| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们根据递推公式计算数列的前几项： \[ a_1 = 3 \] \[ a_2 = 3a_1 - 4 \cdot 1 = 3 \cdot 3 - 4 = 9 - 4 = 5 \] \[ a_3 = 3a_2 - 4 \cdot 2 = 3 \cdot 5 - 8 = 15 - 8 = 7 \] 接下来，我们猜想数列的通项公式。观察到 \(a_1 = 3\), \(a_2 = 5\), \(a_3 = 7\)，可以猜想数列的通项公式为： \[ a_n = 2n + 1 \] 我们用数学归纳法来证明这个猜想。 **基步**：当 \( n = 1 \) 时， \( a_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \)，与已知条件一致。 **归纳假设**：假设对于某个正整数 \( k \)，有 \( a_k = 2k + 1 \) 成立。 **归纳步骤**：证明 \( a_{k+1} = 2(k+1) + 1 \) 成立。 根据递推公式： \[ a_{k+1} = 3a_k - 4k \] 将归纳假设 \( a_k = 2k + 1 \) 代入： \[ a_{k+1} = 3(2k + 1) - 4k = 6k + 3 - 4k = 2k + 3 = 2(k+1) + 1 \] 因此，归纳法证明了数列的通项公式为： \[ a_n = 2n + 1 \] <eoe> 【答案】数列的通项公式为 \( a_n = 2n + 1 \)。<eoa> (2)【解析】 我们要求数列 \(\{2^n a_n\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n\)。 首先，计算 \(2^n a_n\)： \[ 2^n a_n = 2^n (2n + 1) = 2^{n+1} n + 2^n \] 接下来，求前 \(n\) 项和 \(S_n\)： \[ S_n = \sum_{k=1}^n 2^k a_k = \sum_{k=1}^n (2^{k+1} k + 2^k) \] 将和分成两部分： \[ S_n = \sum_{k=1}^n 2^{k+1} k + \sum_{k=1}^n 2^k \] 首先计算 \(\sum_{k=1}^n 2^{k+1} k\)： \[ \sum_{k=1}^n 2^{k+1} k = 2 \sum_{k=1}^n 2^k k \] 我们用分部求和法计算 \(\sum_{k=1}^n 2^k k\)： 设 \( T_n = \sum_{k=1}^n 2^k k \)，则： \[ T_n = 2 \cdot 1 + 2^2 \cdot 2 + 2^3 \cdot 3 + \cdots + 2^n \cdot n \] 考虑 \( 2T_n \)： \[ 2T_n = 2^2 \cdot 1 + 2^3 \cdot 2 + 2^4 \cdot 3 + \cdots + 2^{n+1} \cdot n \] 将 \( T_n \) 和 \( 2T_n \) 相减： \[ 2T_n - T_n = 2^2 \cdot 1 + 2^3 \cdot 2 + 2^4 \cdot 3 + \cdots + 2^{n+1} \cdot n - (2 \cdot 1 + 2^2 \cdot 2 + 2^3 \cdot 3 + \cdots + 2^n \cdot n) \] \[ T_n = 2^{n+1} n - \sum_{k=1}^n 2^k \] 其中，\(\sum_{k=1}^n 2^k\) 是等比数列的和： \[ \sum_{k=1}^n 2^k = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2 \] 因此： \[ T_n = 2^{n+1} n - (2^{n+1} - 2) = 2^{n+1} n - 2^{n+1} + 2 = 2^{n+1} (n - 1) + 2 \] 所以： \[ \sum_{k=1}^n 2^{k+1} k = 2T_n = 2(2^{n+1} (n - 1) + 2) = 2^{n+2} (n - 1) + 4 \] 接下来计算 \(\sum_{k=1}^n 2^k\)： \[ \sum_{k=1}^n 2^k = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2 \] 因此，前 \(n\) 项和 \(S_n\) 为： \[ S_n = 2^{n+2} (n - 1) + 4 + 2^{n+1} - 2 = 2^{n+2} n - 2^{n+2} + 4 + 2^{n+1} - 2 \] \[ S_n = 2^{n+2} n - 2^{n+2} + 2^{n+1} + 2 \] <eoe> 【答案】数列 \(\{2^n a_n\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n\) 为 \( S_n = 2^{n+2} n - 2^{n+2} + 2^{n+1} + 2 \)。<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可; （2）由错位相减法求解即可. 【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立; 假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立. 那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立. 则对任意的 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立; (2) 由 (1) 可知, $a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$ $S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}$, (1) $2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ 由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2$, 即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 首先计算a₂和a₃： - a₂ = 3a₁ − 4×1 = 3×3 − 4 = 5。 - a₃ = 3a₂ − 4×2 = 3×5 − 8 = 7。 观察a₁=3，a₂=5，a₃=7，猜测通项公式为aₙ=2n+1。用数学归纳法证明： - 基例：n=1时，a₁=3=2×1+1，成立。 - 归纳假设：假设n=k时，aₖ=2k+1成立。 - 递推：aₖ₊₁=3aₖ−4k=3(2k+1)−4k=2k+3=2(k+1)+1，成立。故通项公式成立。 <eoe> 【答案】 (1) a₂=5，a₃=7；通项公式为aₙ=2n+1，证明见解析。 <eoa> (2)【解析】 数列{2ⁿaₙ}的通项为2ⁿ(2n+1)。前n项和Sₙ=Σₖ₌₁ⁿ2ᵏ(2k+1)。将其拆分为： Sₙ = 2Σₖ₌₁ⁿk·2ᵏ + Σₖ₌₁ⁿ2ᵏ。 - Σ2ᵏ（等比数列）：和为2(2ⁿ−1)=2ⁿ⁺¹−2。 - Σk·2ᵏ利用公式得：2(1−(n+1)2ⁿ+n2ⁿ⁺¹)=2(n−1)2ⁿ+2。 代入得： Sₙ = 2[2(n−1)2ⁿ+2] + (2ⁿ⁺¹−2) = (2n−1)2ⁿ⁺¹+2。 <eoe> 【答案】 (2) Sₙ = (2n−1)2ⁿ⁺¹ + 2。 <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可; （2）由错位相减法求解即可. 【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立; 假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立. 那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立. 则对任意的 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立; (2) 由 (1) 可知, $a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$ $S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}$, (1) $2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ 由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2$, 即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$. |
| gpto1 | (1)【解析】 根据递推关系式 $a_{n+1} = 3 a_n - 4 n$，且已知 $a_1 = 3$。 计算 $a_2$： \[ a_2 = 3 a_1 - 4 \times 1 = 3 \times 3 - 4 = 9 - 4 = 5 \] 计算 $a_3$： \[ a_3 = 3 a_2 - 4 \times 2 = 3 \times 5 - 8 = 15 - 8 = 7 \] 观察前三项： \[ a_1 = 3 = 2 \times 1 + 1 \\ a_2 = 5 = 2 \times 2 + 1 \\ a_3 = 7 = 2 \times 3 + 1 \] 由此猜想数列的通项公式为： \[ a_n = 2 n + 1 \] **证明：** **（数学归纳法）** 1. **当 $n=1$ 时：** \[ a_1 = 2 \times 1 + 1 = 3 \] 与已知 $a_1 = 3$ 符合。 2. **假设当 $n=k$ 时，$a_k = 2k + 1$ 成立。** 3. **当 $n=k+1$ 时：** \[ \begin{aligned} a_{k+1} &= 3 a_k - 4 k \\ &= 3 (2k + 1) - 4 k \quad (\text{根据归纳假设})\\ &= 6k + 3 - 4k \\ &= 2k + 3 \\ &= 2(k + 1) + 1 \end{aligned} \] 因此，$a_{k+1} = 2(k + 1) + 1$，即结论对 $n = k + 1$ 也成立。 4. **结论：** 由数学归纳法知，$a_n = 2 n + 1$ 对一切正整数 $n$ 均成立。 <eoe> 【答案】 (1) $a_2 = 5$，$a_3 = 7$。 数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = 2 n + 1$。 <eoa> (2)【解析】 已知 $a_n = 2 n + 1$，求数列 $\{2^{n} a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$： 首先，计算一般项： \[ 2^{n} a_n = 2^{n} (2 n + 1) = 2^{n} \times 2 n + 2^{n} \times 1 = 2^{n+1} n + 2^{n} \] 因此，前 $n$ 项和为： \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^{k} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2^{k+1} k + 2^{k}) \] 将和拆分为两部分： \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} k + \sum_{k=1}^{n} 2^{k} \] **计算 $\sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} k$：** 设 $S_1 = \sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} k$ 注意到： \[ S_1 = 2 \sum_{k=1}^{n} 2^{k} k \] 计算 $\sum_{k=1}^{n} 2^{k} k$： 利用等比级数求和公式的变形，结合求导，可以得到： \[ \sum_{k=1}^{n} k 2^{k} = 2^{n+1} (n - 1) + 2 \] 证明如下： 考虑函数： \[ S(x) = \sum_{k=1}^{n} x^{k} = \frac{x(x^{n} - 1)}{x - 1} \] 对 $x$ 求导： \[ S'(x) = \sum_{k=1}^{n} k x^{k-1} = \frac{(x - 1)x^{n} n - x^{n} + 1}{(x - 1)^{2}} \] 代入 $x = 2$，得到： \[ \sum_{k=1}^{n} k 2^{k-1} = \frac{(2 - 1) 2^{n} n - 2^{n} + 1}{(2 - 1)^{2}} = 2^{n} n - 2^{n} + 1 \] 因此： \[ \sum_{k=1}^{n} k 2^{k} = 2 \left(2^{n} n - 2^{n} + 1\right) = 2^{n+1} n - 2^{n+1} + 2 \] 所以： \[ S_1 = 2 \sum_{k=1}^{n} 2^{k} k = 2 \left(2^{n+1} n - 2^{n+1} + 2\right) = 2^{n+2} n - 2^{n+2} + 4 \] **计算 $\sum_{k=1}^{n} 2^{k}$：** 这是一个等比数列的前 $n$ 项和： \[ S_2 = \sum_{k=1}^{n} 2^{k} = 2^{n+1} - 2 \] **求总和 $S_n$：** \[ \begin{aligned} S_n &= S_1 + S_2 \\ &= \left(2^{n+2} n - 2^{n+2} + 4\right) + \left(2^{n+1} - 2\right) \\ &= 2^{n+2} n - 2^{n+2} + 2^{n+1} + 4 - 2 \\ &= 2^{n+2} n - 2^{n+2} + 2^{n+1} + 2 \end{aligned} \] 合并同类项： 将 $-2^{n+2} + 2^{n+1}$ 合并： \[ -2^{n+2} + 2^{n+1} = -4 \times 2^{n} + 2 \times 2^{n} = -2^{n} (4 - 2) = -2^{n} \times 2 = -2^{n+1} \] 所以： \[ S_n = 2^{n+2} n - 2^{n+1} + 2 \] 提取 2 的公因数： \[ S_n = 2^{n+1} (2 n - 1) + 2 \] <eoe> 【答案】 (2) 数列 $\{2^{n} a_n\}$ 的前 $n$ 项和为： \[ S_n = 2^{n+1} (2 n - 1) + 2 \] <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可; （2）由错位相减法求解即可. 【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立; 假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立. 那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立. 则对任意的 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立; (2) 由 (1) 可知, $a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$ $S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}$, (1) $2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ 由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2$, 即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$. |
| GPT-4o | (1)【解析】 我们首先计算数列的前几项来猜想通项公式。 已知 \( a_1 = 3 \)。 计算 \( a_2 \): \[ a_2 = 3a_1 - 4 \cdot 1 = 3 \cdot 3 - 4 = 9 - 4 = 5 \] 计算 \( a_3 \): \[ a_3 = 3a_2 - 4 \cdot 2 = 3 \cdot 5 - 8 = 15 - 8 = 7 \] 我们有前几项 \( a_1 = 3 \)、 \( a_2 = 5 \)、 \( a_3 = 7 \)。观察到数列的增长趋势，看似 \( a_n \) 是一个线性函数。我们假设通项公式为 \( a_n = An + B \)。 根据初始条件 \( a_1 = 3 \) 和 \( a_2 = 5 \): 当 \( n = 1 \) 时， \( a_1 = A \cdot 1 + B = A + B = 3 \)。 当 \( n = 2 \) 时， \( a_2 = A \cdot 2 + B = 2A + B = 5 \)。 联立方程： \[ \begin{cases} A + B = 3 \\ 2A + B = 5 \end{cases} \] 减去第一式得到： \[ 2A + B - (A + B) = 5 - 3 \] \[ A = 2 \] 代入 \( A + B = 3 \)： \[ 2 + B = 3 \] \[ B = 1 \] 于是，猜想数列的通项公式为 \( a_n = 2n + 1 \)。 我们用数学归纳法来证明这个通项公式。 **基步**： \( n = 1 \) 时， \( a_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \)，成立。 **归纳假设**：假设对于某个 \( k \)， \( a_k = 2k + 1 \) 成立。 **归纳步骤**：证明 \( a_{k+1} = 2(k+1) + 1 = 2k + 3 \) 成立。 \[ a_{k+1} = 3a_k - 4k \] \[ = 3(2k + 1) - 4k \] \[ = 6k + 3 - 4k \] \[ = 2k + 3 \] 因此，归纳法证明 \( a_n = 2n + 1 \) 成立。 <eoe> 【答案】数列 \( \{a_n\} \) 的通项公式为 \( a_n = 2n + 1 \)。<eoa> (2)【解析】 我们要求数列 \( \{2^n a_n\} \) 的前 \( n \) 项和 \( S_n \)。 首先，计算 \( 2^n a_n \)： \[ 2^n a_n = 2^n (2n + 1) = 2^{n+1} n + 2^n \] 因此，前 \( n \) 项和 \( S_n \) 为： \[ S_n = \sum_{k=1}^n 2^k a_k = \sum_{k=1}^n (2^{k+1} k + 2^k) \] 拆开和式： \[ S_n = \sum_{k=1}^n 2^{k+1} k + \sum_{k=1}^n 2^k \] 我们分别计算这两个部分。 首先计算 \( \sum_{k=1}^n 2^k \)： \[ \sum_{k=1}^n 2^k = 2 (1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1}) \] 这是一个等比数列的和，前 \( n \) 项和为： \[ 2 (2^0 + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1}) = 2 \left( \frac{2^n - 1}{2 - 1} \right) = 2 (2^n - 1) = 2^{n+1} - 2 \] 接下来计算 \( \sum_{k=1}^n 2^{k+1} k \)： 注意到 \( 2^{k+1} k = |
【解析】} 【分析】} (1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可; （2）由错位相减法求解即可. 【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立; 假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立. 那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立. 则对任意的 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立; (2) 由 (1) 可知, $a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$ $S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}$, (1) $2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ 由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2$, 即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$. |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】先根据数列的递推公式计算a_{2},a_{3},然后根据计算结果猜想a_{n}的通项公式,再用数学归纳法证明猜想的正确性.由题意,a_{2}=3a_{1}-4=5,a_{3}=3a_{2}-8=7,由此可猜想a_{n}=n+2,下面用数学归纳法证明:当n=1时,a_{1}=3=1+2,所以a_{n}=n+2成立;假设当n=k时,a_{k}=k+2,则a_{k+1}=3a_{k}-4k=3(k+2)-4k=k+2,所以a_{n}=n+2对任意n\inN^{+}都成立.故a_{n}=n+2.(2)由(1)可知,a_{n}=n+2,所以2^{n}a_{n}=2^{n}(n+2),所以S_{n}=\sum_{i=1}^{n}2^{i}(i+2)=\sum_{i=1}^{n}2^{i}i+\sum_{i=1}^{n}2^{i+1}=\sum_{i=1}^{n}2^{i}i+2\sum_{i=1}^{n}2^{i}=\sum_{i=1}^{n}2^{i}i+2(2^{n+1}-2)=\sum_{i=1}^{n}2^{i}i+2^{n+2}-4,因为\sum_{i=1}^{n}2^{i}i=\sum_{i=1}^{n}2^{i}\cdoti=\sum_{i=1}^{n}2^{i}\cdot(i+1-1)=\sum_{i=1}^{n}2^{i}(i+1)-\sum_{i=1}^{n}2^{i}=\sum_{i=1}^{n}2^{i}(i+1)-2(2^{n}-1)=\sum_{i=1}^{n}2^{i+1}-2^{n+1}+2,所以S_{n}=\sum_{i=1}^{n}2^{i+1}-2^{n+1}+2+2^{n+2}-4=\sum_{i=1}^{n}2^{i+1}+2^{n+1}-2,又\sum_{i=1}^{n}2^{i+1}=\sum_{i=2}^{n+1}2^{i}=2(2^{n}-1)-2=2^{n+1}-2,所以S_{n}=2^{n+1}-2+2^{n+1}-2=2^{n+2}-4. 最终结果是2^(n+2)-4 |
【解析】} 【分析】} (1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可; （2）由错位相减法求解即可. 【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立; 假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立. 那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立. 则对任意的 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立; (2) 由 (1) 可知, $a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$ $S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}$, (1) $2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ 由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2$, 即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)【解析】由a_{1}=3,a_{n+1}=3a_{n}-4n,可得a_{2}=3a_{1}-4\times1=5,a_{3}=3a_{2}-4\times2=7,故可设a_{n}=2n+1,下面用数学归纳法证明:当n=1时,a_{1}=2\times1+1=3,成立;假设当n=k时,a_{k}=2k+1,则当n=k+1时,a_{k+1}=3a_{k}-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1,故a_{n}=2n+1.【答案】a_{n}=2n+1<eoa> (2)【解析】由(1)知,a_{n |
【解析】} 【分析】} (1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可; （2）由错位相减法求解即可. 【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立; 假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立. 那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立. 则对任意的 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立; (2) 由 (1) 可知, $a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$ $S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}$, (1) $2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ 由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2$, 即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 首先，我们根据题目给出的递推关系式 $a_{n+1} = 3a_n - 4n$ 来计算 $a_2$ 和 $a_3$。\n\n已知 $a_1 = 3$，代入递推关系式：\n\\[ a_2 = 3a_1 - 4 \\cdot 1 = 3 \\cdot 3 - 4 = 9 - 4 = 5 \\]\n\n接着计算 $a_3$：\n\\[ a_3 = 3a_2 - 4 \\cdot 2 = 3 \\cdot 5 - 8 = 15 - 8 = 7 \\]\n\n观察 $a_1, a_2, a_3$ 的值，我们猜想数列 $\\left\\{a_n\\right\\}$ 的通项公式为：\n\\[ a_n = 2n + 1 \\]\n\n接下来，我们用数学归纳法来证明这个猜想。\n\n**基步**：当 $n = 1$ 时，$a_1 = 3$，显然满足 $a_1 = 2 \\cdot 1 + 1 = 3$。\n\n**归纳假设**：假设对于某个 $k \\geq 1$，$a_k = 2k + 1$ 成立。\n\n**归纳步骤**：我们需要证明 $a_{k+1} = 2(k+1) + 1$。\n根据递推关系式：\n\\[ a_{k+1} = 3a_k - 4k \\]\n代入归纳假设 $a_k = 2k + 1$：\n\\[ a_{k+1} = 3(2k + 1) - 4k = 6k + 3 - 4k = 2k + 3 = 2(k+1) + 1 \\]\n\n因此，归纳法证明了对于所有 $n \\geq 1$，$a_n = 2n + 1$ 成立。\n<eoe>\n【答案】$a_2 = 5, a_3 = 7$，数列 $\\left\\{a_n\\right\\}$ 的通项公式为 $a_n = 2n + 1$。<eoa>\n\n(2)【解析】 我们需要求数列 $\\left\\{2^n a_n\\right\\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。\n\n首先，计算 $2^n a_n$：\n\\[ 2^n a_n = 2^n (2n + 1) = 2^n \\cdot 2n + 2^n \\cdot 1 = 2^{n+1} n + 2^n \\]\n\n因此，数列 $\\left\\{2^n a_n\\right\\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 为：\n\\[ S_n = \\sum_{k=1}^n (2^k a_k) = \\sum_{k=1}^n (2^{k+1} k + 2^k) \\]\n\n将和分成两部分：\n\\[ S_n = \\sum_{k=1}^n 2^{k+1} k + \\sum_{k=1}^n 2^k \\]\n\n首先计算 $\\sum_{k=1}^n 2^k$：\n\\[ \\sum_{k=1}^n 2^k = 2 + 2^2 + 2^3 + \\cdots + 2^n = 2(1 + 2 + 2^2 + \\cdots + 2^{n-1}) = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2 \\]\n\n接着计算 $\\sum_{k=1}^n 2^{k+1} k$：\n\\[ \\sum_{k=1}^n 2^{k+1} k = 2^2 \\cdot 1 + 2^3 \\cdot 2 + 2^4 \\cdot 3 + \\cdots + 2^{n+1} \\cdot n \\]\n\n我们可以将其表示为：\n\\[ \\sum_{k=1}^n 2^{k+1} k = 2^2 \\sum_{k=1}^n k \\cdot 2^{k-1} \\]\n\n使用求和公式 $\\sum_{k=1}^n k x^k = \\frac{x(1 - (n+1)x^n + nx^{n+1})}{(1-x)^2}$，其中 $x = 2$：\n\\[ \\sum_{k=1}^n k \\cdot 2^{k-1} = \\frac{2(1 - (n+1)2^n + n2^{n+1})}{(1-2)^2} = \\frac{2(1 - (n+1)2^n + n2^{n+1})}{1} = 2(1 - (n+1)2^n + n2^{n+1}) \\]\n\n因此：\n\\[ \\sum_{k=1}^n 2^{k+1} k = 2^2 \\cdot 2(1 - (n+1)2^n + n2^{n+1}) = 8(1 - (n+1)2^n + n2^{n+1}) \\]\n\n最终，$S_n$ 为：\n\\[ S_n = 8(1 - (n+1)2^n + n2^{n+1}) + (2^{n+1} - 2) \\]\n<eoe>\n【答案】$S_n = 8(1 - (n+1)2^n + n2^{n+1}) + (2^{n+1} - 2)$<eoa>" | 【解析】} 【分析】} (1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可; （2）由错位相减法求解即可. 【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立; 假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立. 那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立. 则对任意的 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立; (2) 由 (1) 可知, $a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$ $S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}$, (1) $2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ 由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2$, 即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 首先，根据给定的数列递推公式 $a_{n+1}=3 a_{n}-4 n$ 和初始条件 $a_{1}=3$，我们可以计算出 $a_{2}$ 和 $a_{3}$ 的值，以此来观察数列的规律，进而猜想数列的通项公式。之后，使用数学归纳法或直接证明法来证明猜想的通项公式是否正确。<eoe>\n【答案】\n首先计算 $a_{2}$ 和 $a_{3}$：\n\\[\na_{2}=3 a_{1}-4 \\cdot 1=3 \\cdot 3-4 \\cdot 1=5\n\\]\n\\[\na_{3}=3 a_{2}-4 \\cdot 2=3 \\cdot 5-4 \\cdot 2=7\n\\]\n观察 $a_{1}=3=2 \\cdot 1+1, a_{2}=5=2 \\cdot 2+1, a_{3}=7=2 \\cdot 3+1$，我们猜想数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2 n+1$。\n\n接下来，我们使用数学归纳法来证明这个猜想。\n\n基础步骤：当 $n=1$ 时，$a_{1}=3=2 \\cdot 1+1$，猜想成立。\n\n归纳步骤：假设当 $n=k$ 时，$a_{k}=2 k+1$ 成立，我们需要证明当 $n=k+1$ 时，$a_{k+1}=2(k+1)+1=2 k+3$ 也成立。\n\n根据递推公式，有\n\\[\na_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=6 k+3-4 k=2 k+3\n\\]\n这正好符合我们的猜想。\n\n因此，由数学归纳法，我们证明了数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2 n+1$。<eoa>\n\n(2)【解析】 现在我们已经知道数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2 n+1$。接下来，我们需要计算数列 $\\left\\{2^{n} a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$。我们首先写出数列 $\\left\\{2^{n} a_{n}\\right\\}$ 的通项公式，然后使用求和公式或技巧来计算 $S_{n}$。<eoe>\n【答案】\n首先，写出数列 $\\left\\{2^{n} a_{n}\\right\\}$ 的通项公式：\n\\[\n2^{n} a_{n}=2^{n}(2 n+1)\n\\]\n接下来，求和 $S_{n}$：\n\\[\nS_{n}=\\sum_{k=1}^{n}2^{k}(2 k+1)=\\sum_{k=1}^{n}2^{k+1} k+\\sum_{k=1}^{n}2^{k}\n\\]\n注意到右侧的两个求和，第一个求和可以看作是 $k$ 的几何级数与算术级数的乘积，第二个求和是 $2^{k}$ 的几何级数。\n\n对于 $\\sum_{k=1}^{n}2^{k}$，这是一个几何级数，其和为：\n\\[\n\\sum_{k=1}^{n}2^{k}=2(2^{n}-1)\n\\]\n对于 $\\sum_{k=1}^{n}2^{k+1} k$，我们可以先求其通项的导数，然后积分来求和，但这里直接给出结果：\n\\[\n\\sum_{k=1}^{n}2^{k+1} k=2(n-1)2^{n}+2\n\\]\n因此，$S_{n}$ 的结果为：\n\\[\nS_{n}=2(n-1)2^{n}+2+2(2^{n}-1)=2(n-1)2^{n}+2^{n+1}=2^{n}(2 n+1)\n\\]<eoa>" | 【解析】} 【分析】} (1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可; （2）由错位相减法求解即可. 【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立; 假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立. 那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立. 则对任意的 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立; (2) 由 (1) 可知, $a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$ $S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}$, (1) $2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ 由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2$, 即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$. |
| baichuan4 | (1)【解析】首先，根据题目中给出的递推公式 $a_{n+1}=3a_{n}-4n$，我们可以计算出数列的前几项来寻找规律。 已知 $a_{1}=3$，则： $$a_{2}=3a_{1}-4\cdot1=3\cdot3-4=5$$ $$a_{3}=3a_{2}-4\cdot2=3\cdot5-8=7$$ 观察 $a_{1}=3, a_{2}=5, a_{3}=7$，可以猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2n+1$。 下面使用数学归纳法来证明这个猜想： 基础步骤：当 $n=1$ 时，$a_{1}=2\cdot1+1=3$，符合题目条件，猜想成立。 归纳步骤：假设当 $n=k$ 时，$a_{k}=2k+1$ 成立，我们需要证明当 $n=k+1$ 时，$a_{k+1}=2(k+1)+1$ 也成立。 根据递推公式： $$a_{k+1}=3a_{k}-4k$$ 将 $a_{k}=2k+1$ 代入上式得： $$a_{k+1}=3(2k+1)-4k=6k+3-4k=2k+3=2(k+1)+1$$ 因此，当 $n=k+1$ 时，猜想也成立。 由基础步骤和归纳步骤可知，对于任意正整数 $n$，$a_{n}=2n+1$ 都成立。 【答案】$a_{n}=2n+1$。 (2)【解析】要求数列 $\left\{2^{n}a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$，我们首先写出数列的前几项： $$2^{1}a_{1}=2\cdot3=6$$ $$2^{2}a_{2}=4\cdot5=20$$ $$2^{3}a_{3}=8\cdot7=56$$ 观察发现，每一项都可以写成 $4\cdot(2n+1)$ 的形式，因此数列 $\left\{2^{n}a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $b_{n}=4(2n+1)$。 接下来计算前 $n$ 项和 $S_{n}$： $$S_{n}=b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}=4\cdot3+4\cdot5+\ldots+4\cdot(2n+1)$$ $$S_{n}=4(3+5+\ldots+(2n+1))$$ 注意到括号内是一个等差数列，首项为 $3$，末项为 $2n+1$，项数为 $n$，因此其和为： $$\frac{n(3+2n+1)}{2}=n(n+2)$$ 所以： $$S_{n}=4n(n+2)=4n^{2}+8n$$ 【答案】$S_{n}=4n^{2}+8n$。 |
【解析】} 【分析】} (1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可; （2）由错位相减法求解即可. 【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立; 假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立. 那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立. 则对任意的 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立; (2) 由 (1) 可知, $a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$ $S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}$, (1) $2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ 由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2$, 即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$. |
| doubao | (1)【解析】已知$a_1=3$，$a_{n+1}=3a_n-4n$，则$a_2=3a_1-4\times1=3\times3-4=5$，$a_3=3a_2-4\times2=3\times5-8=7$。猜想$a_n=2n+1$。用数学归纳法证明：当$n=1$时，$a_1=3$，$2\times1+1=3$，猜想成立；假设当$n=k$时猜想成立，即$a_k=2k+1$，则$a_{k+1}=3a_k-4k=3(2k+1)-4k=6k+3-4k=2k+3=2(k+1)+1$，所以当$n=k+1$时猜想也成立，综上可得$a_n=2n+1$。<eoe> 【答案】$a_2=5$，$a_3=7$，$a_n=2n+1$。<eoa> (2)【解析】由(1)知$a_n=2n+1$，则$2^na_n=(2n+1)2^n$。$S_n=3\times2+5\times2^2+7\times2^3+\cdots+(2n+1)\times2^n$，$2S_n=3\times2^2+5\times2^3+\cdots+(2n-1)\times2^n+(2n+1)\times2^{n+1}$，两式相减得：$-S_n=3\times2+2\times2^2+2\times2^3+\cdots+2\times2^n-(2n+1)\times2^{n+1}=6+\frac{4(1-2^{n-1})}{1-2}-(2n+1)\times2^{n+1}=6+4(2^{n-1}-1)-(2n+1)\times2^{n+1}=-2-(2n-1)\times2^{n+1}$，所以$S_n=(2n-1)2^{n+1}+2$。<eoe> 【答案】$S_n=(2n-1)2^{n+1}+2$。<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可; （2）由错位相减法求解即可. 【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立; 假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立. 那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立. 则对任意的 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立; (2) 由 (1) 可知, $a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$ $S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}$, (1) $2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ 由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2$, 即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$. |
| minimax | (1)【解析】首先，我们需要计算出数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前几项，即 $a_{2}$ 和 $a_{3}$。根据题目中给出的递推关系 $a_{n+1}=3 a_{n}-4 n$，我们可以代入 $n=1$ 来计算 $a_{2}$，然后代入 $n=2$ 来计算 $a_{3}$。 计算出前几项后，我们可以观察这些项的规律，猜想出数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。猜想出通项公式后，我们需要通过数学归纳法来证明我们的猜想是正确的。 数学归纳法通常分为两个步骤： - 基础步骤（归纳基础）：证明当 $n=1$ 时，猜想的公式成立。 - 归纳步骤（归纳假设）：假设当 $n=k$ 时，猜想的公式成立，然后证明当 $n=k+1$ 时，猜想的公式也成立。 如果这两个步骤都成立，那么我们可以得出结论，猜想的通项公式对所有的正整数 $n$ 都成立。<eoe> 【答案】首先计算 $a_{2}$ 和 $a_{3}$： $$a_{2} = 3a_{1} - 4 \cdot 1 = 3 \cdot 3 - 4 = 9 - 4 = 5$$ $$a_{3} = 3a_{2} - 4 \cdot 2 = 3 \cdot 5 - 4 \cdot 2 = 15 - 8 = 7$$ 现在我们猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3^n + n - 1$。 接下来，我们使用数学归纳法来证明这个猜想。 基础步骤：当 $n=1$ 时， $$a_{1} = 3^1 + 1 - 1 = 3 + 0 = 3$$ 这与题目中给出的 $a_{1}=3$ 相符，因此猜想在 $n=1$ 时成立。 归纳步骤：假设当 $n=k$ 时，猜想的公式成立，即 $a_{k} = 3^k + k - 1$。我们需要证明当 $n=k+1$ 时，猜想的公式也成立。 根据递推关系，我们有 $$a_{k+1} = 3a_{k} - 4k$$ 将归纳假设代入上式，得到 $$a_{k+1} = 3(3^k + k - 1) - 4k = 3^{k+1} + 3k - 3 - 4k = 3^{k+1} - k - 3$$ 这与我们猜想的公式 $a_{k+1} = 3^{k+1} + (k+1) - 1$ 不符。因此，我们的猜想是错误的，我们需要重新猜想一个正确的通项公式。 重新观察 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 的值，我们可以发现一个模式： $$a_{1} = 3 = 3^1 + 1 - 1$$ $$a_{2} = 5 = 3^2 - 2 + 1$$ $$a_{3} = 7 = 3^3 - 3 + 1$$ 根据这个模式，我们猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3^n - n + 1$。 我们再次使用数学归纳法来证明这个新的猜想。 基础步骤：当 $n=1$ 时， $$a_{1} = 3^1 - 1 + 1 = 3$$ 这与题目中给出的 $a_{1}=3$ 相符，因此猜想在 $n=1$ 时成立。 归纳步骤：假设当 $n=k$ 时，猜想的公式成立，即 $a_{k} = 3^k - k + 1$。我们需要证明当 $n=k+1$ 时，猜想的公式也成立。 根据递推关系，我们有 $$a_{k+1} = 3a_{k} - 4k$$ 将归纳假设代入上式，得到 $$a_{k+1} = 3(3^k - k + 1) - 4k = 3^{k+1} - 3k + 3 - 4k = 3^{k+1} - 7k + 3$$ 我们需要将这个表达式转换为 $3^{k+1} - (k+1) + 1$ 的形式。注意到 $-7k + 3 = -k - 1 + 1 - 6k = -(k+1) + 1 - 6k$，因此 $$a_{k+1} = 3^{k+1} - (k+1) + 1$$ 这与我们猜想的公式 $a_{k+1} = 3^{k+1} - (k+1) + 1$ 相符。因此，我们的猜想在 $n=k+1$ 时也成立。 由于我们已经证明了基础步骤和归纳步骤都成立，我们可以得出结论，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3^n - n + 1$。<eoa> (2)【解析】现在我们需要求数列 $\left\{2^{n} a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$。根据我们已经找到的通项公式 $a_{n} = 3^n - n + 1$，我们可以将 $a_{n}$ 代入 $2^{n} a_{n}$ 中，得到 $$2^{n} a_{n} = 2^{n} (3^n - n + 1) = 2^n \cdot 3^n - 2^n \cdot n + 2^n$$ $$= (2 \cdot 3)^n - n \cdot 2^n + 2^n$$ $$= 6^n - n \cdot 2^n + 2^n$$ 我们需要计算这个表达式的前 $n$ 项和。注意到 $6^n$、$n \cdot 2^n$ 和 $2^n$ 都是等比数列的项，我们可以分别计算它们的和。对于等比数列的和，我们可以使用等比数列求和公式： $$S = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$$ 其中 $a_1$ 是首项，$r$ 是公比，$n$ 是项数。 对于 $6^n$ 的和，首项 $a_1 = 6^1 = 6$，公比 $r = 6$，项数为 $n$。 对于 $n \cdot 2^n$ 的和，我们需要先计算 $2^n$ 的和，然后乘以 $n$。对于 $2^n$ 的和，首项 $a_1 = 2^1 = 2$，公比 $r = 2$，项数为 $n$。 对于 $2^n$ 的和，我们可以使用等比数列求和公式： $$S_{2^n} = \frac{2(1 - 2^n)}{1 - 2} = 2^{n+1} - 2$$ 现在我们需要计算 $n \cdot 2^n$ 的和。注意到 $n \cdot 2^n$ 不是一个等比数列，因此我们需要找到一个方法来处理它。我们可以尝试将它表示为等比数列的差分形式，即找到一个数列 $b_n$ 使得 $b_{n+1} - b_n = n \cdot 2^n$。然而，这个方法可能会比较复杂。 另一种方法是直接计算 $n \cdot 2^n$ 的和。我们可以使用分部求和的方法，即将 $n \cdot 2^n$ 分解为 $n \cdot 2^n = 2^n + 2^n + 2^n + \ldots + 2^n$（共有 $n$ 项），然后分别计算每个 $2^n$ 的和，最后乘以 $n$。 对于 $2^n$ 的和，我们已经计算过，为 $2^{n+1} - 2$。因此，$n \cdot 2^n$ 的和为 $n \cdot (2^{n+1} - 2)$。 最后，我们需要计算 $2^n$ 的和。由于 $2^n$ 是一个等比数列，我们可以直接使用等比数列求和公式： $$S_{2^n} = \frac{2(1 - 2^n)}{1 - 2} = 2^{n+1} - 2$$ 现在我们可以将这些和加起来得到 $S_{n}$： $$S_{n} = \sum_{k=1}^{n} (6^k - k \cdot 2^k + 2^k)$$ $$= \sum_{k=1}^{n} |
【解析】} 【分析】} (1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可; （2）由错位相减法求解即可. 【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立; 假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立. 那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立. 则对任意的 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立; (2) 由 (1) 可知, $a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$ $S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}$, (1) $2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ 由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2$, 即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$. |
| kimi | (1)【解析】首先计算数列的前几项，然后尝试找出通项公式的规律。 已知 $a_1 = 3$，根据递推关系 $a_{n+1} = 3a_n - 4n$，我们可以计算出 $a_2$ 和 $a_3$： $a_2 = 3a_1 - 4 \cdot 1 = 3 \cdot 3 - 4 = 5$ $a_3 = 3a_2 - 4 \cdot 2 = 3 \cdot 5 - 8 = 7$ 观察 $a_1 = 3$，$a_2 = 5$，$a_3 = 7$，我们可以猜想通项公式为 $a_n = 2n + 1$。 接下来，我们使用数学归纳法来证明这个猜想。 **基础步骤**：当 $n=1$ 时，$a_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$，与已知条件相符。 **归纳步骤**：假设当 $n=k$ 时，$a_k = 2k + 1$ 成立，我们需要证明当 $n=k+1$ 时，$a_{k+1} = 2(k+1) + 1$ 也成立。 根据递推关系，我们有： $a_{k+1} = 3a_k - 4k$ 将假设代入： $a_{k+1} = 3(2k + 1) - 4k = 6k + 3 - 4k = 2k + 3$ 这与我们的猜想 $a_{k+1} = 2(k+1) + 1$ 相符。 因此，通过数学归纳法，我们证明了对于所有的正整数 $n$，$a_n = 2n + 1$ 成立。 <eoe> 【答案】$a_2 = 5$，$a_3 = 7$，通项公式为 $a_n = 2n + 1$。<eoa> (2)【解析】已知 $a_n = 2n + 1$，我们需要求出数列 $\{2^n a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。 首先，计算 $2^n a_n$： $2^n a_n = 2^n (2n + 1) = 2^{n+1} n + 2^n$ 接下来，我们计算前 $n$ 项和： $S_n = (2^2 \cdot 1 + 2^2) + (2^3 \cdot 2 + 2^3) + \ldots + (2^{n+1} \cdot n + 2^n)$ 我们可以将 $S_n$ 分成两部分求和： $S_n = (2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{n+1}) + (2^2 \cdot 1 + 2^3 \cdot 2 + \ldots + 2^{n+1} \cdot n)$ 第一部分是等比数列求和，第二部分可以看作是等差数列乘以等比数列的求和。 第一部分求和： $2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{n+1} = 2^2 \cdot \frac{1 - 2^{n-1}}{1 - 2} = 2^{n+2} - 4$ 第二部分求和，我们可以使用错位相减法： 设 $T_n = 2^2 \cdot 1 + 2^3 \cdot 2 + \ldots + 2^{n+1} \cdot n$ $2T_n = 2^3 \cdot 1 + 2^4 \cdot 2 + \ldots + 2^{n+2} \cdot n$ 两式相减得： $-T_n = 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{n+1} - 2^{n+2} \cdot n = 2^{n+2} - 4 - 2^{n+2} \cdot n$ 因此： $T_n = (2^{n+2} - 4) \cdot n - 2^{n+2} + 4$ 最后，将两部分相加得到 $S_n$： $S_n = (2^{n+2} - 4) + (2^{n+2} - 4) \ |
【解析】} 【分析】} (1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可; （2）由错位相减法求解即可. 【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立; 假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立. 那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立. 则对任意的 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立; (2) 由 (1) 可知, $a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$ $S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}$, (1) $2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ 由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2$, 即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】 首先，我们根据给定的递推公式和初始条件，计算数列的第二项和第三项。 由$a_{1}=3$和$a_{n+1}=3 a_{n}-4 n$， 得$a_{2}=3 a_{1}-4 \times 1=3 \times 3-4=5$， $a_{3}=3 a_{2}-4 \times 2=3 \times 5-8=7$。 观察得$a_{2}=5=2 \times 2+1, a_{3}=7=2 \times 3+1$， 猜想$a_{n}=2n+1$。 接下来，我们用数学归纳法证明这个猜想： 当$n=1$时，$a_{1}=3=2 \times 1+1$，猜想成立。 假设当$n=k(k \in \mathbb{N}^{*})$时，猜想成立，即$a_{k}=2k+1$， 则当$n=k+1$时，$a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1$， 即当$n=k+1$时，猜想也成立。 因此，对任意的$n \in \mathbb{N}^{*}$，都有$a_{n}=2n+1$。 【答案】 $a_{2}=5, a_{3}=7$，数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n}=2n+1$。 (2)【解析】 由（1）知$a_{n}=2n+1$， 所以$2^{n} a_{n}=(2n+1) \cdot 2^{n}$。 数列$\left\{2^{n} a_{n}\right\}$的前$n$项和$S_{n}$为 $S_{n}=3 \times 2^{1}+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2n+1) \cdot 2^{n}$，记作① $2S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2n+1) \cdot 2^{n+1}$，记作② ①-②得$-S_{n}=3 \times 2^{1}+2 \times 2^{2}+2 \times 2^{3}+\cdots+2 \times 2^{n}-(2n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=2+2 \times 2^{1}+2 \times 2^{2}+2 \times 2^{3}+\cdots+2 \times 2^{n}-2-(2n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=2 \times \frac{2\left(1-2^{n}\right)}{1-2}-2-(2n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=-2n \cdot 2^{n+1}$， 所以$S_{n}=2n \cdot 2^{n+1}=n \cdot 2^{n+2}$。 【答案】 数列$\left\{2^{n} a_{n}\right\}$的前$n$项和$S_{n}=n \cdot 2^{n+2}$。 |
【解析】} 【分析】} (1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可; （2）由错位相减法求解即可. 【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立; 假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立. 那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立. 则对任意的 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立; (2) 由 (1) 可知, $a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$ $S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}$, (1) $2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ 由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2$, 即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$. |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们根据题目给出的递推公式 $a_{n+1} = 3a_{n} - 4n$ 来计算 $a_2$ 和 $a_3$。 当 $n = 1$ 时， \[ a_2 = 3a_1 - 4 \cdot 1 = 3 \cdot 3 - 4 = 9 - 4 = 5 \] 当 $n = 2$ 时， \[ a_3 = 3a_2 - 4 \cdot 2 = 3 \cdot 5 - 8 = 15 - 8 = 7 \] 接下来，我们猜想数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。观察已知的 $a_1, a_2, a_3$： \[ a_1 = 3, \quad a_2 = 5, \quad a_3 = 7 \] 我们可以猜想数列 $\{a_n\}$ 是一个等差数列，设通项公式为 $a_n = an + b$。我们需要确定 $a$ 和 $b$。 根据已知条件 $a_1 = 3$， \[ a \cdot 1 + b = 3 \] 即 \[ a + b = 3 \quad \text{(1)} \] 根据 $a_2 = 5$， \[ a \cdot 2 + b = 5 \] 即 \[ 2a + b = 5 \quad \text{(2)} \] 通过解方程组 (1) 和 (2)： \[ \begin{cases} a + b = 3 \\ 2a + b = 5 \end{cases} \] 两式相减，得： \[ (2a + b) - (a + b) = 5 - 3 \] \[ a = 2 \] 将 $a = 2$ 代入 (1) 式，得： \[ 2 + b = 3 \] \[ b = 1 \] 所以，我们猜想通项公式为： \[ a_n = 2n + 1 \] 接下来，我们用数学归纳法证明这个猜想。 **基础步骤**：当 $n = 1$ 时， \[ a_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \] 与已知条件一致。 **归纳步骤**：假设当 $n = k$ 时，$a_k = 2k + 1$ 成立，证明当 $n = k + 1$ 时也成立。 根据递推公式， \[ a_{k+1} = 3a_k - 4k \] 将假设代入， \[ a_{k+1} = 3(2k + 1) - 4k = 6k + 3 - 4k = 2k + 3 \] 即 \[ a_{k+1} = 2(k + 1) + 1 \] 所以，当 $n = k + 1$ 时，公式也成立。 由数学归纳法，我们证明了通项公式 $a_n = 2n + 1$ 对所有正整数 $n$ 都成立。<eoe> 【答案】 \[ a_2 = 5, \quad a_3 = 7 \] 通项公式为： \[ a_n = 2n + 1 \] 证明如上所述。<eoa> (2)【解析】 设数列 $\{2^n a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，即 \[ S_n = \sum_{k=1}^n 2^k a_k \] 根据通项公式 $a_k = 2k + 1$，我们有： \[ 2^k a_k = 2^k (2k + 1) = 2^{k+1} k + 2^k \] 所以， \[ S_n = \sum_{k=1}^n (2^{k+1} k + 2^k) \] 我们可以将和拆开： \[ S_n = \sum_{k=1}^n 2^{k+1} k + \sum_{k=1}^n 2^k \] 首先计算 $\sum_{k=1}^n 2^k$，这是一个等比数列的和： \[ \sum_{k=1}^n 2^k = 2 (2^n - 1) \] 接下来计算 $\sum_{k=1}^n 2^{k+1} k$，我们使用分部求和法。 设 $T_n = \sum_{k=1}^n 2^k k$，则 \[ 2T_n = \sum_{k=1}^n 2^{k+1} k \] 我们有： \[ T_n = 2 \sum_{k=1}^n k \cdot 2^{k-1} \] 利用分部求和公式， \[ \sum_{k=1}^n k \cdot x^{k-1} = \frac{(n-1)x^n + 1}{(x-1)^2} \] 取 $x = 2$，得： \[ \sum_{k=1}^n k \cdot 2^{k-1} = \frac{(n-1)2^n + 1}{(2-1)^2} = (n-1)2^n + 1 \] 所以， \[ T_n = 2 [(n-1)2^n + 1] = 2(n-1)2^n + 2 = n2^{n+1} - 2^{n+1} + 2 \] 因此， \[ 2T_n = 2[n2^{n+1} - 2^{n+1} + 2] = n2^{n+2} - 2^{n+2} + 4 \] 所以， \[ S_n = 2T_n + \sum_{k=1}^n 2^k = (n2^{n+2} - 2^{n+2} + 4) + (2^{n+1} - 2) \] 整理得： \[ S_n = n2^{n+2} - 2^{n+2} + 2^{n+1} + 2 = n2^{n+2} - 2^{n+1} + 2 \] <eoe> 【答案】 数列 $\{2^n a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 为： \[ S_n = n2^{n+2} - 2^{n+1} + 2 \] 解题步骤如上所述。<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可; （2）由错位相减法求解即可. 【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立; 假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立. 那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立. 则对任意的 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立; (2) 由 (1) 可知, $a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$ $S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}$, (1) $2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ 由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2$, 即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$. |
| gpto1 | (1)【解析】 根据递推关系式 $a_{n+1} = 3 a_n - 4 n$，且已知 $a_1 = 3$。 计算 $a_2$： \[ a_2 = 3 a_1 - 4 \times 1 = 3 \times 3 - 4 = 9 - 4 = 5 \] 计算 $a_3$： \[ a_3 = 3 a_2 - 4 \times 2 = 3 \times 5 - 8 = 15 - 8 = 7 \] 观察前三项： \[ a_1 = 3 = 2 \times 1 + 1 \\ a_2 = 5 = 2 \times 2 + 1 \\ a_3 = 7 = 2 \times 3 + 1 \] 由此猜想数列的通项公式为： \[ a_n = 2 n + 1 \] **证明：** **（数学归纳法）** 1. **当 $n=1$ 时：** \[ a_1 = 2 \times 1 + 1 = 3 \] 与已知 $a_1 = 3$ 符合。 2. **假设当 $n=k$ 时，$a_k = 2k + 1$ 成立。** 3. **当 $n=k+1$ 时：** \[ \begin{aligned} a_{k+1} &= 3 a_k - 4 k \\ &= 3 (2k + 1) - 4 k \quad (\text{根据归纳假设})\\ &= 6k + 3 - 4k \\ &= 2k + 3 \\ &= 2(k + 1) + 1 \end{aligned} \] 因此，$a_{k+1} = 2(k + 1) + 1$，即结论对 $n = k + 1$ 也成立。 4. **结论：** 由数学归纳法知，$a_n = 2 n + 1$ 对一切正整数 $n$ 均成立。 <eoe> 【答案】 (1) $a_2 = 5$，$a_3 = 7$。 数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = 2 n + 1$。 <eoa> (2)【解析】 已知 $a_n = 2 n + 1$，求数列 $\{2^{n} a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$： 首先，计算一般项： \[ 2^{n} a_n = 2^{n} (2 n + 1) = 2^{n} \times 2 n + 2^{n} \times 1 = 2^{n+1} n + 2^{n} \] 因此，前 $n$ 项和为： \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^{k} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2^{k+1} k + 2^{k}) \] 将和拆分为两部分： \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} k + \sum_{k=1}^{n} 2^{k} \] **计算 $\sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} k$：** 设 $S_1 = \sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} k$ 注意到： \[ S_1 = 2 \sum_{k=1}^{n} 2^{k} k \] 计算 $\sum_{k=1}^{n} 2^{k} k$： 利用等比级数求和公式的变形，结合求导，可以得到： \[ \sum_{k=1}^{n} k 2^{k} = 2^{n+1} (n - 1) + 2 \] 证明如下： 考虑函数： \[ S(x) = \sum_{k=1}^{n} x^{k} = \frac{x(x^{n} - 1)}{x - 1} \] 对 $x$ 求导： \[ S'(x) = \sum_{k=1}^{n} k x^{k-1} = \frac{(x - 1)x^{n} n - x^{n} + 1}{(x - 1)^{2}} \] 代入 $x = 2$，得到： \[ \sum_{k=1}^{n} k 2^{k-1} = \frac{(2 - 1) 2^{n} n - 2^{n} + 1}{(2 - 1)^{2}} = 2^{n} n - 2^{n} + 1 \] 因此： \[ \sum_{k=1}^{n} k 2^{k} = 2 \left(2^{n} n - 2^{n} + 1\right) = 2^{n+1} n - 2^{n+1} + 2 \] 所以： \[ S_1 = 2 \sum_{k=1}^{n} 2^{k} k = 2 \left(2^{n+1} n - 2^{n+1} + 2\right) = 2^{n+2} n - 2^{n+2} + 4 \] **计算 $\sum_{k=1}^{n} 2^{k}$：** 这是一个等比数列的前 $n$ 项和： \[ S_2 = \sum_{k=1}^{n} 2^{k} = 2^{n+1} - 2 \] **求总和 $S_n$：** \[ \begin{aligned} S_n &= S_1 + S_2 \\ &= \left(2^{n+2} n - 2^{n+2} + 4\right) + \left(2^{n+1} - 2\right) \\ &= 2^{n+2} n - 2^{n+2} + 2^{n+1} + 4 - 2 \\ &= 2^{n+2} n - 2^{n+2} + 2^{n+1} + 2 \end{aligned} \] 合并同类项： 将 $-2^{n+2} + 2^{n+1}$ 合并： \[ -2^{n+2} + 2^{n+1} = -4 \times 2^{n} + 2 \times 2^{n} = -2^{n} (4 - 2) = -2^{n} \times 2 = -2^{n+1} \] 所以： \[ S_n = 2^{n+2} n - 2^{n+1} + 2 \] 提取 2 的公因数： \[ S_n = 2^{n+1} (2 n - 1) + 2 \] <eoe> 【答案】 (2) 数列 $\{2^{n} a_n\}$ 的前 $n$ 项和为： \[ S_n = 2^{n+1} (2 n - 1) + 2 \] <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可; （2）由错位相减法求解即可. 【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立; 假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立. 那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立. 则对任意的 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立; (2) 由 (1) 可知, $a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$ $S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}$, (1) $2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ 由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2$, 即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$. |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-a7603ec7-0ca2-9f8e-8225-b74c31d5c1f9', 'request_id': 'a7603ec7-0ca2-9f8e-8225-b74c31d5c1f9'} | 【解析】} 【分析】} (1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可; （2）由错位相减法求解即可. 【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项可猜想数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立; 假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立. 那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立. 则对任意的 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立; (2) 由 (1) 可知, $a_{n} \cdot 2^{n}=(2 n+1) \cdot 2^{n}$ $S_{n}=3 \times 2+5 \times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \cdot 2^{n}$, (1) $2 S_{n}=3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n-1) \cdot 2^{n}+(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ 由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \times\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}$ $=6+2 \times \frac{2^{2} \times\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \cdot 2^{n+1}-2$, 即 $S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{n+1}+2$. |