| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们需要证明数列 \(\{a_n + b_n\}\) 是等比数列。根据题目给出的递推关系式： \[ 4a_{n+1} = 3a_n - b_n + 4 \] \[ 4b_{n+1} = 3b_n - a_n - 4 \] 我们将这两个式子相加： \[ 4a_{n+1} + 4b_{n+1} = (3a_n - b_n + 4) + (3b_n - a_n - 4) \] \[ 4(a_{n+1} + b_{n+1}) = 2a_n + 2b_n \] \[ a_{n+1} + b_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + b_n) \] 由此可见，数列 \(\{a_n + b_n\}\) 满足等比数列的递推关系： \[ a_{n+1} + b_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + b_n) \] 接下来，我们需要证明数列 \(\{a_n - b_n\}\) 是等差数列。我们将两个递推关系式相减： \[ 4a_{n+1} - 4b_{n+1} = (3a_n - b_n + 4) - (3b_n - a_n - 4) \] \[ 4(a_{n+1} - b_{n+1}) = 4a_n - 4b_n + 8 \] \[ a_{n+1} - b_{n+1} = a_n - b_n + 2 \] 由此可见，数列 \(\{a_n - b_n\}\) 满足等差数列的递推关系： \[ a_{n+1} - b_{n+1} = a_n - b_n + 2 \] <eoe> 【答案】数列 \(\{a_n + b_n\}\) 是等比数列，数列 \(\{a_n - b_n\}\) 是等差数列。<eoa> (2)【解析】 我们已经知道数列 \(\{a_n + b_n\}\) 是等比数列，且其公比为 \(\frac{1}{2}\)。设 \(a_n + b_n = c_n\)，则有： \[ c_{n+1} = \frac{1}{2}c_n \] 初始条件为 \(a_1 = 1\) 和 \(b_1 = 0\)，所以： \[ c_1 = a_1 + b_1 = 1 \] 因此，数列 \(\{c_n\}\) 的通项公式为： \[ c_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] 接下来，我们知道数列 \(\{a_n - b_n\}\) 是等差数列，且其公差为 2。设 \(a_n - b_n = d_n\)，则有： \[ d_{n+1} = d_n + 2 \] 初始条件为 \(a_1 = 1\) 和 \(b_1 = 0\)，所以： \[ d_1 = a_1 - b_1 = 1 \] 因此，数列 \(\{d_n\}\) 的通项公式为： \[ d_n = 1 + 2(n-1) = 2n - 1 \] 现在我们有： \[ a_n + b_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] \[ a_n - b_n = 2n - 1 \] 我们可以通过解这两个方程组来求出 \(a_n\) 和 \(b_n\) 的通项公式： \[ a_n = \frac{(a_n + b_n) + (a_n - b_n)}{2} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + (2n - 1)}{2} \] \[ b_n = \frac{(a_n + b_n) - (a_n - b_n)}{2} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - (2n - 1)}{2} \] <eoe> 【答案】数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\) 的通项公式分别为： \[ a_n = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + (2n - 1)}{2} \] \[ b_n = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - (2n - 1)}{2} \] <eoa> |
【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$ (2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。 |
| deepseekr1 | (1)【解析】 首先将给定的递推式相加： \[ 4a_{n+1} +4b_{n+1} = 3a_n -b_n +4 +3b_n -a_n -4 = 2(a_n +b_n) \] 化简得： \[ a_{n+1} +b_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n +b_n) \] 首项为 \(a_1 + b_1 =1\)，故 \(\{a_n +b_n\}\) 是公比为 \(\frac{1}{2}\) 的等比数列。 再将递推式相减： \[ 4a_{n+1} -4b_{n+1} =3a_n -b_n +4 - (3b_n -a_n -4) =4(a_n -b_n) +8 \] 化简得： \[ a_{n+1} -b_{n+1} = (a_n -b_n) +2 \] 首项为 \(a_1 -b_1 =1\)，公差为2，故 \(\{a_n -b_n\}\) 是等差数列。<eoe> 【答案】 (1) 证明：由递推式相加得 \(a_{n+1} +b_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n +b_n)\)，首项为1，故为等比数列；由递推式相减得 \(a_{n+1} -b_{n+1} = (a_n -b_n) +2\)，首项为1，公差2，故为等差数列。<eoa> (2)【解析】 由（1）知： \[ a_n +b_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, \quad a_n -b_n =2n -1 \] 联立解得： \[ a_n = \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} +2n -1\right], \quad b_n = \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} -2n +1\right] \] 化简后： \[ a_n = 2^{-n} +n -\frac{1}{2}, \quad b_n =2^{-n} -n +\frac{1}{2} \]<eoe> 【答案】 (2) 通项公式为： \[ a_n = \frac{1}{2^n} +n -\frac{1}{2}, \quad b_n = \frac{1}{2^n} -n +\frac{1}{2} \] <eoa> |
【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$ (2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。 |
| gpto1 | 19. (1)【解析】 已知数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\) 满足递推关系： \[ \begin{cases} 4a_{n+1} = 3a_n - b_n + 4 \quad (1) \\ 4b_{n+1} = 3b_n - a_n - 4 \quad (2) \end{cases} \] 令 \(s_n = a_n + b_n\)，\(d_n = a_n - b_n\)。 **证明 \(\{s_n\}\) 为等比数列：** 将 (1) 与 (2) 式相加： \[ \begin{aligned} 4a_{n+1} + 4b_{n+1} &= (3a_n - b_n + 4) + (3b_n - a_n - 4) \\ 4(a_{n+1} + b_{n+1}) &= (3a_n - b_n + 4) + (3b_n - a_n - 4) \\ &= (3a_n - a_n) + (3b_n - b_n) + (4 - 4) \\ &= 2a_n + 2b_n \\ &= 2(a_n + b_n) \end{aligned} \] 因此： \[ 4s_{n+1} = 2s_n \implies s_{n+1} = \dfrac{1}{2}s_n \] 所以，\(\{s_n\}\) 为公比为 \(\dfrac{1}{2}\) 的等比数列。 **证明 \(\{d_n\}\) 为等差数列：** 将 (1) 式减去 (2) 式： \[ \begin{aligned} 4a_{n+1} - 4b_{n+1} &= (3a_n - b_n + 4) - (3b_n - a_n - 4) \\ 4(a_{n+1} - b_{n+1}) &= (3a_n - b_n + 4) - 3b_n + a_n + 4 \\ &= (3a_n + a_n) + (-b_n - 3b_n) + (4 + 4) \\ &= 4a_n - 4b_n + 8 \\ &= 4(a_n - b_n) + 8 \end{aligned} \] 因此： \[ 4d_{n+1} = 4d_n + 8 \implies d_{n+1} = d_n + 2 \] 所以，\(\{d_n\}\) 为公差为 2 的等差数列。 <eoe> 【答案】 (1) 证明得：\(\{a_n + b_n\}\) 为公比为 \(\dfrac{1}{2}\) 的等比数列，\(\{a_n - b_n\}\) 为公差为 2 的等差数列。 <eoa> (2)【解析** **求 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\) 的通项公式：** 已知： \[ \begin{cases} s_n = a_n + b_n = s_1 \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} \\ d_n = a_n - b_n = d_1 + (n - 1) \times 2 \end{cases} \] 因为 \(a_1 = 1\)，\(b_1 = 0\)，所以： \[ s_1 = a_1 + b_1 = 1 + 0 = 1 \\ d_1 = a_1 - b_1 = 1 - 0 = 1 \] 因此： \[ \begin{cases} s_n = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} \\ d_n = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1 \end{cases} \] 解方程组： \[ \begin{cases} a_n + b_n = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} \\ a_n - b_n = 2n - 1 \end{cases} \] 将两式相加： \[ 2a_n = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} + (2n - 1) \implies a_n = \dfrac{ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} + 2n - 1 }{2} \] 将两式相减： \[ 2b_n = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} - (2n - 1) \implies b_n = \dfrac{ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} - (2n - 1) }{2} \] <eoe> 【答案】 (2) 数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为： \[ a_n = \dfrac{ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} + 2n - 1 }{2} \] 数列 \(\{b_n\}\) 的通项公式为： \[ b_n = \dfrac{ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} - (2n - 1) }{2} \] <eoa> |
【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$ (2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。 |
| GPT-4o | (1)【解析】 我们首先证明数列 \(\left\{ a_n + b_n \right\}\) 是等比数列。 根据题意，有： \[ 4a_{n+1} = 3a_n - b_n + 4 \] \[ 4b_{n+1} = 3b_n - a_n - 4 \] 两式相加： \[ 4(a_{n+1} + b_{n+1}) = 3(a_n + b_n) \] 令 \( S_n = a_n + b_n \)，则有： \[ 4S_{n+1} = 3S_n \] \[ S_{n+1} = \frac{3}{4} S_n \] 由此可见，\(\left\{ S_n \right\}\) 是公比为 \(\frac{3}{4}\) 的等比数列。 然后我们证明数列 \(\left\{ a_n - b_n \right\}\) 是等差数列。 同样根据题意，有： \[ 4a_{n+1} = 3a_n - b_n + 4 \] \[ 4b_{n+1} = 3b_n - a_n - 4 \] 两式相减： \[ 4(a_{n+1} - b_{n+1}) = 3(a_n - b_n) + 8 \] 令 \( D_n = a_n - b_n \)，则有： \[ 4D_{n+1} = 3D_n + 8 \] \[ D_{n+1} = \frac{3}{4} D_n + 2 \] 由此可见，\(\left\{ D_n \right\}\) 是首项为 \(D_1 = 1\)，公差为 \(\frac{8}{4} = 2\) 的等差数列。 <eoe> 【答案】\(\left\{ a_n + b_n \right\}\) 是公比为 \(\frac{3}{4}\) 的等比数列，\(\left\{ a_n - b_n \right\}\) 是公差为2的等差数列。<eoa> (2)【解析】 我们已经知道： \[ a_n + b_n = S_n = S_1 \left( \frac{3}{4} \right)^{n-1} \] \[ a_n - b_n = D_n = D_1 + (n-1) \cdot 2 \] 已知 \( a_1 = 1 \)，\( b_1 = 0 \)，则： \[ S_1 = a_1 + b_1 = 1 \] \[ D_1 = a_1 - b_1 = 1 \] 所以： \[ S_n = \left( \frac{3}{4} \right)^{n-1} \] \[ D_n = 1 + 2(n-1) = 2n - 1 \] 现在我们可以用 \( S_n \) 和 \( D_n \) 表示 \( a_n \) 和 \( b_n \)： \[ a_n = \frac{S_n + D_n}{2} \] \[ b_n = \frac{S_n - D_n}{2} \] 代入 \( S_n \) 和 \( D_n \) 的表达式： \[ a_n = \frac{\left( \frac{3}{4} \right)^{n-1} + (2n - 1)}{2} \] \[ b_n = \frac{\left( \frac{3}{4} \right)^{n-1} - (2n - 1)}{2} \] <eoe> 【答案】\( a_n = \frac{\left( \frac{3}{4} \right)^{n-1} + (2n - 1)}{2} \)，\( b_n = \frac{\left( \frac{3}{4} \right)^{n-1} - (2n - 1)}{2} \)。<eoa> |
【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$ (2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。 |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】由已知条件,可得a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{3}{4}(a_{n}+b_{n})\therefore\{a_{n}+b_{n}\}是等比数列,且公比为\frac{3}{4}同理可得a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{3}{4}(a_{n}-b_{n})-2\therefore\{a_{n}-b_{n}\}是等差数列,且公差为-2(2)由(1)可得a_{n}+b_{n}=(a_{1}+b_{1})(\frac{3}{4})^{n-1}=1\times(\frac{3}{4})^{n-1}=(\frac{3}{4})^{n-1}a_{n}-b_{n}=(a_{1}-b_{1})+2(1-n)=2-2n\thereforea_{n}=\frac{1}{2}[(\frac{3}{4})^{n-1}+2-2n],b_{n}=\frac{1}{2}[(\frac{3}{4})^{n-1}-2+2n]. 最终结果是a_n=(1/2)*((3/4)^(n-1)+2-2*n);b_n=(1/2)*((3/4)^(n-1)-2+2*n) |
【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$ (2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。 |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)由题意,得\begin{cases}4a_{n+1}=3a_{n}-b_{n}+4\\4b_{n+1}=3b_{n}-a_{n}-4\end{cases}两式相加得4(a_{n+1}+b_{n+1})=3(a_{n}+b_{n}),即a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{3}{4}(a_{n}+b_{n})又a_{1}+b_{1}=1,所以\{a_{n}+b_{n}\}是等比数列,且a_{n}+b_{n}=1\times(\frac{3}{4})^{n-1}=(\frac{3}{4})^{n-1}两式相减得4(a_{n+1}-b_{n+ |
【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$ (2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。 |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 首先，我们需要证明数列 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 是等比数列。我们从给定的递推关系式出发：\n\n\\[ 4a_{n+1} = 3a_{n} - b_{n} + 4 \\]\n\\[ 4b_{n+1} = 3b_{n} - a_{n} - 4 \\]\n\n将这两个方程相加，我们得到：\n\n\\[ 4(a_{n+1} + b_{n+1}) = 3(a_{n} + b_{n}) - (a_{n} + b_{n}) + 4 - 4 \\]\n\\[ 4(a_{n+1} + b_{n+1}) = 2(a_{n} + b_{n}) \\]\n\\[ a_{n+1} + b_{n+1} = \\frac{1}{2}(a_{n} + b_{n}) \\]\n\n这表明数列 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 是一个公比为 $\\frac{1}{2}$ 的等比数列。\n\n接下来，我们需要证明数列 $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 是等差数列。我们从给定的递推关系式出发：\n\n\\[ 4a_{n+1} = 3a_{n} - b_{n} + 4 \\]\n\\[ 4b_{n+1} = 3b_{n} - a_{n} - 4 \\]\n\n将这两个方程相减，我们得到：\n\n\\[ 4(a_{n+1} - b_{n+1}) = 3(a_{n} - b_{n}) - (a_{n} - b_{n}) + 4 + 4 \\]\n\\[ 4(a_{n+1} - b_{n+1}) = 2(a_{n} - b_{n}) + 8 \\]\n\\[ a_{n+1} - b_{n+1} = \\frac{1}{2}(a_{n} - b_{n}) + 2 \\]\n\n这表明数列 $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 是一个公差为 2 的等差数列。\n\n综上所述，数列 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 是等比数列，数列 $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 是等差数列。<eoe>\n\n【答案】数列 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 是等比数列，数列 $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 是等差数列。<eoa>\n\n(2)【解析】 我们已经知道数列 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 是等比数列，公比为 $\\frac{1}{2}$，数列 $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 是等差数列，公差为 2。我们可以利用这些信息来求出 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 和 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的通项公式。\n\n首先，考虑数列 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$。已知 $a_1 + b_1 = 1$，所以：\n\n\\[ a_n + b_n = 1 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1} = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1} \\]\n\n接下来，考虑数列 $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$。已知 $a_1 - b_1 = 1$，所以：\n\n\\[ a_n - b_n = 1 + 2(n-1) = 2n - 1 \\]\n\n现在我们有两个方程：\n\n\\[ a_n + b_n = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1} \\]\n\\[ a_n - b_n = 2n - 1 \\]\n\n我们可以通过解这两个方程来求出 $a_n$ 和 $b_n$。将这两个方程相加和相减，我们得到：\n\n\\[ 2a_n = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1} + 2n - 1 \\]\n\\[ a_n = \\frac{1}{2} \\left(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1} + 2n - 1\\right) \\]\n\n\\[ 2b_n = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1} - (2n - 1) \\]\n\\[ b_n = \\frac{1}{2} \\left(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1} - 2n + 1\\right) \\]\n\n因此，数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 和 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的通项公式分别为：\n\n\\[ a_n = \\frac{1}{2} \\left(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1} + 2n - 1\\right) \\]\n\\[ b_n = \\frac{1}{2} \\left(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1} - 2n + 1\\right) \\]\n\n<eoe>\n\n【答案】数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 和 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的通项公式分别为：\n\n\\[ a_n = \\frac{1}{2} \\left(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1} + 2n - 1\\right) \\]\n\\[ b_n = \\frac{1}{2} \\left(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1} - 2n + 1\\right) \\]\n\n<eoa>" | 【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$ (2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。 |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】\n为了证明 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 是等比数列，我们首先需要找到 $a_{n+1}+b_{n+1}$ 与 $a_{n}+b_{n}$ 之间的关系。同样，为了证明 $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 是等差数列，我们需要找到 $a_{n+1}-b_{n+1}$ 与 $a_{n}-b_{n}$ 之间的关系。\n\\[4a_{n+1}=3a_{n}-b_{n}+4\\]\n\\[4b_{n+1}=3b_{n}-a_{n}-4\\]\n将两个式子相加，得：\n\\[4(a_{n+1}+b_{n+1})=3(a_{n}+b_{n})-(a_{n}-b_{n})\\]\n\\[4(a_{n+1}+b_{n+1})=2(a_{n}+b_{n})\\]\n\\[(a_{n+1}+b_{n+1})=\\frac{1}{2}(a_{n}+b_{n})\\]\n这说明 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 是一个公比为 $\\frac{1}{2}$ 的等比数列。\n\n将两个式子相减，得：\n\\[4(a_{n+1}-b_{n+1})=4(a_{n}-b_{n})+8\\]\n\\[(a_{n+1}-b_{n+1})=(a_{n}-b_{n})+2\\]\n这说明 $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 是一个公差为 $2$ 的等差数列。<eoe>\n\n【答案】\n证明了 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 是公比为 $\\frac{1}{2}$ 的等比数列，$\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 是公差为 $2$ 的等差数列。<eoa>\n\n(2)【解析】\n已知 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 的首项为 $a_{1}+b_{1}=1+0=1$，公比为 $\\frac{1}{2}$，因此 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 的通项公式为：\n\\[a_{n}+b_{n}=1\\cdot\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1}=\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1}\\]\n\n已知 $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 的首项为 $a_{1}-b_{1}=1-0=1$，公差为 $2$，因此 $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 的通项公式为：\n\\[a_{n}-b_{n}=1+(n-1)\\cdot2=2n-1\\]\n\n将上述两个通项公式相加和相减，得到 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 的通项公式：\n\\[2a_{n}=(a_{n}+b_{n})+(a_{n}-b_{n})=\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1}+2n-1\\]\n\\[a_{n}=\\frac{1}{2}\\left(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1}+2n-1\\right)\\]\n\\[2b_{n}=(a_{n}+b_{n})-(a_{n}-b_{n})=\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1}-(2n-1)\\]\n\\[b_{n}=\\frac{1}{2}\\left(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1}-(2n-1)\\right)\\]<eoe>\n\n【答案】\n\\[\\left\\{a_{n}\\right\\}=\\frac{1}{2}\\left(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1}+2n-1\\right)\\]\n\\[\\left\\{b_{n}\\right\\}=\\frac{1}{2}\\left(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1}-(2n-1)\\right)\\]<eoa>" | 【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$ (2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。 |
| baichuan4 | (1)【解析】 首先，我们需要证明数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是等比数列。根据题目中给出的递推关系： $$4a_{n+1} = 3a_{n} - b_{n} + 4$$ $$4b_{n+1} = 3b_{n} - a_{n} - 4$$ 我们将两个等式相加，得到： $$4(a_{n+1} + b_{n+1}) = 3(a_{n} + b_{n})$$ 整理得到： $$\frac{a_{n+1} + b_{n+1}}{a_{n} + b_{n}} = \frac{3}{4}$$ 这表明数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 的相邻两项之比是一个常数 $\frac{3}{4}$，因此 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是一个等比数列，其公比为 $\frac{3}{4}$。 接下来，我们证明数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是等差数列。根据题目中给出的递推关系，我们将两个等式相减，得到： $$4(a_{n+1} - b_{n+1}) = 3(a_{n} - b_{n}) + 8$$ 整理得到： $$a_{n+1} - b_{n+1} = \frac{3}{4}(a_{n} - b_{n}) + 2$$ 这表明数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 的相邻两项之差是一个常数 $2$，因此 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是一个等差数列，其公差为 $2$。 【答案】 数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是等比数列，其公比为 $\frac{3}{4}$；数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是等差数列，其公差为 $2$。 (2)【解析】 由于 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是等比数列，我们可以写出其通项公式： $$a_{n} + b_{n} = (a_{1} + b_{1}) \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$$ 代入 $a_{1} = 1$ 和 $b_{1} = 0$，得到： $$a_{n} + b_{n} = 1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} = \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$$ 由于 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是等差数列，我们可以写出其通项公式： $$a_{n} - b_{n} = (a_{1} - b_{1}) + (n-1)d$$ 代入 $a_{1} = 1$，$b_{1} = 0$ 和 $d = 2$，得到： $$a_{n} - b_{n} = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$$ 现在我们有两个方程： $$a_{n} + b_{n} = \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$$ $$a_{n} - b_{n} = 2n - 1$$ 我们可以将这两个方程相加和相减来分别求出 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 的表达式： $$2a_{n} = \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} + 2n - 1$$ $$a_{n} = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} + 2n - 1\right)$$ $$2b_{n} = \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} - (2n - 1)$$ $$b_{n} = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} - 2n + 1\right)$$ 【答案】 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为： $$a_{n} = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} + 2n - 1\right)$$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为： $$b_{n} = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} - 2n + 1\right)$$ |
【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$ (2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。 |
| doubao | (1)【解析】将已知条件中的两个等式相加可得：$4(a_{n+1}+b_{n+1})=3(a_{n}+b_{n})-(a_{n}+b_{n})+4-4$，即$4(a_{n+1}+b_{n+1})=2(a_{n}+b_{n})$，所以$\frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{a_{n}+b_{n}}=\frac{1}{2}$，又$a_{1}+b_{1}=1+0=1$，所以$\{a_{n}+b_{n}\}$是首项为 1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列。 将已知条件中的两个等式相减可得：$4(a_{n+1}-b_{n+1})=3(a_{n}-b_{n})-(-b_{n}-a_{n})+4+4$，即$4(a_{n+1}-b_{n+1})=4(a_{n}-b_{n})+8$，整理可得$(a_{n+1}-b_{n+1})-(a_{n}-b_{n})=2$，所以$\{a_{n}-b_{n}\}$是首项为$a_{1}-b_{1}=1-0=1$，公差为 2 的等差数列。<eoe> 【答案】证明略。<eoa> (2)【解析】由(1)知，$a_{n}+b_{n}=1\times(\frac{1}{2})^{n-1}=(\frac{1}{2})^{n-1}$，$a_{n}-b_{n}=1+2(n-1)=2n-1$。 将两式相加可得$2a_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}+2n-1$，则$a_{n}=\frac{(\frac{1}{2})^{n-1}+2n-1}{2}$。 将两式相减可得$2b_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}-(2n-1)$，则$b_{n}=\frac{(\frac{1}{2})^{n-1}-(2n-1)}{2}$。<eoe> 【答案】$a_{n}=\frac{(\frac{1}{2})^{n-1}+2n-1}{2}$，$b_{n}=\frac{(\frac{1}{2})^{n-1}-(2n-1)}{2}$。<eoa> |
【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$ (2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。 |
| minimax | (1)【解析】为了证明$\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$是等比数列，我们需要证明存在一个常数$q$，使得对于所有的$n$，都有$(a_{n+1}+b_{n+1})/(a_{n}+b_{n})=q$。同样，为了证明$\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$是等差数列，我们需要证明存在一个常数$d$，使得对于所有的$n$，都有$(a_{n+1}-b_{n+1})-(a_{n}-b_{n})=d$。 首先，我们可以将给定的递推关系式重新组合，以便于我们找到证明所需的等式。我们将两个递推关系式相加和相减，得到新的递推关系式，然后观察这些新关系式是否能够帮助我们证明$\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$和$\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$的性质。<eoe> 【答案】首先，我们将两个递推关系式相加和相减： 相加得到： \[4(a_{n+1}+b_{n+1}) = 3a_{n} - b_{n} + 4 + 3b_{n} - a_{n} - 4\] \[4(a_{n+1}+b_{n+1}) = 2a_{n} + 2b_{n}\] \[a_{n+1}+b_{n+1} = \frac{1}{2}(a_{n}+b_{n})\] 相减得到： \[4(a_{n+1}-b_{n+1}) = 3a_{n} - b_{n} + 4 - (3b_{n} - a_{n} - 4)\] \[4(a_{n+1}-b_{n+1}) = 4a_{n} - 4b_{n}\] \[a_{n+1}-b_{n+1} = a_{n}-b_{n}\] 从上面的推导中，我们可以看到： 对于$\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$，我们有： \[a_{n+1}+b_{n+1} = \frac{1}{2}(a_{n}+b_{n})\] 这表明$\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$是一个等比数列，其公比$q=\frac{1}{2}$。 对于$\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$，我们有： \[a_{n+1}-b_{n+1} = a_{n}-b_{n}\] 这表明$\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$是一个等差数列，其公差$d=0$。 因此，我们证明了$\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$是等比数列，$\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$是等差数列。<eoa> (2)【解析】现在我们已经知道$\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$是等比数列，$\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$是等差数列，我们可以利用这些性质来求解数列$\left\{a_{n}\right\}$和$\left\{b_{n}\right\}$的通项公式。对于等比数列$\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$，我们可以使用等比数列的通项公式来表示$a_{n}+b_{n}$。对于等差数列$\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$，我们可以使用等差数列的通项公式来表示$a_{n}-b_{n}$。然后，我们可以通过解这两个方程来找到$a_{n}$和$b_{n}$的通项公式。<eoe> 【答案】由于$\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$是等比数列，其首项为$a_{1}+b_{1}=1+0=1$，公比为$q=\frac{1}{2}$，所以其通项公式为： \[a_{n}+b_{n} = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\] 由于$\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$是等差数列，其首项为$a_{1}-b_{1}=1-0=1$，公差为$d=0$，所以其通项公式为： \[a_{n}-b_{n} = 1 \cdot (n-1) \cdot 0 + 1 = 1\] 现在我们有两个方程： \[a_{n}+b_{n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\] \[a_{n}-b_{n} = 1\] 我们可以通过解这两个方程来找到$a_{n}$和$b_{n}$的通项公式。将这两个方程相加和相减，我们得到： \[2a_{n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 1\] \[2b_{n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - 1\] 因此，我们可以得到$a_{n}$和$b_{n}$的通项公式： \[a_{n} = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 1\right)\] \[b_{n} = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - 1\right)\] 这就是数列$\left\{a_{n}\right\}$和$\left\{b_{n}\right\}$的通项公式。<eoa> |
【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$ (2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。 |
| kimi | (1)【解析】 首先，我们来证明数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是等比数列。 已知递推关系： \[4a_{n+1} = 3a_{n} - b_{n} + 4\] \[4b_{n+1} = 3b_{n} - a_{n} - 4\] 将两个递推关系相加，得到： \[4(a_{n+1} + b_{n+1}) = 3(a_{n} + b_{n}) - (a_{n} + b_{n})\] 简化得： \[4(a_{n+1} + b_{n+1}) = 2(a_{n} + b_{n})\] 除以4，得到： \[a_{n+1} + b_{n+1} = \frac{1}{2}(a_{n} + b_{n})\] 由于 $a_1 + b_1 = 1 + 0 = 1$，所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 首项为1，公比为 $\frac{1}{2}$，因此它是等比数列。 接下来，我们证明数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是等差数列。 将两个递推关系相减，得到： \[4(a_{n+1} - b_{n+1}) = 3(a_{n} - b_{n}) + 8\] 简化得： \[4(a_{n+1} - b_{n+1}) = 3(a_{n} - b_{n}) + 8\] 除以4，得到： \[a_{n+1} - b_{n+1} = \frac{3}{4}(a_{n} - b_{n}) + 2\] 由于 $a_1 - b_1 = 1 - 0 = 1$，所以数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 首项为1，公差为2，因此它是等差数列。 <eoe> 【答案】 (1) 数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比为 $\frac{1}{2}$；数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是等差数列，公差为2。<eoa> (2)【解析】 根据(1)的结论，我们可以得到： \[a_{n} + b_{n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\] \[a_{n} - b_{n} = 1 + 2(n-1) = 2n - 1\] 将这两个等式相加和相减，我们可以得到： \[2a_{n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 2n - 1\] \[2b_{n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - 2n + 1\] 分别除以2，得到： \[a_{n} = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 2n - 1\)\] \[b_{n} = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - 2n + 1\)\] <eoe> 【答案】 (2) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为： \[a_{n} = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 2n - 1\)\] 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为： \[b_{n} = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - 2n + 1\)\]<eoa> |
【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$ (2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。 |
| wenxinyiyan | (1)【解析】 根据题目给定的递推关系式，我们有： $4a_{n+1} = 3a_{n} - b_{n} + 4$ $4b_{n+1} = 3b_{n} - a_{n} - 4$ 将上述两个等式相加，得到： $4(a_{n+1} + b_{n+1}) = 3(a_{n} + b_{n})$ 这可以化简为： $a_{n+1} + b_{n+1} = \frac{3}{4}(a_{n} + b_{n})$ 由此可以看出，数列$\left\{a_{n} + b_{n}\right\}$是一个等比数列，其首项为$a_{1} + b_{1} = 1$，公比为$\frac{3}{4}$。 再将原递推关系式相减，得到： $4(a_{n+1} - b_{n+1}) = 4(a_{n} - b_{n}) + 8$ 这可以化简为： $a_{n+1} - b_{n+1} = a_{n} - b_{n} + 2$ 由此可以看出，数列$\left\{a_{n} - b_{n}\right\}$是一个等差数列，其首项为$a_{1} - b_{1} = 1$，公差为2。 【答案】 数列$\left\{a_{n} + b_{n}\right\}$是等比数列，首项为1，公比为$\frac{3}{4}$；数列$\left\{a_{n} - b_{n}\right\}$是等差数列，首项为1，公差为2。 (2)【解析】 根据等比数列的通项公式，我们有： $a_{n} + b_{n} = \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$ 根据等差数列的通项公式，我们有： $a_{n} - b_{n} = 2n - 1$ 将上述两个等式相加和相减，分别解得： $2a_{n} = \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} + 2n - 1$ $2b_{n} = \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} - 2n + 1$ 从而得到$a_{n}$和$b_{n}$的通项公式。 【答案】 $a_{n} = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} + n - \frac{1}{2}$ $b_{n} = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} - n + \frac{1}{2}$ |
【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$ (2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。 |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们需要证明数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是等比数列，以及数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是等差数列。 根据已知条件，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足以下递推关系： \[ 4a_{n+1} = 3a_{n} - b_{n} + 4 \] \[ 4b_{n+1} = 3b_{n} - a_{n} - 4 \] 我们先考虑数列 $\left\{a_{n} + b_{n}\right\}$： 将上述两个递推关系式相加，得到： \[ 4a_{n+1} + 4b_{n+1} = (3a_{n} - b_{n} + 4) + (3b_{n} - a_{n} - 4) \] \[ 4(a_{n+1} + b_{n+1}) = 2a_{n} + 2b_{n} \] \[ a_{n+1} + b_{n+1} = \frac{1}{2}(a_{n} + b_{n}) \] 由此可见，数列 $\left\{a_{n} + b_{n}\right\}$ 满足递推关系： \[ a_{n+1} + b_{n+1} = \frac{1}{2}(a_{n} + b_{n}) \] 这是一个等比数列，公比为 $\frac{1}{2}$。 接下来考虑数列 $\left\{a_{n} - b_{n}\right\}$： 将上述两个递推关系式相减，得到： \[ 4a_{n+1} - 4b_{n+1} = (3a_{n} - b_{n} + 4) - (3b_{n} - a_{n} - 4) \] \[ 4(a_{n+1} - b_{n+1}) = 4a_{n} - 4b_{n} + 8 \] \[ a_{n+1} - b_{n+1} = a_{n} - b_{n} + 2 \] 由此可见，数列 $\left\{a_{n} - b_{n}\right\}$ 满足递推关系： \[ a_{n+1} - b_{n+1} = a_{n} - b_{n} + 2 \] 这是一个等差数列，公差为 2。 综上所述，我们证明了 $\left\{a_{n} + b_{n}\right\}$ 是等比数列，$\left\{a_{n} - b_{n}\right\}$ 是等差数列。<eoe> 【答案】 数列 $\left\{a_{n} + b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比为 $\frac{1}{2}$； 数列 $\left\{a_{n} - b_{n}\right\}$ 是等差数列，公差为 2。<eoa> (2)【解析】 接下来，我们求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式。 首先，利用已证明的结论： \[ a_{n} + b_{n} = (a_{1} + b_{1}) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] 由于 $a_{1} = 1$，$b_{1} = 0$，所以 $a_{1} + b_{1} = 1$，因此： \[ a_{n} + b_{n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] 其次，利用已证明的结论： \[ a_{n} - b_{n} = (a_{1} - b_{1}) + 2(n-1) \] 由于 $a_{1} = 1$，$b_{1} = 0$，所以 $a_{1} - b_{1} = 1$，因此： \[ a_{n} - b_{n} = 1 + 2(n-1) = 2n - 1 \] 现在我们有两个方程： \[ a_{n} + b_{n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] \[ a_{n} - b_{n} = 2n - 1 \] 通过解这两个方程组，我们可以得到 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 的通项公式： 将两个方程相加，得到： \[ 2a_{n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + (2n - 1) \] \[ a_{n} = \frac{1}{2} \left[\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 2n - 1\right] \] 将两个方程相减，得到： \[ 2b_{n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - (2n - 1) \] \[ b_{n} = \frac{1}{2} \left[\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - (2n - 1)\right] \] 综上所述，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式分别为：<eoe> 【答案】 \[ a_{n} = \frac{1}{2} \left[\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 2n - 1\right] \] \[ b_{n} = \frac{1}{2} \left[\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - (2n - 1)\right] \]<eoa> |
【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$ (2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。 |
| gpto1 | 19. (1)【解析】 已知数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\) 满足递推关系： \[ \begin{cases} 4a_{n+1} = 3a_n - b_n + 4 \quad (1) \\ 4b_{n+1} = 3b_n - a_n - 4 \quad (2) \end{cases} \] 令 \(s_n = a_n + b_n\)，\(d_n = a_n - b_n\)。 **证明 \(\{s_n\}\) 为等比数列：** 将 (1) 与 (2) 式相加： \[ \begin{aligned} 4a_{n+1} + 4b_{n+1} &= (3a_n - b_n + 4) + (3b_n - a_n - 4) \\ 4(a_{n+1} + b_{n+1}) &= (3a_n - b_n + 4) + (3b_n - a_n - 4) \\ &= (3a_n - a_n) + (3b_n - b_n) + (4 - 4) \\ &= 2a_n + 2b_n \\ &= 2(a_n + b_n) \end{aligned} \] 因此： \[ 4s_{n+1} = 2s_n \implies s_{n+1} = \dfrac{1}{2}s_n \] 所以，\(\{s_n\}\) 为公比为 \(\dfrac{1}{2}\) 的等比数列。 **证明 \(\{d_n\}\) 为等差数列：** 将 (1) 式减去 (2) 式： \[ \begin{aligned} 4a_{n+1} - 4b_{n+1} &= (3a_n - b_n + 4) - (3b_n - a_n - 4) \\ 4(a_{n+1} - b_{n+1}) &= (3a_n - b_n + 4) - 3b_n + a_n + 4 \\ &= (3a_n + a_n) + (-b_n - 3b_n) + (4 + 4) \\ &= 4a_n - 4b_n + 8 \\ &= 4(a_n - b_n) + 8 \end{aligned} \] 因此： \[ 4d_{n+1} = 4d_n + 8 \implies d_{n+1} = d_n + 2 \] 所以，\(\{d_n\}\) 为公差为 2 的等差数列。 <eoe> 【答案】 (1) 证明得：\(\{a_n + b_n\}\) 为公比为 \(\dfrac{1}{2}\) 的等比数列，\(\{a_n - b_n\}\) 为公差为 2 的等差数列。 <eoa> (2)【解析** **求 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\) 的通项公式：** 已知： \[ \begin{cases} s_n = a_n + b_n = s_1 \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} \\ d_n = a_n - b_n = d_1 + (n - 1) \times 2 \end{cases} \] 因为 \(a_1 = 1\)，\(b_1 = 0\)，所以： \[ s_1 = a_1 + b_1 = 1 + 0 = 1 \\ d_1 = a_1 - b_1 = 1 - 0 = 1 \] 因此： \[ \begin{cases} s_n = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} \\ d_n = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1 \end{cases} \] 解方程组： \[ \begin{cases} a_n + b_n = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} \\ a_n - b_n = 2n - 1 \end{cases} \] 将两式相加： \[ 2a_n = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} + (2n - 1) \implies a_n = \dfrac{ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} + 2n - 1 }{2} \] 将两式相减： \[ 2b_n = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} - (2n - 1) \implies b_n = \dfrac{ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} - (2n - 1) }{2} \] <eoe> 【答案】 (2) 数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为： \[ a_n = \dfrac{ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} + 2n - 1 }{2} \] 数列 \(\{b_n\}\) 的通项公式为： \[ b_n = \dfrac{ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} - (2n - 1) }{2} \] <eoa> |
【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$ (2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。 |
| deepseekv3 | (1)【解析】 我们需要证明 $\{a_n + b_n\}$ 是等比数列，$\{a_n - b_n\}$ 是等差数列。 首先，根据题目给出的递推关系： \[ 4a_{n+1} = 3a_n - b_n + 4 \] \[ 4b_{n+1} = 3b_n - a_n - 4 \] 将这两个式子相加： \[ 4a_{n+1} + 4b_{n+1} = 3a_n - b_n + 4 + 3b_n - a_n - 4 \] \[ 4(a_{n+1} + b_{n+1}) = 2a_n + 2b_n \] \[ a_{n+1} + b_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + b_n) \] 这表明 $\{a_n + b_n\}$ 是一个等比数列，公比为 $\frac{1}{2}$。 再将两个递推式相减： \[ 4a_{n+1} - 4b_{n+1} = 3a_n - b_n + 4 - (3b_n - a_n - 4) \] \[ 4(a_{n+1} - b_{n+1}) = 4a_n - 4b_n + 8 \] \[ a_{n+1} - b_{n+1} = a_n - b_n + 2 \] 这表明 $\{a_n - b_n\}$ 是一个等差数列，公差为 2。 <eoe> 【答案】 $\{a_n + b_n\}$ 是等比数列，$\{a_n - b_n\}$ 是等差数列。 <eoa> (2)【解析】 首先，我们根据 (1) 的结论求出 $\{a_n + b_n\}$ 和 $\{a_n - b_n\}$ 的通项公式。 已知 $\{a_n + b_n\}$ 是等比数列，公比为 $\frac{1}{2}$，首项为 $a_1 + b_1 = 1 + 0 = 1$，因此： \[ a_n + b_n = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] $\{a_n - b_n\}$ 是等差数列，公差为 2，首项为 $a_1 - b_1 = 1 - 0 = 1$，因此： \[ a_n - b_n = 1 + 2(n-1) = 2n - 1 \] 接下来，联立这两个方程求解 $a_n$ 和 $b_n$： \[ a_n + b_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] \[ a_n - b_n = 2n - 1 \] 将两式相加： \[ 2a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 2n - 1 \] \[ a_n = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + n - \frac{1}{2} \] 将两式相减： \[ 2b_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - 2n + 1 \] \[ b_n = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - n + \frac{1}{2} \] <eoe> 【答案】 \[ a_n = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + n - \frac{1}{2} \] \[ b_n = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - n + \frac{1}{2} \] <eoa> |
【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$ (2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。 |