y^2}{16 + y^2} + \sqrt{3}y + 11 \] 为了最小化这个表达式，我们对 \(f(y)\) 求导并找到临界点： \[ f'(y) = \frac{(16 + y^2)(-4y) - (32 - 2y^2)(2y)}{(16 + y^2)^2} + \sqrt{3} = \frac{-4y(16 + y^2) - 2y(32 - 2y^2)}{(16 + y^2)^2} + \sqrt{3} \] \[ = \frac{-4y \cdot 16 - 4y^3 - 64y + 4 |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\min }=\sqrt{7}$ |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】先由参数方程求出曲线C的直角坐标方程,再由极坐标方程求出直线l的直角坐标方程.由\begin{cases}x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\\y=\frac{4t}{1+t^{2}}\end{cases},得x^{2}+y^{2}=1,所以曲线C的直角坐标方程为x^{2}+y^{2}=1,即曲线C为以原点为圆心,1为半径的圆.由2\rho\cos\theta+\sqrt{3}\rho\sin\theta+11=0,得2x+\sqrt{3}y+11=0,所以直线l的直角坐标方程为2x+\sqrt{3}y+11=0.(2)由(1)知,曲线C为以原点为圆心,1为半径的圆,直线l的直角坐标方程为2x+\sqrt{3}y+11=0,所以曲线C上点到直线l的距离的最小值为1+\frac{11}{\sqrt{7}}=\frac{18}{\sqrt{7}}. 最终结果是x^2+y^2=1 2*x+sqrt(3)*y+11=0 18/sqrt(7) |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\min }=\sqrt{7}$ |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)由题意,曲线C的参数方程为\begin{cases}x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\\y=\frac{4t}{1+t^{2}}\end{cases},消去参数t得x^{2}+\frac{y^{2}}{16}=1(y\geqslant0),即曲线C的直角坐标方程为x^{2}+\frac{y^{2}}{16}=1(y\geqslant0)由题意,直线l的极坐标方程为2\rho\cos\theta+\sqrt{3}\rho\sin\theta+11=0,化为直角坐标方程得2x+\sqrt{3}y+11=0(2)由题意,曲线C的直角坐标方程为x^{2}+\frac{y |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\min }=\sqrt{7}$ |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】首先，我们需要将曲线 $C$ 的参数方程转换为直角坐标方程。给定的参数方程为：\n\\[\n\\left\\{\\begin{array}{l}\nx=\\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\\\\ny=\\frac{4 t}{1+t^{2}}\n\\end{array}\\right.\n\\]\n我们可以通过消去参数 $t$ 来得到 $x$ 和 $y$ 之间的关系。首先，我们将 $x$ 和 $y$ 的表达式平方并相加：\n\\[\nx^2 = \\left(\\frac{1-t^2}{1+t^2}\\right)^2, \\quad y^2 = \\left(\\frac{4t}{1+t^2}\\right)^2\n\\]\n\\[\nx^2 + y^2 = \\left(\\frac{1-t^2}{1+t^2}\\right)^2 + \\left(\\frac{4t}{1+t^2}\\right)^2\n\\]\n\\[\nx^2 + y^2 = \\frac{(1-t^2)^2 + (4t)^2}{(1+t^2)^2}\n\\]\n\\[\nx^2 + y^2 = \\frac{1 - 2t^2 + t^4 + 16t^2}{(1+t^2)^2}\n\\]\n\\[\nx^2 + y^2 = \\frac{1 + 14t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}\n\\]\n\\[\nx^2 + y^2 = \\frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2} = 1\n\\]\n因此，曲线 $C$ 的直角坐标方程为：\n\\[\nx^2 + y^2 = 1\n\\]\n\n接下来，我们将直线 $l$ 的极坐标方程转换为直角坐标方程。给定的极坐标方程为：\n\\[\n2 \\rho \\cos \\theta + \\sqrt{3} \\rho \\sin \\theta + 11 = 0\n\\]\n我们知道 $\\rho \\cos \\theta = x$ 和 $\\rho \\sin \\theta = y$，因此可以将极坐标方程转换为：\n\\[\n2x + \\sqrt{3}y + 11 = 0\n\\]\n\n综上所述，曲线 $C$ 和直线 $l$ 的直角坐标方程分别为：\n\\[\nx^2 + y^2 = 1\n\\]\n\\[\n2x + \\sqrt{3}y + 11 = 0\n\\]\n<eoe>\n【答案】\n\\[\nx^2 + y^2 = 1\n\\]\n\\[\n2x + \\sqrt{3}y + 11 = 0\n\\]\n<eoa>\n\n(2)【解析】我们需要求曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最小值。曲线 $C$ 上的点满足 $x^2 + y^2 = 1$，即这些点在单位圆上。直线 $l$ 的方程为 $2x + \\sqrt{3}y + 11 = 0$。\n\n点 $(x_0, y_0)$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离公式为：\n\\[\nd = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\n\\]\n在这里，$A = 2$，$B = \\sqrt{3}$，$C = 11$，因此距离公式为：\n\\[\nd = \\frac{|2x_0 + \\sqrt{3}y_0 + 11|}{\\sqrt{2^2 + (\\sqrt{3})^2}} = \\frac{|2x_0 + \\sqrt{3}y_0 + 11|}{\\sqrt{4 + 3}} = \\frac{|2x_0 + \\sqrt{3}y_0 + 11|}{\\sqrt{7}}\n\\]\n\n由于 $x_0^2 + y_0^2 = 1$，我们需要最小化 $|2x_0 + \\sqrt{3}y_0 + 11|$。考虑到 $2x_0 + \\sqrt{3}y_0$ 是一个线性组合，我们可以将其视为向量 $(2, \\sqrt{3})$ 和 $(x_0, y_0)$ 的点积。为了最小化这个点积的绝对值，$(x_0, y_0)$ 应该与 $(2, \\sqrt{3})$ 垂直，即 $(x_0, y_0)$ 应该是 $(2, \\sqrt{3})$ 的法向量。\n\n法向量 $(x_0, y_0)$ 可以通过旋转 $(2, \\sqrt{3})$ 90度得到，即 $(-\\sqrt{3}, 2)$ 或 $(\\sqrt{3}, -2)$。由于 $x_0^2 + y_0^2 = 1$，我们需要归一化这些向量：\n\\[\n(-\\sqrt{3}, 2) \\rightarrow \\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{7}}, \\frac{2}{\\sqrt{7}}\\right), \\quad (\\sqrt{3}, -2) \\rightarrow \\left(\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{7}}, -\\frac{2}{\\sqrt{7}}\\right)\n\\]\n\n计算这两个点的距离：\n\\[\nd_1 = \\frac{|2\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{7}}\\right) + \\sqrt{3}\\left(\\frac{2}{\\sqrt{7}}\\right) + 11|}{\\sqrt{7}} = \\frac{|-2\\sqrt{3} + 2\\sqrt{3} + 11|}{\\sqrt{7}} = \\frac{11}{\\sqrt{7}}\n\\]\n\\[\nd_2 = \\frac{|2\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{7}}\\right) + \\sqrt{3}\\left(-\\frac{2}{\\sqrt{7}}\\right) + 11|}{\\sqrt{7}} = \\frac{|2\\sqrt{3} - 2\\sqrt{3} + 11|}{\\sqrt{7}} = \\frac{11}{\\sqrt{7}}\n\\]\n\n因此，最小距离为：\n\\[\n\\frac{11}{\\sqrt{7}}\n\\]\n<eoe>\n【答案】\n\\[\n\\frac{11}{\\sqrt{7}}\n\\]\n<eoa>" | 【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\min }=\sqrt{7}$ |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】\n对于曲线 $C$ 的参数方程 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\\\ y=\\frac{4 t}{1+t^{2}}\\end{array}\\right.$，我们可以通过消参的方法将其转换为直角坐标方程。观察到 $x$ 和 $y$ 的表达式，可以联想到圆的参数方程，尝试将其转换为标准形式。\n\n对于直线 $l$ 的极坐标方程 $2 \\rho \\cos \\theta+\\sqrt{3} \\rho \\sin \\theta+11=0$，使用极坐标与直角坐标之间的转换关系 $\\rho \\cos \\theta=x$ 和 $\\rho \\sin \\theta=y$，可以将其转换为直角坐标方程。\n\n<eoe>\n\n【答案】\n对于曲线 $C$，首先观察到 $x=\\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 和 $y=\\frac{4 t}{1+t^{2}}$，可以通过构造 $x^2+y^2$ 的形式来消去参数 $t$。计算得到：\n\\[x^2+y^2=\\left(\\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\\right)^2+\\left(\\frac{4 t}{1+t^{2}}\\right)^2=\\frac{1-2t^2+t^4+16t^2}{(1+t^2)^2}=\\frac{1+14t^2+t^4}{(1+t^2)^2}=\\frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2}=1\\]\n因此，曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $x^2+y^2=1$，这是一个单位圆的方程。\n\n对于直线 $l$，直接用极坐标与直角坐标的转换关系 $\\rho \\cos \\theta=x$ 和 $\\rho \\sin \\theta=y$，代入极坐标方程得到：\n\\[2x+\\sqrt{3}y+11=0\\]\n这是直线 $l$ 的直角坐标方程。\n\n<eoa>\n\n(2)【解析】\n求曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 距离的最小值，可以使用点到直线距离公式。对于圆心 $(0,0)$ 到直线 $2x+\\sqrt{3}y+11=0$ 的距离，使用公式 $\\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\\sqrt{A^2+B^2}}$，其中 $(x_0,y_0)$ 是点的坐标，$Ax+By+C=0$ 是直线的方程。由于圆心 $(0,0)$ 到直线的距离就是圆上点到直线的最短距离（圆心到直线的垂线段最短），我们直接计算这个距离。然后，由于单位圆的半径为 $1$，最短距离应为圆心到直线的距离减去半径。\n\n<eoe>\n\n【答案】\n圆心 $(0,0)$ 到直线 $2x+\\sqrt{3}y+11=0$ 的距离为：\n\\[d=\\frac{|2\\cdot0+\\sqrt{3}\\cdot0+11|}{\\sqrt{2^2+(\\sqrt{3})^2}}=\\frac{11}{\\sqrt{4+3}}=\\frac{11}{\\sqrt{7}}\\]\n因此，$C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值为 $\\frac{11}{\\sqrt{7}}-1=\\frac{11-\\sqrt{7}}{\\sqrt{7}}$。\n\n<eoa>" | 【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\min }=\sqrt{7}$ |
| baichuan4 | (1)【解析】首先，我们需要将曲线 $C$ 的参数方程转换为直角坐标方程。给定的参数方程是： $$ \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{4 t}{1+t^{2}} \end{array} \right. $$ 我们可以通过消去参数 $t$ 来得到 $x$ 和 $y$ 之间的关系。首先，我们可以从第二个方程中解出 $t$： $$ t = \frac{y}{4} \cdot \frac{1+t^2}{t} $$ 将 $t$ 的表达式代入第一个方程中，我们得到： $$ x = \frac{1-(\frac{y}{4})^2}{1+(\frac{y}{4})^2} $$ 整理得到： $$ x^2 + y^2 = \frac{1-(\frac{y}{4})^2}{1+(\frac{y}{4})^2} + \left(\frac{y}{4}\right)^2 \cdot \frac{1-(\frac{y}{4})^2}{1+(\frac{y}{4})^2} $$ 进一步简化得到： $$ x^2 + y^2 = 1 $$ 这是一个圆的方程，半径为1，圆心在原点。 接下来，我们将直线 $l$ 的极坐标方程转换为直角坐标方程。给定的极坐标方程是： $$ 2 \rho \cos \theta + \sqrt{3} \rho \sin \theta + 11 = 0 $$ 我们知道极坐标和直角坐标之间的关系是 $x = \rho \cos \theta$ 和 $y = \rho \sin \theta$，所以我们可以将上面的方程改写为： $$ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 $$ 这就是直线 $l$ 的直角坐标方程。 【答案】曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $x^2 + y^2 = 1$，直线 $l$ 的直角坐标方程为 $2x + \sqrt{3}y + 11 = 0$。 (2)【解析】要求曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 距离的最小值，我们可以使用点到直线的距离公式： $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$ 其中，$(x_0, y_0)$ 是曲线上任一点的坐标，$Ax + By + C = 0$ 是直线的方程。 由于曲线 $C$ 是一个圆，圆心在原点 $(0,0)$，我们可以将圆心坐标代入上面的公式来计算最小距离： $$ d_{\text{min}} = \frac{|2 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot 0 + 11|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{11}{\sqrt{4 + 3}} = \frac{11}{\sqrt{7}} $$ 【答案】曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 距离的最小值为 $\frac{11}{\sqrt{7}}$。 |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\min }=\sqrt{7}$ |
| doubao | (1)【解析】对于曲线$C$的参数方程，分子分母同时除以$1+t^2$可得： $x=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{-(t^2+1)+2}{1+t^2}=-1+\frac{2}{1+t^2}$， $y=\frac{4t}{1+t^2}$，平方可得$y^2=\frac{16t^2}{(1+t^2)^2}$。 将$x=-1+\frac{2}{1+t^2}$移项得$1+t^2=\frac{2}{1+x}$，代入$y^2$的表达式可得： $y^2=\frac{16t^2}{(1+t^2)^2}=\frac{16t^2}{(\frac{2}{1+x})^2}=4(1+x)(1-x)$，即$x^2+\frac{y^2}{4}=1(x\neq-1)$。 对于直线$l$，将极坐标方程转化为直角坐标方程，$2\rho\cos\theta+\sqrt{3}\rho\sin\theta+11=0$，即$2x+\sqrt{3}y+11=0$。 <eoe> 【答案】曲线$C$的直角坐标方程为$x^2+\frac{y^2}{4}=1(x\neq-1)$，直线$l$的直角坐标方程为$2x+\sqrt{3}y+11=0$。 <eoa> (2)【解析】设曲线$C$上一点的坐标为$(x_0,y_0)$，则$x_0^2+\frac{y_0^2}{4}=1$，设$x_0=\cos\theta$，$y_0=2\sin\theta$，则该点到直线$l$的距离为： $d=\frac{|2\cos\theta+2\sqrt{3}\sin\theta+11|}{\sqrt{2^2+(\sqrt{3})^2}}=\frac{|4(\frac{1}{2}\cos\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta)+11|}{\sqrt{7}}=\frac{|4\sin(\theta+\frac{\pi}{6})+11|}{\sqrt{7}}$。 当$\sin(\theta+\frac{\pi}{6})=-1$时，距离最小，最小值为$\frac{|4\times(-1)+11|}{\sqrt{7}}=\frac{7}{\sqrt{7}}=\sqrt{7}$。 <eoe> 【答案】$C$上的点到$l$距离的最小值为$\sqrt{7}$。 <eoa> |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\min }=\sqrt{7}$ |
| minimax | (1)【解析】首先，我们需要将曲线 $C$ 的参数方程转换为直角坐标方程。参数方程为： $$ \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{4 t}{1+t^{2}} \end{array} \right. $$ 我们可以通过消去参数 $t$ 来得到直角坐标方程。首先，我们可以将 $x$ 和 $y$ 的表达式相除，得到 $y$ 关于 $x$ 的表达式。然后，我们可以将 $x$ 和 $y$ 的表达式平方后相加，消去 $t$，得到 $x$ 和 $y$ 的关系式。 接下来，我们将直线 $l$ 的极坐标方程转换为直角坐标方程。极坐标方程为： $$ 2 \rho \cos \theta+\sqrt{3} \rho \sin \theta+11=0 $$ 我们知道在极坐标系中，$x = \rho \cos \theta$ 和 $y = \rho \sin \theta$，所以我们可以将 $\rho$ 用 $x$ 和 $y$ 表示出来，然后代入直线的极坐标方程中，得到直线的直角坐标方程。<eoe> 【答案】首先，我们来求曲线 $C$ 的直角坐标方程。由参数方程： $$ \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{4 t}{1+t^{2}} \end{array} \right. $$ 我们可以得到： $$ x + y = \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} + \frac{4t}{1+t^{2}} = \frac{1-t^{2}+4t}{1+t^{2}} = \frac{1+4t-t^{2}}{1+t^{2}} $$ $$ x - y = \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} - \frac{4t}{1+t^{2}} = \frac{1-t^{2}-4t}{1+t^{2}} = \frac{1-4t-t^{2}}{1+t^{2}} $$ 将上述两个等式相加和相减，我们得到： $$ x + y + x - y = 2x = \frac{2}{1+t^{2}} $$ $$ x + y - (x - y) = 2y = \frac{4t}{1+t^{2}} $$ 由此我们可以解出 $t$： $$ t = \frac{y}{x} $$ 将 $t$ 代入 $x$ 的表达式中，我们得到： $$ x = \frac{1 - \left(\frac{y}{x}\right)^2}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} $$ 整理得到曲线 $C$ 的直角坐标方程： $$ x^2 + y^2 = 1 $$ 接下来，我们来求直线 $l$ 的直角坐标方程。由极坐标方程： $$ 2 \rho \cos \theta + \sqrt{3} \rho \sin \theta + 11 = 0 $$ 代入 $x = \rho \cos \theta$ 和 $y = \rho \sin \theta$，我们得到： $$ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 $$ 这就是直线 $l$ 的直角坐标方程。<eoa> (2)【解析】要求曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最小值，我们可以使用点到直线的距离公式。对于直线 $Ax + By + C = 0$ 和点 $(x_0, y_0)$，点到直线的距离公式为： $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$ 在这个问题中，直线 $l$ 的方程为 $2x + \sqrt{3}y + 11 = 0$，我们需要找到曲线 $C$ 上的点 $(x, y)$，使得距离 $d$ 最小。由于曲线 $C$ 是单位圆 $x^2 + y^2 = 1$，我们可以将 $y$ 表达为 $y = \pm\sqrt{1 - x^2}$，然后将这个表达式代入距离公式中，得到关于 $x$ 的函数。这个函数的最小值就是曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的最小距离。<eoe> 【答案】由直线 $l$ 的方程 $2x + \sqrt{3}y + 11 = 0$，我们可以得到点到直线的距离公式： $$ d = \frac{|2x + \sqrt{3}y + 11|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|2x + \sqrt{3}y + 11|}{\sqrt{7}} $$ 由于曲线 $C$ 是单位圆 $x^2 + y^2 = 1$，我们可以将 $y$ 表达为 $y = \pm\sqrt{1 - x^2}$。将 $y$ 的表达式代入距离公式中，我们得到： $$ d = \frac{|2x + \sqrt{3}\sqrt{1 - x^2} + 11|}{\sqrt{7}} $$ 为了找到最小值，我们需要考虑 $y$ 的两个可能的符号。但是，由于直线 $l$ 的斜率为负（$-\frac{2}{\sqrt{3}}$），直线在第二象限和第四象限与单位圆相交。因此，我们只需要考虑 $y = \sqrt{1 - x^2}$ 的情况，因为这是第二象限和第四象限的情况。 现在，我们只需要找到函数 $f(x) = |2x + \sqrt{3}\sqrt{1 - x^2} + 11|$ 的最小值。注意到 $f(x)$ 是绝对值函数，我们需要找到 $2x + \sqrt{3}\sqrt{1 - x^2} + 11$ 的最小值，然后除以 $\sqrt{7}$。 为了找到 $2x + \sqrt{3}\sqrt{1 - x^2} + 11$ 的最小值，我们可以考虑其导数。但是，由于绝对值的存在，我们需要分段考虑。在 $x$ 的定义域 $[-1, 1]$ 内，我们可以找到使得 $2x + \sqrt{3}\sqrt{1 - x^2} + 11$ 取得最小值的点。这个点可以通过求导数并令其为零来找到，或者通过观察函数的对称性和单调性来确定。 由于 $2x + \sqrt{3}\sqrt{1 - x^2} + 11$ 是一个连续函数，且在 $x = -1$ 和 $x = 1$ 时函数值为正（因为 $\sqrt{1 - x^2}$ 在 $x = -1$ 和 $x = 1$ 时为零），我们可以推断出函数在 $x = -1$ 和 $x = 1$ 之间至少有一个最小值点。我们可以通过求导数来找到这个点。 求导数： $$ f'(x) = 2 - \frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{1 - x^2}} $$ 令 $f'(x) = 0$，解得： $$ 2 - \frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 $$ $$ 2\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{3}x $$ $$ 4(1 - x^2) = 3x^2 $$ $$ 4 - 4x^2 = 3x^2 $$ $$ 7x^2 = 4 $$ $$ x^2 = \frac{4}{7} $$ $$ x = \pm\sqrt{\frac{4}{7}} $$ 由于我们在第二象限和第四象限寻找最小值，我们取 $x = -\sqrt{\frac{4}{7}}$。 现在我们可以计算最小距离： $$ d_{\text{min}} = \frac{|2(-\sqrt{\frac{4}{7}}) + \sqrt{3}\sqrt{1 - (-\sqrt{\frac{4}{7}})^2} + 11|}{\sqrt{7}} $$ $$ d_{\text{min}} = \frac{|-\frac{8}{\sqrt{7}} + \sqrt{3}\sqrt{1 - \frac{4}{7}} + 11|}{\sqrt{7}} $$ $$ d_{\text{min}} = \frac{|-\frac{8}{\sqrt{7}} + \sqrt{3}\sqrt{\frac{3}{7}} + 11|}{\sqrt{7}} $$ $$ d_{ |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\min }=\sqrt{7}$ |
| kimi | (1)【解析】首先，我们需要将曲线C的参数方程转换为直角坐标方程。给定的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{4 t}{1+t^{2}} \end{array} \right. \] 我们可以消去参数t，通过将两个方程相乘得到： \[ x(1+t^2) = 1 - t^2 \quad \text{和} \quad y(1+t^2) = 4t \] 将第一个方程乘以4，第二个方程乘以1，然后相减，得到： \[ 4x - y = 4 \] 这就是曲线C的直角坐标方程。 接下来，我们需要将直线l的极坐标方程转换为直角坐标方程。给定的极坐标方程为： \[ 2 \rho \cos \theta + \sqrt{3} \rho \sin \theta + 11 = 0 \] 我们知道极坐标和直角坐标的关系是： \[ \rho \cos \theta = x, \quad \rho \sin \theta = y, \quad \rho^2 = x^2 + y^2 \] 将这些关系代入直线l的极坐标方程，我们得到： \[ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \] 这就是直线l的直角坐标方程。 <eoe> 【答案】 曲线C的直角坐标方程为：\[4x - y = 4\] 直线l的直角坐标方程为：\[2x + \sqrt{3}y + 11 = 0\]<eoa> (2)【解析】为了找到曲线C上的点到直线l的最小距离，我们可以使用点到直线的距离公式。首先，我们需要找到曲线C上的点的坐标。我们可以将参数方程中的t表示为x和y的函数： \[ t = \frac{y}{4} \quad \text{和} \quad t^2 = \frac{1 - x}{1 + x} \] 将t代入y的表达式，得到： \[ y = \frac{4t}{1 + t^2} = \frac{4 \cdot \frac{y}{4}}{1 + \frac{1 - x}{1 + x}} = \frac{y(1 + x)}{x + 2} \] 解这个方程，我们可以得到y关于x的表达式： \[ y^2 = \frac{4x}{3}(1 + x) \] 现在，我们可以使用点到直线的距离公式： \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] 其中(A, B, C)是直线l的系数，(x0, y0)是曲线C上的点的坐标。将直线l的方程代入，我们得到： \[ d = \frac{|2x + \sqrt{3}y + 11|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|2x + \sqrt{3}y + 11|}{\sqrt{7}} \] 将y的表达式代入，我们得到： \[ d = \frac{|2x + \sqrt{3} \cdot \frac{4x}{3}(1 + x) + 11|}{\sqrt{7}} = \frac{|2x + \frac{4x}{3} + \frac{4x^2}{3} + 11|}{\sqrt{7}} \] 为了找到最小距离，我们需要找到这个表达式的最小值。这通常涉及到求导并找到临界点，但在这个情况下，我们可以通过观察发现，当x = -1时，表达式中的x项将被最小化，因为x^2项总是非负的。 <eoe> 【答案】 曲线C上的点到直线l的最小距离为： \[ d_{\text{min}} = \frac{|2(-1) + \frac{4(-1)}{3} + \frac{4(-1)^2}{3} + 11|}{\sqrt{7}} = \frac{|-2 - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + 11|}{\sqrt{7}} = \frac{9}{\sqrt{7}} = \frac{9\sqrt{7}}{7} \]<eoa> |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\min }=\sqrt{7}$ |
| wenxinyiyan | (1)【解析】 首先，我们根据曲线C的参数方程$x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$，$y=\frac{4t}{1+t^{2}}$，将这两个方程平方并相加，得到$x^2+y^2=\frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}+\frac{16t^2}{(1+t^2)^2}=\frac{1+2t^2+t^4+16t^2}{1+2t^2+t^4}=1$，所以曲线C的直角坐标方程为$x^2+y^2=1$。 然后，我们将直线$l$的极坐标方程$2\rho\cos\theta+\sqrt{3}\rho\sin\theta+11=0$转化为直角坐标方程。根据极坐标和直角坐标的转换公式$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$，$\cos\theta=\frac{x}{\rho}$，$\sin\theta=\frac{y}{\rho}$，代入得到$2x+\sqrt{3}y+11=0$。 【答案】 曲线C的直角坐标方程为$x^2+y^2=1$，直线$l$的直角坐标方程为$2x+\sqrt{3}y+11=0$。 (2)【解析】 首先，我们在曲线C上任取一点P，其坐标为$\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{4t}{1+t^2}\right)$。然后，我们利用点到直线的距离公式$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，将点P的坐标代入直线$l$的方程$2x+\sqrt{3}y+11=0$，得到点P到直线$l$的距离$d=\frac{\left|2\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}+\sqrt{3}\cdot\frac{4t}{1+t^2}+11\right|}{\sqrt{2^2+(\sqrt{3})^2}}=\frac{\left|2\cdot(1-t^2)+\sqrt{3}\cdot4t+11\cdot(1+t^2)\right|}{\sqrt{4+3}}=\frac{\left|9+9t^2+4\sqrt{3}t\right|}{\sqrt{7}}$。 最后，我们利用配方法，将上述表达式转化为$\frac{\left|9+(2\sqrt{3}t)^2+2\cdot2\sqrt{3}t\right|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|9+(2\sqrt{3}t+1)^2-1\right|}{\sqrt{7}}$，由于平方项$(2\sqrt{3}t+1)^2$的最小值为0，所以$d$的最小值为$\frac{|9-1|}{\sqrt{7}}=\frac{8}{\sqrt{7}}=\frac{8\sqrt{7}}{7}$。 【答案】 曲线C上的点到直线$l$距离的最小值为$\frac{8\sqrt{7}}{7}$。 |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\min }=\sqrt{7}$ |
| zhipu | (1)【解析】 首先，求曲线 \(C\) 的直角坐标方程。已知参数方程为： \[ \left\{\begin{array}{l} x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{4t}{1+t^{2}} \end{array}\right. \] 我们尝试消去参数 \(t\)。注意到： \[ x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \implies 1 - t^2 = x(1 + t^2) \implies 1 - t^2 = x + xt^2 \] 整理得到： \[ 1 - x = t^2(1 + x) \] 从而： \[ t^2 = \frac{1 - x}{1 + x} \] 再来看 \(y\) 的方程： \[ y = \frac{4t}{1 + t^2} \] 将 \(t^2\) 代入： \[ t = \pm \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} \] 于是： \[ y = \frac{4 \left( \pm \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} \right)}{1 + \frac{1 - x}{1 + x}} = \frac{4 \left( \pm \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} \right)}{\frac{2}{1 + x}} = 2(1 + x) \left( \pm \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} \right) \] \[ y^2 = 4(1 + x)^2 \cdot \frac{1 - x}{1 + x} = 4(1 - x^2) \] 所以曲线 \(C\) 的直角坐标方程为： \[ x^2 + \frac{y^2}{4} = 1 \] 接下来，求直线 \(l\) 的直角坐标方程。已知极坐标方程为： \[ 2 \rho \cos \theta + \sqrt{3} \rho \sin \theta + 11 = 0 \] 利用极坐标与直角坐标的转换关系： \[ \rho \cos \theta = x, \quad \rho \sin \theta = y \] 代入极坐标方程得到： \[ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \] 所以直线 \(l\) 的直角坐标方程为： \[ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \] <eoe> 【答案】 曲线 \(C\) 的直角坐标方程为 \(x^2 + \frac{y^2}{4} = 1\)。 直线 \(l\) 的直角坐标方程为 \(2x + \sqrt{3}y + 11 = 0\)。<eoa> (2)【解析】 求曲线 \(C\) 上的点到直线 \(l\) 的距离的最小值。首先，曲线 \(C\) 上任意一点可以表示为 \((x, y) = \left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{4t}{1 + t^2} \right)\)。 点到直线 \(2x + \sqrt{3}y + 11 = 0\) 的距离公式为： \[ d = \frac{|2x + \sqrt{3}y + 11|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|2x + \sqrt{3}y + 11|}{\sqrt{7}} \] 将 \((x, y)\) 代入： \[ d = \frac{\left| 2 \cdot \frac{1 - t^2}{1 + t^2} + \sqrt{3} \cdot \frac{4t}{1 + t^2} + 11 \right|}{\sqrt{7}} = \frac{\left| \frac{2(1 - t^2) + 4\sqrt{3}t + 11(1 + t^2)}{1 + t^2} \right|}{\sqrt{7}} \] \[ = \frac{\left| \frac{2 - 2t^2 + 4\sqrt{3}t + 11 + 11t^2}{1 + t^2} \right|}{\sqrt{7}} = \frac{\left| \frac{13 + 9t^2 + 4\sqrt{3}t}{1 + t^2} \right|}{\sqrt{7}} \] 令分子 \(f(t) = 13 + 9t^2 + 4\sqrt{3}t\)，求其最小值： \[ f'(t) = 18t + 4\sqrt{3} = 0 \implies t = -\frac{2\sqrt{3}}{9} \] 将 \(t = -\frac{2\sqrt{3}}{9}\) 代入 \(f(t)\)： \[ f\left(-\frac{2\sqrt{3}}{9}\right) = 13 + 9\left(-\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)^2 + 4\sqrt{3}\left(-\frac{2\sqrt{3}}{9}\right) \] \[ = 13 + 9 \cdot \frac{12}{81} - \frac{24}{9} = 13 + \frac{4}{3} - \frac{8}{3} = 13 - \frac{4}{3} = \frac{35}{3} \] 于是最小距离为： \[ d_{\min} = \frac{\left| \frac{\frac{35}{3}}{1 + \left(-\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)^2} \right|}{\sqrt{7}} = \frac{\left| \frac{\frac{35}{3}}{1 + \frac{12}{81}} \right|}{\sqrt{7}} = \frac{\left| \frac{\frac{35}{3}}{\frac{93}{81}} \right|}{\sqrt{7}} = \frac{\left| \frac{35 \cdot 81}{3 \cdot 93} \right|}{\sqrt{7}} \] \[ = \frac{\left| \frac{35 \cdot 27}{93} \right|}{\sqrt{7}} = \frac{35 \cdot 27}{93 \sqrt{7}} = \frac{35 \cdot 9}{31 \sqrt{7}} = \frac{315}{31 \sqrt{7}} = \frac{105}{\sqrt{7}} = 15 \] <eoe> 【答案】 曲线 \(C\) 上的点到直线 \(l\) 的距离的最小值为 15。<eoa> |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\min }=\sqrt{7}$ |
| gpto1 | **(1)【解析】** 首先，求曲线 \( C \) 的直角坐标方程。 给定参数方程： \[ \begin{cases} x = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \\ y = \dfrac{4t}{1 + t^2}. \end{cases} \] 观察到 \( x \) 与 \( t \) 的关系，可以考虑将 \( t \) 替换为三角函数的形式。 令 \( t = \tan \alpha \)，则有： \[ x = \dfrac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \cos 2\alpha, \\ y = \dfrac{4 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = 2 \sin 2\alpha. \] 因此， \[ x = \cos 2\alpha, \quad y = 2 \sin 2\alpha. \] 于是， \[ x^2 + \left( \dfrac{y}{2} \right)^2 = \cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha = 1. \] 所以，曲线 \( C \) 的直角坐标方程为： \[ x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1. \] 接下来，求直线 \( l \) 的直角坐标方程。 给定极坐标方程： \[ 2 \rho \cos \theta + \sqrt{3} \rho \sin \theta + 11 = 0. \] 利用极坐标与直角坐标的关系： \[ \rho \cos \theta = x, \quad \rho \sin \theta = y. \] 代入得到： \[ 2x + \sqrt{3} y + 11 = 0. \] 因此，直线 \( l \) 的直角坐标方程为： \[ 2x + \sqrt{3} y + 11 = 0. \] **(2)【解析】** 要求曲线 \( C \) 上的点到直线 \( l \) 的距离的最小值。 首先，点 \( (x, y) \) 到直线 \( 2x + \sqrt{3} y + 11 = 0 \) 的距离公式为： \[ d = \dfrac{|2x + \sqrt{3} y + 11|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \dfrac{|2x + \sqrt{3} y + 11|}{\sqrt{7}}. \] 我们的目标是最小化 \( |2x + \sqrt{3} y + 11| \)，其中 \( (x, y) \) 满足 \( x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1 \)。 建立拉格朗日函数： \[ L(x, y, \lambda) = 2x + \sqrt{3} y + 11 - \lambda \left( x^2 + \dfrac{y^2}{4} - 1 \right). \] 求偏导数： \[ \begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x} = 2 - 2\lambda x = 0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial y} = \sqrt{3} - \dfrac{\lambda y}{2} = 0 \\ x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1 \end{cases} \] 解出： \[ x = \dfrac{1}{\lambda}, \quad y = \dfrac{2\sqrt{3}}{\lambda}. \] 将 \( x \) 和 \( y \) 代入约束条件： \[ \left( \dfrac{1}{\lambda} \right)^2 + \dfrac{\left( \dfrac{2\sqrt{3}}{\lambda} \right)^2}{4} = 1 \\ \Rightarrow \dfrac{1}{\lambda^2} + \dfrac{3}{\lambda^2} = 1 \\ \Rightarrow \dfrac{4}{\lambda^2} = 1 \\ \Rightarrow \lambda = \pm 2. \] 当 \( \lambda = 2 \) 时： \[ x = \dfrac{1}{2}, \quad y = \sqrt{3}. \] 计算此时的距离： \[ |2x + \sqrt{3} y + 11| = |2 \times \dfrac{1}{2} + \sqrt{3} \times \sqrt{3} + 11| = |1 + 3 + 11| = 15. \] 当 \( \lambda = -2 \) 时： \[ x = -\dfrac{1}{2}, \quad y = -\sqrt{3}. \] 计算此时的距离： \[ |2x + \sqrt{3} y + 11| = |2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) + \sqrt{3} \times (-\sqrt{3}) + 11| = |-1 - 3 + 11| = 7. \] 因此，最小距离为： \[ d_{\text{min}} = \dfrac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}. \] <eoe> 【答案】 (1) 曲线 \( C \) 的直角坐标方程为 \( x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1 \)； 直线 \( l \) 的直角坐标方程为 \( 2x + \sqrt{3} y + 11 = 0 \)。 (2) 曲线 \( C \) 上的点到直线 \( l \) 的距离的最小值为 \( \sqrt{7} \)。 <eoa> |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\min }=\sqrt{7}$ |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-f6c084d1-b54d-94ff-8f73-9fe69685e52d', 'request_id': 'f6c084d1-b54d-94ff-8f73-9fe69685e52d'} | 【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\min }=\sqrt{7}$ |