| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们需要找到曲线 $C$ 与坐标轴的交点 $A$ 和 $B$。曲线 $C$ 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 2 - t - t^2 \\ y = 2 - 3t + t^2 \end{cases} \] **求与 $x$ 轴的交点 $A$：** 当曲线与 $x$ 轴相交时，$y = 0$。将 $y = 0$ 代入参数方程： \[ 2 - 3t + t^2 = 0 \] 解这个二次方程： \[ t^2 - 3t + 2 = 0 \] 因式分解： \[ (t - 1)(t - 2) = 0 \] 所以 $t = 1$ 或 $t = 2$。但题目中给出 $t \neq 1$，所以 $t = 2$。 将 $t = 2$ 代入 $x$ 的方程： \[ x = 2 - 2 - 2^2 = 2 - 2 - 4 = -4 \] 所以交点 $A$ 的坐标为 $(-4, 0)$。 **求与 $y$ 轴的交点 $B$：** 当曲线与 $y$ 轴相交时，$x = 0$。将 $x = 0$ 代入参数方程： \[ 2 - t - t^2 = 0 \] 解这个二次方程： \[ t^2 + t - 2 = 0 \] 因式分解： \[ (t + 2)(t - 1) = 0 \] 所以 $t = -2$ 或 $t = 1$。但题目中给出 $t \neq 1$，所以 $t = -2$。 将 $t = -2$ 代入 $y$ 的方程： \[ y = 2 - 3(-2) + (-2)^2 = 2 + 6 + 4 = 12 \] 所以交点 $B$ 的坐标为 $(0, 12)$。 **求 $|AB|$：** $A$ 和 $B$ 的坐标分别为 $(-4, 0)$ 和 $(0, 12)$，两点间的距离公式为： \[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] 代入坐标： \[ |AB| = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \] <eoe> 【答案】$|AB| = 4\sqrt{10}$<eoa> (2)【解析】 我们需要求直线 $AB$ 的极坐标方程。已知 $A$ 的坐标为 $(-4, 0)$，$B$ 的坐标为 $(0, 12)$。 **求直线 $AB$ 的斜率：** 直线 $AB$ 的斜率 $k$ 为： \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{12 - 0}{0 - (-4)} = \frac{12}{4} = 3 \] **直线 $AB$ 的直角坐标方程：** 直线 $AB$ 的方程为： \[ y = kx + b \] 将 $A(-4, 0)$ 代入方程求 $b$： \[ 0 = 3(-4) + b \implies b = 12 \] 所以直线 $AB$ 的方程为： \[ y = 3x + 12 \] **转换为极坐标方程：** 极坐标系中，$x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$。将这些代入直线方程： \[ r \sin \theta = 3r \cos \theta + 12 \] 整理得： \[ r (\sin \theta - 3 \cos \theta) = 12 \] 所以直线 $AB$ 的极坐标方程为： \[ r = \frac{12}{\sin \theta - 3 \cos \theta} \] <eoe> 【答案】$r = \frac{12}{\sin \theta - 3 \cos \theta}$<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值; (2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可. 【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$. 令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ (2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$, 则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$. 由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 要求曲线C与坐标轴的交点A、B的距离。首先，求曲线与x轴的交点A，令y=0，解得t=2（因t≠1舍去另一解），对应x=-4，故A(-4,0)。再求与y轴的交点B，令x=0，解得t=-2，对应y=12，故B(0,12)。计算两点距离： \[ |AB| = \sqrt{(-4-0)^2 + (0-12)^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \] <eoe> 【答案】 (1) \boxed{4\sqrt{10}} <eoa> (2)【解析】 直线AB的直角坐标方程为y=3x+12。将其转换为极坐标方程，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ： \[ 3ρ\cosθ - ρ\sinθ + 12 = 0 \implies ρ(3\cosθ - \sinθ) = -12 \] 因ρ≥0，整理得： \[ ρ = \frac{12}{\sinθ - 3\cosθ} \] <eoe> 【答案】 (2) \boxed{\rho = \dfrac{12}{\sin\theta - 3\cos\theta}} <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值; (2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可. 【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$. 令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ (2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$, 则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$. 由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$. |
| gpto1 | (1)【解析】 曲线 $C$ 的参数方程为： $$ \left\{ \begin{aligned} &x=2-t-t^{2} \\ &y=2-3 t+t^{2} \end{aligned} \right. $$ 当曲线 $C$ 与 $x$ 轴交于点 $B$（即 $y=0$）时，有： $$ y=2-3 t+t^{2}=0 \\ \Rightarrow t^{2}-3 t+2=0 \\ \Rightarrow (t-1)(t-2)=0 \\ \Rightarrow t=1 \text{ 或 } t=2 \\ \text{但 } t \neq 1, \text{故 } t=2 $$ 此时： $$ x=2-2-(2)^{2}=-4 $$ 所以点 $B(-4, 0)$。 当曲线 $C$ 与 $y$ 轴交于点 $A$（即 $x=0$）时，有： $$ x=2-t-t^{2}=0 \\ \Rightarrow t^{2}+t-2=0 \\ \Rightarrow t=\frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1 \pm 3}{2} \\ \Rightarrow t=1 \text{ 或 } t=-2 \\ \text{但 } t \neq 1, \text{故 } t=-2 $$ 此时： $$ y=2-3(-2)+(-2)^{2}=2+6+4=12 $$ 所以点 $A(0,12)$。 两点间距离： $$ |A B|=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}=4 \sqrt{10} $$ <eoe> 【答案】(1) $|A B|=4 \sqrt{10}$。<eoa> (2)【解析】 直线 $A B$ 经过点 $A(0,12)$ 和 $B(-4,0)$，其斜率为： $$ k=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}=\frac{12-0}{0-(-4)}=\frac{12}{4}=3 $$ 直线方程为： $$ y-12=3(x-0) \\ \Rightarrow y=3 x+12 $$ 在极坐标系中，$x=r \cos \theta$, $y=r \sin \theta$，代入得： $$ r \sin \theta=3 r \cos \theta+12 \\ \Rightarrow r(\sin \theta-3 \cos \theta)=12 \\ \Rightarrow r=\frac{12}{\sin \theta-3 \cos \theta} $$ 因此，直线 $A B$ 的极坐标方程为： $$ r=\frac{12}{\sin \theta-3 \cos \theta} $$ <eoe> 【答案】(2) 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $r=\dfrac{12}{\sin \theta-3 \cos \theta}$。<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值; (2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可. 【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$. 令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ (2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$, 则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$. 由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$. |
| GPT-4o | (1)【解析】 首先，我们需要确定曲线 \(C\) 与坐标轴的交点。 **求与 \(x\) 轴的交点 \(A\)：** 当曲线 \(C\) 与 \(x\) 轴相交时， \(y = 0\)。 由参数方程 \(y = 2 - 3t + t^2\)，令 \(2 - 3t + t^2 = 0\)。 解这个二次方程： \[ t^2 - 3t + 2 = 0 \] \[ (t-1)(t-2) = 0 \] 所以， \(t = 1\) 或 \(t = 2\)。但题目中给出 \(t \neq 1\)，所以 \(t = 2\)。 将 \(t = 2\) 代入 \(x = 2 - t - t^2\)： \[ x = 2 - 2 - 2^2 = -4 \] 因此，交点 \(A\) 的坐标为 \((-4, 0)\)。 **求与 \(y\) 轴的交点 \(B\)：** 当曲线 \(C\) 与 \(y\) 轴相交时， \(x = 0\)。 由参数方程 \(x = 2 - t - t^2\)，令 \(2 - t - t^2 = 0\)。 解这个二次方程： \[ t^2 + t - 2 = 0 \] \[ (t+2)(t-1) = 0 \] 所以， \(t = -2\) 或 \(t = 1\)。但题目中给出 \(t \neq 1\)，所以 \(t = -2\)。 将 \(t = -2\) 代入 \(y = 2 - 3t + t^2\)： \[ y = 2 - 3(-2) + (-2)^2 = 2 + 6 + 4 = 12 \] 因此，交点 \(B\) 的坐标为 \((0, 12)\)。 **计算 \(|AB|\)：** \(|AB|\) 为 \(A\) 和 \(B\) 两点之间的距离： \[ |AB| = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (0 - 12)^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \] <eoe> 【答案】 \(|AB| = 4\sqrt{10}\)<eoa> (2)【解析】 我们需要求直线 \(AB\) 的极坐标方程。 直线 \(AB\) 经过点 \((-4, 0)\) 和 \((0, 12)\)。 首先，求直线的斜率： \[ k = \frac{12 - 0}{0 - (-4)} = \frac{12}{4} = 3 \] 直线的方程为： \[ y = 3x + 12 \] 将直角坐标方程转换为极坐标方程。 直角坐标与极坐标的关系为： \[ x = r\cos\theta \] \[ y = r\sin\theta \] 将 \(x\) 和 \(y\) 代入直线方程 \(y = 3x + 12\)： \[ r\sin\theta = 3r\cos\theta + 12 \] 化简得： \[ r(\sin\theta - 3\cos\theta) = 12 \] 所以，直线 \(AB\) 的极坐标方程为： \[ r = \frac{12}{\sin\theta - 3\cos\theta} \] <eoe> 【答案】 直线 \(AB\) 的极坐标方程为 \( r = \frac{12}{\sin\theta - 3\cos\theta} \)<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值; (2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可. 【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$. 令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ (2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$, 则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$. 由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$. |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】 由题意,当t=0时,点A(2,2),当t=-2时,点B(6,-2),所以|AB|=\sqrt{(6-2)^{2}+(-2-2)^{2}}=2\sqrt{13}.. 最终结果是2*sqrt(13) (2)【解析】 由题意,直线AB的方程为y=-x+4,即x+y-4=0,所以直线AB的极坐标方程为rho*cos(theta)+rho*sin(theta)-4=0. 最终结果是rho*cos(theta)+rho*sin(theta)-4=0 |
【解析】} 【分析】} (1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值; (2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可. 【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$. 令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ (2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$, 则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$. 由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)当x=0时,2-t-t^{2}=0,解得t=-2或t=1(舍去),此时y=2-3(-2)+(-2)^{2}=12,所以A(0,12);当y=0时,2-3t+t^{2}=0,解得t=1(舍去)或t=2,此时x=2-2-2^{2}=-4,所以B(-4,0),所以|AB|=\sqrt{(-4-0)^{2}+(0-12)^{2}}=4\sqrt{10}.(2)因为直线AB过点A(0,12),B(-4,0),所以直线AB的方程为y=-3x+12,即3x+y-12=0,所以直线AB的极坐标方程为3\rho\cos\ |
【解析】} 【分析】} (1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值; (2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可. 【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$. 令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ (2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$, 则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$. 由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】首先，我们需要找到曲线 $C$ 与坐标轴的交点。曲线 $C$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2-t-t^{2} \\\\ y=2-3 t+t^{2}\\end{array}\\right.$。\n\n与 $x$ 轴交点：当 $y=0$ 时，$2-3t+t^2=0$。解这个二次方程，得到 $t=1$ 或 $t=2$。但是题目中给定 $t \\neq 1$，所以 $t=2$。代入 $x$ 的方程，得到 $x=2-2-2^2=-4$。因此，与 $x$ 轴的交点 $A$ 为 $(-4, 0)$。\n\n与 $y$ 轴交点：当 $x=0$ 时，$2-t-t^2=0$。解这个二次方程，得到 $t=-1$ 或 $t=2$。代入 $y$ 的方程，当 $t=-1$ 时，$y=2-3(-1)+(-1)^2=6$；当 $t=2$ 时，$y=2-3(2)+(2)^2=0$，但 $t=2$ 已经用于 $A$ 点，所以 $t=-1$。因此，与 $y$ 轴的交点 $B$ 为 $(0, 6)$。\n\n现在我们求 $|AB|$，即两点间的距离。使用距离公式 $\\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，得到 $|AB|=\\sqrt{(-4-0)^2+(0-6)^2}=\\sqrt{16+36}=\\sqrt{52}=2\\sqrt{13}$。<eoe>\n【答案】$2\\sqrt{13}$<eoa>\n\n(2)【解析】我们已经知道点 $A$ 和 $B$ 的坐标分别是 $(-4, 0)$ 和 $(0, 6)$。直线 $AB$ 的斜率 $m$ 为 $\\frac{6-0}{0-(-4)}=\\frac{6}{4}=\\frac{3}{2}$。因此，直线 $AB$ 的方程为 $y=\\frac{3}{2}x+6$。\n\n将其转换为极坐标方程。极坐标系中，$x=\\rho \\cos \\theta$，$y=\\rho \\sin \\theta$。代入直线方程，得到 $\\rho \\sin \\theta = \\frac{3}{2} \\rho \\cos \\theta + 6$。整理得到 $\\rho (\\sin \\theta - \\frac{3}{2} \\cos \\theta) = 6$，即 $\\rho = \\frac{6}{\\sin \\theta - \\frac{3}{2} \\cos \\theta}$。<eoe>\n【答案】$\\rho = \\frac{6}{\\sin \\theta - \\frac{3}{2} \\cos \\theta}$<eoa>" | 【解析】} 【分析】} (1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值; (2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可. 【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$. 令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ (2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$, 则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$. 由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 首先，我们需要找到曲线C与坐标轴的交点A和B。这意味着我们需要找到x=0和y=0时的t值。对于x=0，我们有方程2-t-t^2=0，对于y=0，我们有方程2-3t+t^2=0。我们解这两个方程以找到t的值。\n\n对于2-t-t^2=0，我们得到t^2+t-2=0，解这个方程，我们得到t=1和t=-2。但是题目中已经给出t≠1，所以我们得到t=-2。\n\n对于2-3t+t^2=0，我们得到t^2-3t+2=0，解这个方程，我们得到t=1和t=2。但是题目中已经给出t≠1，所以我们得到t=2。\n\n将t=-2和t=2分别代入x和y的参数方程中，我们可以得到A和B的坐标。对于t=-2，我们得到A(4,10)；对于t=2，我们得到B(-4,-10)。\n\n最后，我们使用距离公式计算|AB|，即|AB| = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]。\n\n<eoe>\n\n【答案】 |AB| = sqrt[(-4-4)^2 + (-10-10)^2] = sqrt[64+400] = sqrt[464] = 2*sqrt[116] = 2*sqrt[4*29] = 4*sqrt[29]。\n\n<eoa>\n\n(2)【解析】 我们知道极坐标系中的直线方程一般形式为r=cos(θ-θ0)，其中θ0是直线与正x轴的夹角，r是点到原点的距离。为了找到直线AB的极坐标方程，我们首先需要找到直线AB的斜率和它与x轴的夹角。斜率m = (y2-y1)/(x2-x1)，然后我们使用arctan(m)找到θ0。\n\n对于直线AB，我们有m = (-10-10)/(-4-4) = -20/-8 = 5/2。所以θ0 = arctan(5/2)。\n\n然后，我们知道r = x*cos(θ) + y*sin(θ)，将x和y的值代入，我们得到r = 4*cos(θ) - 10*sin(θ)。\n\n<eoe>\n\n【答案】 直线AB的极坐标方程为r = 4*cos(θ) - 10*sin(θ)。\n\n<eoa>" | 【解析】} 【分析】} (1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值; (2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可. 【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$. 令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ (2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$, 则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$. 由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$. |
| baichuan4 | (1)【解析】首先，我们需要找到曲线 $C$ 与坐标轴的交点 $A$ 和 $B$。由于 $A$ 在 $y$ 轴上，$B$ 在 $x$ 轴上，我们可以通过将 $x=0$ 和 $y=0$ 分别代入参数方程来找到它们。 当 $x=0$ 时，我们得到 $2-t-t^2=0$，解这个方程得到 $t=-2$ 或 $t=1$。但由于题目中给出 $t \neq 1$，我们只取 $t=-2$。将 $t=-2$ 代入 $y$ 的方程，得到 $y=2-3(-2)+(-2)^2=2+6+4=12$。因此，$A$ 点的坐标是 $(0,12)$。 当 $y=0$ 时，我们得到 $2-3t+t^2=0$，解这个方程得到 $t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{9-4(1)(2)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2}$。但由于 $t \neq 1$，我们只取 $t=\frac{3+\sqrt{1}}{2}=\frac{3+1}{2}=2$。将 $t=2$ 代入 $x$ 的方程，得到 $x=2-2-2^2=-4$。因此，$B$ 点的坐标是 $(-4,0)$。 现在我们有了 $A(0,12)$ 和 $B(-4,0)$，我们可以使用距离公式来计算 $|AB|$： $$|AB|=\sqrt{(0+4)^2+(12-0)^2}=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}.$$ 【答案】$|AB|=4\sqrt{10}$。 (2)【解析】要求直线 $AB$ 的极坐标方程，我们首先需要找到直线 $AB$ 的直角坐标方程。由于我们已经知道 $A(0,12)$ 和 $B(-4,0)$，我们可以找到直线的斜率 $k=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$。因此，直线的方程是 $y-12=3(x-0)$，即 $y=3x+12$。 在极坐标系中，$x=\rho\cos\theta$ 和 $y=\rho\sin\theta$，其中 $\rho$ 是极径，$\theta$ 是极角。将这些代入直线方程，我们得到： $$\rho\sin\theta=3\rho\cos\theta+12.$$ 为了得到极坐标方程，我们需要解出 $\rho$： $$\rho=\frac{12}{3\cos\theta-\sin\theta}.$$ 【答案】直线 $AB$ 的极坐标方程是 $\rho=\frac{12}{3\cos\theta-\sin\theta}$。 |
【解析】} 【分析】} (1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值; (2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可. 【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$. 令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ (2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$, 则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$. 由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$. |
| doubao | (1)【解析】当$x=0$时，$0=2-t-t^2$，即$t^2+t-2=0$，$(t+2)(t-1)=0$，解得$t=-2$或$t=1$（舍去），当$t=-2$时，$y=2-3\times(-2)+(-2)^2=2+6+4=12$。当$y=0$时，$0=2-3t+t^2$，即$t^2-3t+2=0$，$(t-1)(t-2)=0$，解得$t=1$（舍去）或$t=2$，当$t=2$时，$x=2-2-2^2=-4$。所以$A(0,12)$，$B(-4,0)$，则$|AB|=\sqrt{(0+4)^2+(12-0)^2}=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$。<eoe> 【答案】$|AB|=4\sqrt{10}$。<eoa> (2)【解析】由(1)知$A(0,12)$，$B(-4,0)$，则直线$AB$的斜率为$k=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$，根据点斜式可得直线$AB$的方程为$y=3x+12$，将$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$代入可得$\rho\sin\theta=3\rho\cos\theta+12$，移项可得$\rho\sin\theta-3\rho\cos\theta=12$。<eoe> 【答案】$\rho\sin\theta-3\rho\cos\theta=12$。<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值; (2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可. 【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$. 令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ (2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$, 则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$. 由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$. |
| minimax | (1)【解析】首先，我们需要找到曲线 $C$ 与坐标轴的交点 $A$ 和 $B$。由于 $A$ 点在 $x$ 轴上，因此 $A$ 点的 $y$ 坐标为 $0$。同理，$B$ 点在 $y$ 轴上，所以 $B$ 点的 $x$ 坐标为 $0$。我们可以将 $y=0$ 和 $x=0$ 分别代入曲线 $C$ 的参数方程中，解出 $t$ 的值，从而得到 $A$ 和 $B$ 点的坐标。 对于 $A$ 点，我们有： $$ \left\{\begin{array}{l} x=2-t-t^{2}=0 \\ y=2-3t+t^{2}=0 \end{array}\right. $$ 由于 $x=0$，我们可以直接解出 $t$ 的值。然后将 $t$ 的值代入 $y$ 的方程中求得 $y$ 的值。 对于 $B$ 点，我们有： $$ \left\{\begin{array}{l} x=2-t-t^{2}=0 \\ y=2-3t+t^{2}=0 \end{array}\right. $$ 由于 $y=0$，我们可以直接解出 $t$ 的值。然后将 $t$ 的值代入 $x$ 的方程中求得 $x$ 的值。 求出 $A$ 和 $B$ 点的坐标后，我们可以使用两点之间的距离公式 $|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ 来求出 $|AB|$ 的长度。<eoe> 【答案】对于 $A$ 点，我们有： $$ \left\{\begin{array}{l} x=2-t-t^{2}=0 \\ y=2-3t+t^{2}=0 \end{array}\right. $$ 解第一个方程得 $t^2 + t - 2 = 0$，因式分解得 $(t+2)(t-1)=0$，所以 $t=-2$ 或 $t=1$。由于 $t \neq 1$，我们取 $t=-2$。 将 $t=-2$ 代入 $y$ 的方程中得 $y=2-3(-2)+(-2)^2=2+6+4=12$，所以 $A$ 点的坐标为 $(0, 12)$。 对于 $B$ 点，我们有： $$ \left\{\begin{array}{l} x=2-t-t^{2}=0 \\ y=2-3t+t^{2}=0 \end{array}\right. $$ 解第二个方程得 $t^2 - 3t + 2 = 0$，因式分解得 $(t-1)(t-2)=0$，所以 $t=1$ 或 $t=2$。由于 $t \neq 1$，我们取 $t=2$。 将 $t=2$ 代入 $x$ 的方程中得 $x=2-2-2^2=2-2-4=-4$，所以 $B$ 点的坐标为 $(-4, 0)$。 现在我们有 $A(0, 12)$ 和 $B(-4, 0)$，使用两点之间的距离公式得： $$ |AB| = \sqrt{(-4-0)^2 + (0-12)^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} $$ 所以 $|AB| = 4\sqrt{10}$。<eoa> (2)【解析】在极坐标系中，点的坐标表示为 $(r, \theta)$，其中 $r$ 是点到极点（原点）的距离，$\theta$ 是点与极轴（$x$ 轴正半轴）的夹角。直线的极坐标方程通常表示为 $r = \frac{a}{\cos(\theta - \alpha)}$ 或 $r = \frac{a}{\sin(\theta - \alpha)}$ 的形式，其中 $a$ 是常数，$\alpha$ 是直线与极轴的夹角。 为了找到直线 $AB$ 的极坐标方程，我们需要找到直线的斜率和一个点（可以是原点）。由于直线 $AB$ 通过点 $A(0, 12)$ 和 $B(-4, 0)$，我们可以先求出直线的斜率 $k$。直线的斜率 $k$ 是 $y$ 坐标的差除以 $x$ 坐标的差，即 $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。 然后，我们可以使用点斜式方程 $y - y_1 = k(x - x_1)$ 来表示直线 $AB$，并将其转换为极坐标方程。在极坐标系中，$x = r\cos(\theta)$ 和 $y = r\sin(\theta)$，所以我们可以将 $x$ 和 $y$ 替换为它们的极坐标表达式，并解出 $r$。 最后，我们将得到的 $r$ 表达式转换为 $r = \frac{a}{\cos(\theta - \alpha)}$ 或 $r = \frac{a}{\sin(\theta - \alpha)}$ 的形式，其中 $a$ 和 $\alpha$ 是我们需要确定的常数和角度。<eoe> 【答案】首先，我们求直线 $AB$ 的斜率 $k$： $$ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 12}{-4 - 0} = \frac{-12}{-4} = 3 $$ 所以直线 $AB$ 的斜率为 $3$。 现在我们使用点斜式方程 $y - y_1 = k(x - x_1)$，取点 $A(0, 12)$，得到直线 $AB$ 的方程为： $$ y - 12 = 3(x - 0) $$ $$ y = 3x + 12 $$ 将 $x = r\cos(\theta)$ 和 $y = r\sin(\theta)$ 代入上述方程，得到： $$ r\sin(\theta) = 3r\cos(\theta) + 12 $$ $$ \sin(\theta) = 3\cos(\theta) + \frac{12}{r} $$ 由于我们要求的是极坐标方程，我们需要解出 $r$。我们可以将上述方程转换为关于 $r$ 的方程： $$ r = \frac{12}{\sin(\theta) - 3\cos(\theta)} $$ 为了将其转换为标准形式，我们需要找到一个角度 $\alpha$，使得 $\sin(\alpha) = 3\cos(\alpha)$。由于 $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$，我们可以得到 $\tan(\alpha) = 3$。解这个方程得到 $\alpha$ 的值，然后我们可以写出 $r$ 的表达式。 由于 $\tan(\alpha) = 3$，我们可以构造一个直角三角形，其中对边为 $3$，邻边为 $1$，斜边为 $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$。因此，$\sin(\alpha) = \frac{3}{\sqrt{10}}$，$\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{10}}$。 现在我们可以写出 $r$ 的表达式： $$ r = \frac{12}{\sin(\theta) - 3\cos(\theta)} = \frac{12}{\frac{3}{\sqrt{10}}\cos(\theta) - \frac{1}{\sqrt{10}}\sin(\theta)} $$ $$ r = \frac{12\sqrt{10}}{3\cos(\theta) - \sin(\theta)} $$ $$ r = \frac{12\sqrt{10}}{\sqrt{10}(\frac{3}{\sqrt{10}}\cos(\theta) - \frac{1}{\sqrt{10}}\sin(\theta))} $$ $$ r = \frac{12\sqrt{10}}{\sqrt{10}\sin(\alpha - \theta)} $$ $$ r = \frac{12}{\sin(\alpha - \theta)} $$ 由于 $\sin(\alpha) = \frac{3}{\sqrt{10}}$，$\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{10}}$，我们可以得到 $\sin(\alpha - \theta) = \sin(\alpha)\cos(\theta) - \cos(\alpha)\sin(\theta)$。因此，我们可以将 $r$ 的表达式写为： $$ r = \frac{12}{\ |
【解析】} 【分析】} (1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值; (2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可. 【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$. 令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ (2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$, 则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$. 由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$. |
| kimi | (1)【解析】首先，我们需要找到曲线C与坐标轴的交点A和B。曲线C的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 2 - t - t^2 \\ y = 2 - 3t + t^2 \end{cases} \] 其中t为参数。 为了找到与x轴的交点A，我们需要令y=0，解方程： \[ 2 - 3t + t^2 = 0 \] 解得t的值，然后代入x的方程中求得x的值。 为了找到与y轴的交点B，我们需要令x=0，解方程： \[ 2 - t - t^2 = 0 \] 解得t的值，然后代入y的方程中求得y的值。 求得A和B的坐标后，我们可以使用两点间距离公式计算|AB|。 <eoe> 【答案】 首先，我们解方程2 - 3t + t^2 = 0，这是一个二次方程，可以因式分解为： \[ (t - 1)(2 - t) = 0 \] 解得t = 1 或 t = 2。 当t = 1时，代入x的方程得到x = 0，代入y的方程得到y = 0，所以点A是原点(0,0)。 当t = 2时，代入x的方程得到x = -2，代入y的方程得到y = 2，所以点B的坐标是(-2, 2)。 接下来，我们计算|AB|，使用两点间距离公式： \[ |AB| = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] <eoa> (2)【解析】现在我们需要找到直线AB的极坐标方程。首先，我们需要找到直线AB的直角坐标方程。直线AB的斜率k可以通过两点坐标计算得到： \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{-2 - 0} = -1 \] 所以直线AB的方程为： \[ y = -x \] 接下来，我们需要将这个直角坐标方程转换为极坐标方程。我们知道极坐标和直角坐标之间的关系是： \[ x = \rho \cos \theta \] \[ y = \rho \sin \theta \] 将这两个关系代入直线AB的直角坐标方程中，我们得到： \[ \rho \sin \theta = -\rho \cos \theta \] <eoe> 【答案】 将上述方程化简，我们得到： \[ \tan \theta = -1 \] 所以直线AB的极坐标方程为： \[ \theta = \frac{3\pi}{4} \quad (\rho \in \mathbb{R}) \] <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值; (2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可. 【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$. 令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ (2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$, 则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$. 由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】要求出$|AB|$，首先需要找到$A$和$B$两点的坐标。由题意知，曲线$C$与坐标轴的交点即为$A$和$B$，因此我们需要分别令$x=0$和$y=0$，解出对应的$t$值，再代入参数方程求出$A$和$B$的坐标。然后利用两点间距离公式求出$|AB|$。 【答案】 * 令$x = 0$，解得$t^{2} + t - 2 = 0$，得$t = -2, 1$。由于$t \neq 1$，所以$t = -2$，代入$y = 2 - 3t + t^{2}$得$y = 12$，因此点$A(0,12)$。 * 令$y = 0$，解得$t^{2} - 3t + 2 = 0$，得$t = 1, 2$。由于$t \neq 1$，所以$t = 2$，代入$x = 2 - t - t^{2}$得$x = -4$，因此点$B(-4,0)$。 * 利用两点间距离公式$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}$，代入$A(0,12)$和$B(-4,0)$，得$|AB| = \sqrt{(-4 - 0)^{2} + (0 - 12)^{2}} = 4\sqrt{10}$。 (2)【解析】要求出直线$AB$的极坐标方程，首先需要求出直线$AB$在直角坐标系下的方程，然后通过极坐标与直角坐标的转换公式求出极坐标方程。 【答案】 * 已知点$A(0,12)$和$B(-4,0)$，通过两点式方程$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$，代入$A$和$B$的坐标，得直线$AB$的方程为$3x - y + 12 = 0$。 * 利用极坐标与直角坐标的转换公式$x = \rho\cos\theta, y = \rho\sin\theta$，代入直线$AB$的方程，得$3\rho\cos\theta - \rho\sin\theta + 12 = 0$。 |
【解析】} 【分析】} (1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值; (2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可. 【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$. 令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ (2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$, 则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$. 由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$. |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们需要找到曲线 \( C \) 与坐标轴的交点 \( A \) 和 \( B \)。 1. **求与 \( x \) 轴的交点 \( A \)**: 当 \( y = 0 \) 时，代入参数方程 \( y = 2 - 3t + t^2 \)，得到方程： \[ 2 - 3t + t^2 = 0 \] 这是一个关于 \( t \) 的二次方程，解这个方程： \[ t^2 - 3t + 2 = 0 \] 因式分解得到： \[ (t - 1)(t - 2) = 0 \] 所以 \( t = 1 \) 或 \( t = 2 \)。由于题目中 \( t \neq 1 \)，所以 \( t = 2 \)。 当 \( t = 2 \) 时，代入 \( x = 2 - t - t^2 \) 得到： \[ x = 2 - 2 - 4 = -4 \] 因此，交点 \( A \) 为 \( (-4, 0) \)。 2. **求与 \( y \) 轴的交点 \( B \)**: 当 \( x = 0 \) 时，代入参数方程 \( x = 2 - t - t^2 \)，得到方程： \[ 2 - t - t^2 = 0 \] 这也是一个关于 \( t \) 的二次方程，解这个方程： \[ t^2 + t - 2 = 0 \] 因式分解得到： \[ (t + 2)(t - 1) = 0 \] 所以 \( t = -2 \) 或 \( t = 1 \)。由于题目中 \( t \neq 1 \)，所以 \( t = -2 \)。 当 \( t = -2 \) 时，代入 \( y = 2 - 3t + t^2 \) 得到： \[ y = 2 - 3(-2) + (-2)^2 = 2 + 6 + 4 = 12 \] 因此，交点 \( B \) 为 \( (0, 12) \)。 3. **计算 \( |AB| \)**: \( A \) 和 \( B \) 的坐标分别为 \( (-4, 0) \) 和 \( (0, 12) \)，利用两点间的距离公式： \[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] 代入坐标得到： \[ |AB| = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \] <eoe> 【答案】\( |AB| = 4\sqrt{10} \)<eoa> (2)【解析】 我们需要将直线 \( AB \) 的直角坐标方程转换为极坐标方程。 1. **求直线 \( AB \) 的直角坐标方程**: 直线 \( AB \) 经过点 \( A(-4, 0) \) 和点 \( B(0, 12) \)，我们可以先求出直线的斜率 \( k \)： \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{12 - 0}{0 - (-4)} = \frac{12}{4} = 3 \] 所以直线的方程为： \[ y - y_1 = k(x - x_1) \] 代入点 \( A(-4, 0) \) 和斜率 \( k = 3 \) 得到： \[ y - 0 = 3(x + 4) \] 即： \[ y = 3x + 12 \] 2. **转换为极坐标方程**: 在极坐标系中，\( x = \rho \cos \theta \)，\( y = \rho \sin \theta \)，代入直线方程 \( y = 3x + 12 \) 得到： \[ \rho \sin \theta = 3 \rho \cos \theta + 12 \] 化简得到： \[ \rho (\sin \theta - 3 \cos \theta) = 12 \] 所以极坐标方程为： \[ \rho = \frac{12}{\sin \theta - 3 \cos \theta} \] <eoe> 【答案】直线 \( AB \) 的极坐标方程为 \( \rho = \frac{12}{\sin \theta - 3 \cos \theta} \)<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值; (2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可. 【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$. 令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ (2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$, 则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$. 由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$. |
| gpto1 | (1)【解析】 曲线 $C$ 的参数方程为： $$ \left\{ \begin{aligned} &x=2-t-t^{2} \\ &y=2-3 t+t^{2} \end{aligned} \right. $$ 当曲线 $C$ 与 $x$ 轴交于点 $B$（即 $y=0$）时，有： $$ y=2-3 t+t^{2}=0 \\ \Rightarrow t^{2}-3 t+2=0 \\ \Rightarrow (t-1)(t-2)=0 \\ \Rightarrow t=1 \text{ 或 } t=2 \\ \text{但 } t \neq 1, \text{故 } t=2 $$ 此时： $$ x=2-2-(2)^{2}=-4 $$ 所以点 $B(-4, 0)$。 当曲线 $C$ 与 $y$ 轴交于点 $A$（即 $x=0$）时，有： $$ x=2-t-t^{2}=0 \\ \Rightarrow t^{2}+t-2=0 \\ \Rightarrow t=\frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1 \pm 3}{2} \\ \Rightarrow t=1 \text{ 或 } t=-2 \\ \text{但 } t \neq 1, \text{故 } t=-2 $$ 此时： $$ y=2-3(-2)+(-2)^{2}=2+6+4=12 $$ 所以点 $A(0,12)$。 两点间距离： $$ |A B|=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}=4 \sqrt{10} $$ <eoe> 【答案】(1) $|A B|=4 \sqrt{10}$。<eoa> (2)【解析】 直线 $A B$ 经过点 $A(0,12)$ 和 $B(-4,0)$，其斜率为： $$ k=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}=\frac{12-0}{0-(-4)}=\frac{12}{4}=3 $$ 直线方程为： $$ y-12=3(x-0) \\ \Rightarrow y=3 x+12 $$ 在极坐标系中，$x=r \cos \theta$, $y=r \sin \theta$，代入得： $$ r \sin \theta=3 r \cos \theta+12 \\ \Rightarrow r(\sin \theta-3 \cos \theta)=12 \\ \Rightarrow r=\frac{12}{\sin \theta-3 \cos \theta} $$ 因此，直线 $A B$ 的极坐标方程为： $$ r=\frac{12}{\sin \theta-3 \cos \theta} $$ <eoe> 【答案】(2) 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $r=\dfrac{12}{\sin \theta-3 \cos \theta}$。<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值; (2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可. 【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$. 令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ (2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$, 则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$. 由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$. |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-2c47fcfb-2a66-9de2-9206-3be501319a3f', 'request_id': '2c47fcfb-2a66-9de2-9206-3be501319a3f'} | 【解析】} 【分析】} (1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值; (2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可. 【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$. 令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ (2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$, 则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$. 由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$. |