| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们需要求出函数 \( f(x) = \mathrm{e}^x + x^2 - x \) 的导数，以便讨论其单调性。 \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\mathrm{e}^x + x^2 - x) = \mathrm{e}^x + 2x - 1 \] 接下来，我们需要分析 \( f'(x) \) 的符号。 令 \( f'(x) = 0 \)，则有： \[ \mathrm{e}^x + 2x - 1 = 0 \] 这个方程的解可以通过数值方法求解，但我们可以通过分析其性质来讨论单调性。 考虑 \( f'(x) \) 的变化： 1. 当 \( x \to -\infty \) 时，\( \mathrm{e}^x \to 0 \)，所以 \( f'(x) \approx 2x - 1 \)，显然 \( f'(x) < 0 \)。 2. 当 \( x \to +\infty \) 时，\( \mathrm{e}^x \to +\infty \)，所以 \( f'(x) > 0 \)。 我们可以通过求 \( f'(x) \) 的零点来进一步分析。设 \( g(x) = \mathrm{e}^x + 2x - 1 \)，我们需要找到 \( g(x) = 0 \) 的解。 由于 \( g(x) \) 是一个严格递增函数（因为 \( g'(x) = \mathrm{e}^x + 2 > 0 \) 对所有 \( x \) 都成立），所以 \( g(x) = 0 \) 只有一个解，记为 \( x_0 \)。 因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x < x_0 \) 时单调递减，在 \( x > x_0 \) 时单调递增。 <eoe> 【答案】当 \( a = 1 \) 时，函数 \( f(x) = \mathrm{e}^x + x^2 - x \) 在 \( x < x_0 \) 时单调递减，在 \( x > x_0 \) 时单调递增，其中 \( x_0 \) 是方程 \( \mathrm{e}^x + 2x - 1 = 0 \) 的唯一解。<eoa> (2)【解析】 我们需要找到 \( a \) 的取值范围，使得对于所有 \( x \geq 0 \)，不等式 \( f(x) \geq \frac{1}{2} x^3 + 1 \) 成立。 首先，写出不等式： \[ \mathrm{e}^x + a x^2 - x \geq \frac{1}{2} x^3 + 1 \] 将所有项移到一边，得到： \[ \mathrm{e}^x + a x^2 - x - \frac{1}{2} x^3 - 1 \geq 0 \] 定义函数： \[ g(x) = \mathrm{e}^x + a x^2 - x - \frac{1}{2} x^3 - 1 \] 我们需要确保 \( g(x) \geq 0 \) 对于所有 \( x \geq 0 \)。 首先，考虑 \( x = 0 \) 时： \[ g(0) = \mathrm{e}^0 + a \cdot 0^2 - 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^3 - 1 = 1 - 1 = 0 \] 接下来，考虑 \( g(x) \) 的导数： \[ g'(x) = \mathrm{e}^x + 2ax - 1 - \frac{3}{2} x^2 \] 我们需要分析 \( g'(x) \) 的符号。为了确保 \( g(x) \geq 0 \)，我们需要 \( g'(x) \geq 0 \) 对于所有 \( x \geq 0 \)。 考虑 \( x \to +\infty \) 时，\( \mathrm{e}^x \) 增长得比任何多项式都快，所以 \( g'(x) \) 最终会变为正值。 为了确保 \( g(x) \geq 0 \)，我们需要 \( g'(x) \) 在 \( x \geq 0 \) 时不为负。特别地，我们需要确保 \( g'(x) \) 在 \( x = 0 \) 时为非负： \[ g'(0) = \mathrm{e}^0 + 2a \cdot 0 - 1 - \frac{3}{2} \cdot 0^2 = 1 - 1 = 0 \] 接下来，我们需要确保 \( g'(x) \) 在 \( x > 0 \) 时为非负。由于 \( \mathrm{e}^x \) 增长得比 \( 2ax - 1 - \frac{3}{2} x^2 \) 快，所以 \( g'(x) \) 在 \( x > 0 \) 时最终会变为正值。 因此，\( a \) 的取值范围是所有实数。 <eoe> 【答案】当 \( x \geq 0 \) 时，\( f(x) \geq \frac{1}{2} x^3 + 1 \) 对所有实数 \( a \) 都成立。<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 $x=0$ 的 情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围. 【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$, 由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$, (1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$, 记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$, 令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$, 故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$, 由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立, 故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增; 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减; 因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ， 综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 当 $a=1$ 时，函数为 $f(x)=e^x +x^2 -x$。求导得 $f'(x)=e^x +2x -1$。再求二阶导数 $f''(x)=e^x +2 > 0$，故 $f'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增。令 $f'(x)=0$，代入 $x=0$ 得 $e^0 +0 -1 =0$，即 $x=0$ 是临界点。当 $x<0$ 时，$f'(x)<0$；当 $x>0$ 时，$f'(x)>0$。因此，$f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 单调递减，在 $(0,+\infty)$ 单调递增。 <eoe> 【答案】 函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。 <eoa> (2)【解析】 要求当 $x \geq 0$ 时，$e^x +a x^2 -x \geq \frac{1}{2}x^3 +1$。构造函数 $g(x)=e^x +a x^2 -x - \frac{1}{2}x^3 -1$，需 $g(x) \geq 0$。将不等式改写为 $a \geq \frac{\frac{1}{2}x^3 +x +1 -e^x}{x^2}$（$x>0$）。令 $h(x)=\frac{\frac{1}{2}x^3 +x +1 -e^x}{x^2}$，求其最大值。通过求导分析，$h(x)$ 在 $x=2$ 处取得最大值 $h(2)=\frac{7 -e^2}{4}$。因此，$a$ 的取值范围为 $a \geq \frac{7 -e^2}{4}$。 <eoe> 【答案】 $a$ 的取值范围为 $\left[ \frac{7 - e^2}{4}, +\infty \right)$。 <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 $x=0$ 的 情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围. 【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$, 由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$, (1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$, 记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$, 令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$, 故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$, 由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立, 故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增; 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减; 因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ， 综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$. |
| gpto1 | (1)【解析】 当 $a=1$ 时，函数为 $f(x) = \mathrm{e}^x + x^2 - x$。 求函数的单调性，先求其导数： $$ f'(x) = \mathrm{e}^x + 2x - 1 $$ 研究导函数的符号变化。 当 $x=0$ 时， $$ f'(0) = \mathrm{e}^0 + 0 - 1 = 1 + 0 -1 = 0 $$ 当 $x<0$ 时，$\mathrm{e}^x$ 为正且小于 1，$2x$ 为负，故： $$ f'(x) = \mathrm{e}^x + 2x -1 < 1 + 2x -1 = 2x \quad (\text{因} \mathrm{e}^x < 1)\quad \Rightarrow f'(x) < 0 $$ 当 $x>0$ 时，$\mathrm{e}^x$ 和 $2x$ 都为正，且随着 $x$ 增大，$\mathrm{e}^x$ 指数增长，因此： $$ f'(x) = \mathrm{e}^x + 2x -1 > 0 $$ 因此，$f'(x)$ 在 $x=0$ 处由负变正，故函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，在区间 $(0, +\infty)$ 上单调递增。 <eoe> 【答案】 (1) 当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。<eoa> (2)【解析】 已知对于 $x \geq 0$，有： $$ f(x) \geq \frac{1}{2} x^3 + 1 $$ 即： $$ \mathrm{e}^x + a x^2 - x \geq \frac{1}{2} x^3 + 1 $$ 移项得： $$ \mathrm{e}^x - x + a x^2 - \frac{1}{2} x^3 -1 \geq 0 $$ 令： $$ g(x) = \mathrm{e}^x - x + a x^2 - \frac{1}{2} x^3 -1 $$ 为了保证对于所有 $x \geq 0$，不等式成立，需要找到 $a$ 的取值范围使得 $g(x) \geq 0$。 令： $$ A(x) = \frac{g(x)}{x^2} = \frac{\mathrm{e}^x - x - \frac{1}{2} x^3 -1}{x^2} + a $$ 把 $a$ 看作变量，其余部分为关于 $x$ 的函数。 为了使得 $g(x) \geq 0$，需要： $$ A(x) + a \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a \geq -A(x) $$ 因此，$a$ 的最小值等于 $-A_{\text{max}}(x)$，其中 $A_{\text{max}}(x)$ 是 $A(x)$ 在 $x \geq 0$ 上的最大值。 计算 $A(x)$ 的值： 当 $x=0$ 时： $$ A(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\mathrm{e}^x - x - \frac{1}{2} x^3 -1}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 - x - \frac{1}{2} x^3 -1}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{ \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 }{ x^2 } \right ) = -\frac{1}{2} $$ 当 $x$ 增大时，计算一些典型值： 取 $x=1$： $$ A(1) = \frac{\mathrm{e}^1 -1 - \frac{1}{2} \times 1^3 -1}{1^2} = \frac{ \mathrm{e} - \frac{5}{2} }{1} \approx \frac{2.718 - 2.5}{1} = 0.218 $$ 取 $x=2$： $$ A(2) = \frac{\mathrm{e}^2 -2 - \frac{1}{2} \times 8 -1}{4} = \frac{ \mathrm{e}^2 -13 }{4} \approx \frac{7.389 -13}{4} = -1.4025 $$ 可见 $A(x)$ 在 $x$ 增大时先增大后减小，达到最大值约为 $0.218$。 因此，$a$ 的最小值为： $$ a_{\text{min}} = -A_{\text{max}}(x) = -0.218 $$ 因此，$a \geq -0.218$。 <eoe> 【答案】 (2) 当 $x \geq 0$ 时，$a$ 的取值范围是 $a \geq -0.218$。<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 $x=0$ 的 情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围. 【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$, 由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$, (1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$, 记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$, 令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$, 故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$, 由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立, 故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增; 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减; 因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ， 综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$. |
| GPT-4o | (1)【解析】 当 \( a = 1 \) 时，函数 \( f(x) = \mathrm{e}^x + x^2 - x \)。 首先计算函数的导数： \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\mathrm{e}^x + x^2 - x) = \mathrm{e}^x + 2x - 1 \] 为了讨论单调性，我们需要分析导数的符号。考虑方程 \( f'(x) = 0 \)： \[ \mathrm{e}^x + 2x - 1 = 0 \] 该方程的解可以帮助我们确定函数的单调区间。令 \( g(x) = \mathrm{e}^x + 2x - 1 \)，观察 \( g(x) \) 的变化。 \[ g'(x) = \mathrm{e}^x + 2 \] 由于 \( \mathrm{e}^x > 0 \) 对所有 \( x \) 都成立，所以 \( g'(x) > 0 \) 对所有 \( x \) 都成立。这意味着 \( g(x) \) 是严格递增的函数，因此 \( g(x) = 0 \) 只能有一个解。 通过数值方法或者观察，可以发现近似解在 \( x = 0 \) 附近。试验 \( x = 0 \) 和 \( x = -1 \)： \[ g(0) = \mathrm{e}^0 + 0 - 1 = 0 \] \[ g(-1) = \mathrm{e}^{-1} - 2 - 1 < 0 \] \[ g(1) = \mathrm{e}^1 + 2 - 1 > 0 \] 因此，解 \( x = 0 \) 是 \( g(x) = 0 \) 的唯一解。 由于 \( g(x) \) 在 \( x = 0 \) 处从负变正，说明 \( f'(x) = \mathrm{e}^x + 2x - 1 \) 在 \( x = 0 \) 处有唯一解且此处为极值点： - 当 \( x < 0 \)， \( f'(x) < 0 \)，函数 \( f(x) \) 递减； - 当 \( x > 0 \)， \( f'(x) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 递增。 所以当 \( a = 1 \) 时， \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处有极小值点，函数在 \( (-\infty, 0) \) 上单调递减，在 \( (0, \infty) \) 上单调递增。 <eoe> 【答案】当 \( a = 1 \) 时，函数 \( f(x) = \mathrm{e}^x + x^2 - x \) 在 \( (-\infty, 0) \) 上单调递减，在 \( (0, \infty) \) 上单调递增。<eoa> (2)【解析】 我们需要找到 \( a \) 的取值范围，使得在 \( x \geq 0 \) 时，\( f(x) \geq \frac{1}{2}x^3 + 1 \)。 即，对于 \( x \geq 0 \)： \[ \mathrm{e}^x + a x^2 - x \geq \frac{1}{2} x^3 + 1 \] 我们可以构造一个新的函数： \[ h(x) = \mathrm{e}^x + a x^2 - x - \frac{1}{2} x^3 - 1 \] 我们需要确定 \( h(x) \geq 0 \) 对 \( x \geq 0 \) 成立。 首先计算 \( h(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的值： \[ h(0) = \mathrm{e}^0 + a \cdot 0^2 - 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^3 - 1 = 1 - 1 = 0 \] 接下来计算导数 \( h'(x) \)： \[ h'(x) = \frac{d}{dx} \left( \mathrm{e}^x + a x^2 - x - \frac{1}{2} x^3 - 1 \right) = \mathrm{e}^x + 2ax - 1 - \frac{3}{2} x^2 \] 我们需要确保 \( h'(x) \ge |
【解析】} 【分析】} (1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 $x=0$ 的 情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围. 【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$, 由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$, (1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$, 记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$, 令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$, 故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$, 由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立, 故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增; 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减; 因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ， 综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$. |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 （1）当a=1时,f(x)=e^{x}+x^{2}-x,求出f'(x),根据f'(x)的符号确定f(x)的单调性.(2)根据f(x)\geqslant\frac{1}{2}x^{3}+1,求出a的取值范围.【答案】(1)当a=1时,f(x)=e^{x}+x^{2}-x,则f'(x)=e^{x}+2x-1,令f'(x)=0,得e^{x}+2x-1=0,由此可得x=0,且f'(x)在(-\infty,0)上为负,在(0,+\infty)上为正,所以f(x)在(-\infty,0)上为减函数,在(0,+\infty)上为增函数.(2)当x\geqslant0时,f(x)\geqslant\frac{1}{2}x^{3}+1,即e^{x}+ax^{2}-x\geqslant\frac{1}{2}x^{3}+1,所以a\geqslant\frac{1}{2}x-\frac{e^{x}-x-1}{x^{2}}(x\neq0),令g(x)=\frac{e^{x}-x-1}{x^{2}}(x\neq0),则g'(x)=\frac{e^{x}(x-2)+x+2}{x^{3}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-2)+2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}} |
【解析】} 【分析】} (1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 $x=0$ 的 情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围. 【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$, 由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$, (1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$, 记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$, 令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$, 故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$, 由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立, 故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增; 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减; 因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ， 综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)当a=1时,f(x)=e^{x}+x^{2}-x,f'(x)=e^{x}+2x-1=e^{x}+2(x-\frac{1}{2}),当x<\frac{1}{2}时,f'(x)>0,当x>\frac{1}{2}时,f'(x)>0,所以f(x)在R上单调递增.(2)当x\geqslant0时,f(x)\geqslant\frac{1}{2}x^{3}+1,即e^{x}+ax^{2}-x\geqslant\frac{1}{2}x^{3}+1,整理得\frac{1}{2}x^{3}-ax^{2}+x-e^{x}+1\leqslant0,令g(x)=\frac{1}{2} |
【解析】} 【分析】} (1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 $x=0$ 的 情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围. 【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$, 由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$, (1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$, 记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$, 令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$, 故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$, 由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立, 故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增; 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减; 因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ， 综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 变为 $f(x) = \\mathrm{e}^x + x^2 - x$。为了讨论 $f(x)$ 的单调性，我们需要求其导数 $f'(x)$。\n\n首先，计算 $f(x)$ 的导数：\n\\[ f'(x) = \\frac{d}{dx} (\\mathrm{e}^x + x^2 - x) = \\mathrm{e}^x + 2x - 1 \\]\n\n接下来，分析 $f'(x)$ 的符号。我们需要解 $f'(x) = 0$ 来找到临界点：\n\\[ \\mathrm{e}^x + 2x - 1 = 0 \\]\n\n这个方程没有显式解，因此我们需要分析 $f'(x)$ 的符号变化。考虑 $f'(x)$ 在不同区间的符号：\n\n1. 当 $x < 0$ 时，$\\mathrm{e}^x < 1$，且 $2x - 1 < -1$，因此 $\\mathrm{e}^x + 2x - 1 < 0$，即 $f'(x) < 0$。\n2. 当 $x > 0$ 时，$\\mathrm{e}^x > 1$，且 $2x - 1 > -1$，因此 $\\mathrm{e}^x + 2x - 1 > 0$，即 $f'(x) > 0$。\n\n因此，$f(x)$ 在 $x < 0$ 时单调递减，在 $x > 0$ 时单调递增。\n\n综上所述，$f(x)$ 在 $(-\\infty, 0)$ 上单调递减，在 $(0, +\\infty)$ 上单调递增。<eoe>\n【答案】$f(x)$ 在 $(-\\infty, 0)$ 上单调递减，在 $(0, +\\infty)$ 上单调递增。<eoa>\n\n(2)【解析】 我们需要求 $a$ 的取值范围，使得当 $x \\geq 0$ 时，$f(x) \\geq \\frac{1}{2} x^3 + 1$。即：\n\\[ \\mathrm{e}^x + ax^2 - x \\geq \\frac{1}{2} x^3 + 1 \\]\n\n首先，考虑 $x = 0$ 时：\n\\[ f(0) = \\mathrm{e}^0 + a \\cdot 0^2 - 0 = 1 \\]\n\\[ \\frac{1}{2} \\cdot 0^3 + 1 = 1 \\]\n因此，$f(0) = 1$ 满足不等式。\n\n接下来，考虑 $x > 0$ 时，我们需要 $f(x) \\geq \\frac{1}{2} x^3 + 1$。为了找到 $a$ 的取值范围，我们可以考虑 $f(x)$ 和 $\\frac{1}{2} x^3 + 1$ 的差值：\n\\[ \\mathrm{e}^x + ax^2 - x - \\left( \\frac{1}{2} x^3 + 1 \\right) \\geq 0 \\]\n即：\n\\[ \\mathrm{e}^x + ax^2 - x - \\frac{1}{2} x^3 - 1 \\geq 0 \\]\n\n为了简化分析，我们可以考虑 $x \\to 0^+$ 和 $x \\to +\\infty$ 的极限情况：\n\n1. 当 $x \\to 0^+$ 时，$\\mathrm{e}^x \\approx 1$，$x^2 \\approx 0$，$x \\approx 0$，$\\frac{1}{2} x^3 \\approx 0$，因此不等式近似为 $1 - 1 \\geq 0$，显然成立。\n2. 当 $x \\to +\\infty$ 时，$\\mathrm{e}^x$ 增长非常快，$ax^2$ 和 $\\frac{1}{2} x^3$ 也增长，但 $\\mathrm{e}^x$ 增长更快。因此，我们需要确保 $ax^2$ 的增长速度足够快以抵消 $\\frac{1}{2} x^3$ 的影响。\n\n为了更精确地分析，我们可以考虑 $f(x)$ 的导数和 $\\frac{1}{2} x^3 + 1$ 的导数：\n\\[ f'(x) = \\mathrm{e}^x + 2ax - 1 \\]\n\\[ \\frac{d}{dx} \\left( \\frac{1}{2} x^3 + 1 \\right) = \\frac{3}{2} x^2 \\]\n\n我们需要 $f'(x) \\geq \\frac{3}{2} x^2$，即：\n\\[ \\mathrm{e}^x + 2ax - 1 \\geq \\frac{3}{2} x^2 \\]\n\n考虑 $x \\to +\\infty$ 时，$\\mathrm{e}^x$ 增长非常快，因此 $2ax$ 需要足够大以抵消 $\\frac{3}{2} x^2$ 的影响。通过分析可以得出，$a$ 需要满足 $a \\geq \\frac{1}{2}$。\n\n综上所述，$a$ 的取值范围是 $a \\geq \\frac{1}{2}$。<eoe>\n【答案】$a \\geq \\frac{1}{2}$<eoa>" | 【解析】} 【分析】} (1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 $x=0$ 的 情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围. 【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$, 由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$, (1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$, 记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$, 令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$, 故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$, 由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立, 故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增; 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减; 因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ， 综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 当 $a=1$ 时, 函数 $f(x)=\\mathrm{e}^{x}+x^{2}-x$. 首先求 $f(x)$ 的一阶导数 $f'(x)$ 以讨论其单调性. 有 $f'(x)=\\mathrm{e}^{x}+2x-1$. 接下来, 分析 $f'(x)$ 的符号以确定 $f(x)$ 的单调性. 由于 $\\mathrm{e}^{x}$ 在实数域上始终大于0, 且当 $x>0$ 时, $2x-1$ 也大于0, 故 $f'(x)$ 在 $x>0$ 时始终大于0. 当 $x<0$ 时, 由于 $\\mathrm{e}^{x}$ 的增长速度非常快, $f'(x)$ 也可能大于0. 因此, 我们进一步分析 $f'(x)=0$ 的情况, 以确定 $f(x)$ 的单调性变化点. 但由于 $\\mathrm{e}^{x}$ 的指数增长特性, $f'(x)$ 在 $x<0$ 时可能有零点, 但随着 $x$ 增大, $f'(x)$ 必然大于0. 因此, $f(x)$ 在 $x>0$ 时单调递增, 在 $x<0$ 时的单调性需通过分析 $f'(x)$ 的符号确定.<eoe>\n【答案】 当 $a=1$ 时, $f(x)=\\mathrm{e}^{x}+x^{2}-x$. 一阶导数 $f'(x)=\\mathrm{e}^{x}+2x-1$. 由于 $\\mathrm{e}^{x}$ 在实数域上始终大于0, 因此 $f'(x)$ 在 $x>0$ 时始终大于0, 即 $f(x)$ 在 $x>0$ 时单调递增. 对于 $x<0$, 需要分析 $f'(x)$ 的符号确定 $f(x)$ 的单调性. 但根据 $\\mathrm{e}^{x}$ 的指数增长特性, 可以确定 $f(x)$ 在 $x<0$ 时也单调递增, 因此, 当 $a=1$ 时, $f(x)$ 在实数域上单调递增.<eoa>\n\n(2)【解析】 当 $x \\geq 0$ 时, 要使 $f(x) \\geq \\frac{1}{2} x^{3}+1$ 成立, 即 $\\mathrm{e}^{x}+a x^{2}-x \\geq \\frac{1}{2} x^{3}+1$. 为了求 $a$ 的取值范围, 我们可以通过构造函数 $g(x)=f(x)-\\left(\\frac{1}{2} x^{3}+1\\right)$, 并分析 $g(x)$ 的性质, 特别是 $g(x) \\geq 0$ 的条件. 有 $g(x)=\\mathrm{e}^{x}+a x^{2}-x-\\frac{1}{2} x^{3}-1$. 首先求 $g(x)$ 的一阶导数 $g'(x)$, 有 $g'(x)=\\mathrm{e}^{x}+2ax-1-\\frac{3}{2}x^{2}$. 为了使 $g(x) \\geq 0$, 需要 $g'(x)$ 在 $x \\geq 0$ 时满足一定条件. 由于 $\\mathrm{e}^{x}$ 的指数增长特性, 为了保证 $g(x) \\geq 0$, $2ax-1-\\frac{3}{2}x^{2}$ 不能增长过快, 即 $2a \\leq \\frac{3}{2}x+\\frac{1}{x}$ 在 $x \\geq 0$ 时始终成立. 通过分析 $\\frac{3}{2}x+\\frac{1}{x}$ 的最小值, 可以确定 $a$ 的取值范围.<eoe>\n【答案】 当 $x \\geq 0$ 时, 要使 $f(x) \\geq \\frac{1}{2} x^{3}+1$ 成立, 即 $\\mathrm{e}^{x}+a x^{2}-x \\geq \\frac{1}{2} x^{3}+1$. 构造函数 $g(x)=f(x)-\\left(\\frac{1}{2} x^{3}+1\\right)$, 有 $g(x)=\\mathrm{e}^{x}+a x^{2}-x-\\frac{1}{2} x^{3}-1$. 求 $g(x)$ 的一阶导数 $g'(x)$, 有 $g'(x)=\\mathrm{e}^{x}+2ax-1-\\frac{3}{2}x^{2}$. 为了使 $g(x) \\geq 0$, 需要 $g'(x)$ 在 $x \\geq 0$ 时满足一定条件. 由于 $\\mathrm{e}^{x}$ 的指数增长特性, 为了保证 $g(x) \\geq 0$, 需要 $2ax-1-\\frac{3}{2}x^{2} \\leq 0$ 在 $x \\geq 0$ 时始终成立, 即 $2a \\leq \\frac{3}{2}x+\\frac{1}{x}$ 在 $x \\geq 0$ 时始终成立. 分析 $\\frac{3}{2}x+\\frac{1}{x}$ 的最小值, 由均值不等式可得 $\\frac{3}{2}x+\\frac{1}{x} \\geq 2\\sqrt{\\frac{3}{2}}$, 即 $2a \\leq 2\\sqrt{\\frac{3}{2}}$, 因此 $a \\leq \\sqrt{\\frac{3}{2}}$. 故 $a$ 的取值范围为 $a \\leq \\sqrt{\\frac{3}{2}}$.<eoa>" | 【解析】} 【分析】} (1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 $x=0$ 的 情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围. 【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$, 由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$, (1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$, 记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$, 令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$, 故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$, 由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立, 故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增; 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减; 因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ， 综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$. |
| baichuan4 | (1)【解析】首先，我们需要找到函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，因为导数的符号可以告诉我们函数的单调性。给定的函数是 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+ax^{2}-x$，当 $a=1$ 时，函数变为 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+x^{2}-x$。 计算 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$： $$f'(x) = \frac{d}{dx}(\mathrm{e}^{x}+x^{2}-x) = \mathrm{e}^{x} + 2x - 1.$$ 为了讨论函数的单调性，我们需要判断 $f'(x)$ 的符号。令 $f'(x) = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = 1-\mathrm{e}^{-x}$。这两个点是 $f(x)$ 的可能的单调性改变点。 由于 $\mathrm{e}^{x}$ 是始终正的且随着 $x$ 增加而增加，我们可以看出当 $x > 0$ 时，$f'(x) > 0$，这意味着 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。同样，当 $x < 0$ 时，$f'(x) < 0$，这意味着 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减。在 $x = 0$ 处，函数取得极小值。 综上所述，当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。 【答案】函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。 (2)【解析】根据题目条件，当 $x \geq 0$ 时，有 $f(x) \geq \frac{1}{2}x^{3} + 1$。将 $f(x)$ 的表达式代入不等式中，得到： $$\mathrm{e}^{x} + ax^{2} - x \geq \frac{1}{2}x^{3} + 1.$$ 整理得到： $$ax^{2} - \frac{1}{2}x^{3} + \mathrm{e}^{x} - x - 1 \geq 0.$$ 为了找到 $a$ 的取值范围，我们需要找到上述不等式的最小值。考虑到 $x \geq 0$，我们可以通过求导找到函数的极值点。令 $g(x) = ax^{2} - \frac{1}{2}x^{3} + \mathrm{e}^{x} - x - 1$，则 $g'(x)$ 为： $$g'(x) = 2ax - \frac{3}{2}x^{2} + \mathrm{e}^{x} - 1.$$ 我们需要找到 $g'(x)$ 的零点，这可能需要数值方法或图形方法，因为不容易找到解析解。然而，我们知道 $\mathrm{e}^{x}$ 的增长速度远大于多项式的增长速度，所以当 $x$ 足够大时，$g'(x)$ 会变为正，这意味着 $g(x)$ 在某一点后开始递增。因此，$g(x)$ 的最小值要么在 $x=0$ 处取得，要么在 $g'(x)$ 的某个零点处取得。 将 $x=0$ 代入 $g(x)$ 中，得到 $g(0) = 0 + 0 + 1 - 0 - 1 = 0$。因此，$a$ 的取值范围应该使得 $g(x)$ 在 $x=0$ 时的值为非负，即 $a \geq 0$。 【答案】$a$ 的取值范围为 $[0, +\infty)$。 |
【解析】} 【分析】} (1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 $x=0$ 的 情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围. 【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$, 由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$, (1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$, 记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$, 令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$, 故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$, 由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立, 故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增; 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减; 因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ， 综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$. |
| doubao | (1)【解析】当$a=1$时，$f(x)=e^x+x^2-x$，对$f(x)$求导得$f'(x)=e^x+2x-1$。令$g(x)=e^x+2x-1$，则$g'(x)=e^x+2>0$，所以$g(x)$在$R$上单调递增。又$g(0)=e^0-1=0$，当$x<0$时，$g(x)<0$，即$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；当$x>0$时，$g(x)>0$，即$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增。<eoe> 【答案】当$a=1$时，$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增。<eoa> (2)【解析】当$x \geq 0$时，$f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$，即$e^x+ax^2-x \geq \frac{1}{2}x^3+1$，移项可得$e^x+ax^2-\frac{1}{2}x^3-x-1 \geq 0$。令$h(x)=e^x+ax^2-\frac{1}{2}x^3-x-1$，则$h'(x)=e^x+2ax-\frac{3}{2}x^2-1$。令$m(x)=h'(x)=e^x+2ax-\frac{3}{2}x^2-1$，则$m'(x)=e^x-3x+2a$。令$n(x)=e^x-3x$，则$n'(x)=e^x-3$，当$0 \leq x \leq \ln 3$时，$n'(x)<0$，$n(x)$单调递减；当$x>\ln 3$时，$n'(x)>0$，$n(x)$单调递增。所以$n(x)_{\min}=n(\ln 3)=3-3\ln 3$。要使$h(x) \geq 0$恒成立，则$m'(x) \geq 0$恒成立，即$e^x-3x+2a \geq 0$，所以$2a \geq 3\ln 3-3$，即$a \geq \frac{3}{2}(\ln 3-1)$。当$a \geq \frac{3}{2}(\ln 3-1)$时，$m(x)$单调递增，$m(x) \geq m(0)=0$，所以$h(x)$单调递增，$h(x) \geq h(0)=0$，满足条件。综上，$a$的取值范围是$[\frac{3}{2}(\ln 3-1),+\infty)$。<eoe> 【答案】$a$的取值范围是$[\frac{3}{2}(\ln 3-1),+\infty)$。<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 $x=0$ 的 情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围. 【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$, 由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$, (1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$, 记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$, 令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$, 故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$, 由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立, 故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增; 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减; 因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ， 综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$. |
| minimax | (1)【解析】要讨论函数$f(x)=\mathrm{e}^{x}+a x^{2}-x$在$a=1$时的单调性，我们需要计算其一阶导数$f'(x)$。一阶导数的正负性可以告诉我们函数的增减情况。对于给定的函数，我们可以分别对$\mathrm{e}^{x}$、$ax^2$和$-x$求导，然后将它们相加得到$f'(x)$。对于$\mathrm{e}^{x}$的导数是$\mathrm{e}^{x}$，对于$ax^2$的导数是$2ax$，对于$-x$的导数是$-1$。将这些导数相加，我们得到$f'(x)$。然后，我们可以通过分析$f'(x)$的符号来确定函数的单调性。<eoe> 【答案】首先计算$f(x)$在$a=1$时的一阶导数$f'(x)$： $$f'(x) = \frac{d}{dx}(\mathrm{e}^{x}+x^{2}-x) = \mathrm{e}^{x}+2x-1.$$ 为了讨论$f(x)$的单调性，我们需要确定$f'(x)$的符号。我们可以通过解不等式$f'(x) > 0$和$f'(x) < 0$来找到$f(x)$的增减区间。 解不等式$f'(x) > 0$： $$\mathrm{e}^{x}+2x-1 > 0.$$ 由于$\mathrm{e}^{x}$总是正的，并且随着$x$的增加而增加，我们可以推断出存在某个$x$值，使得$f'(x)$从负变正。为了找到这个点，我们可以考虑$f'(x)$在$x=0$时的值： $$f'(0) = \mathrm{e}^{0}+2\cdot0-1 = 1-1 = 0.$$ 由于$\mathrm{e}^{x}$在$x=0$时的值为1，并且$2x$在$x=0$时也为0，所以$f'(0)=0$。由于$\mathrm{e}^{x}$的增长速度快于$2x$，我们可以推断出存在某个$x>0$，使得$f'(x)>0$。同样，由于$2x$的增长速度快于$\mathrm{e}^{x}$，我们可以推断出存在某个$x<0$，使得$f'(x)<0$。 因此，$f(x)$在$x=0$左侧是单调递减的，在$x=0$右侧是单调递增的。所以，$f(x)$在$x=0$处取得局部最小值。<eoa> (2)【解析】要找出当$x \geq 0$时，$f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$的条件下$a$的取值范围，我们需要比较两个函数$f(x)$和$\frac{1}{2} x^{3}+1$在$x \geq 0$时的大小。我们可以通过考虑它们的差$g(x) = f(x) - (\frac{1}{2} x^{3}+1)$来简化问题。我们需要找出$g(x)$在$x \geq 0$时的最小值，并确保这个最小值大于或等于0。为此，我们可以计算$g(x)$的一阶导数$g'(x)$，然后找出$g'(x)$的零点，这些零点可能是$g(x)$的极值点。我们还需要检查$g(x)$在$x=0$时的值，因为这可能是$g(x)$的最小值。通过这些步骤，我们可以确定$a$的取值范围。<eoe> 【答案】首先定义函数$g(x) = f(x) - (\frac{1}{2} x^{3}+1)$，然后计算$g(x)$的表达式： $$g(x) = \mathrm{e}^{x}+a x^{2}-x - (\frac{1}{2} x^{3}+1) = \mathrm{e}^{x}+a x^{2}-\frac{1}{2} x^{3}-x.$$ 接下来，我们计算$g(x)$的一阶导数$g'(x)$： $$g'(x) = \frac{d}{dx}(\mathrm{e}^{x}+a x^{2}-\frac{1}{2} x^{3}-x) = \mathrm{e}^{x}+2ax-\frac{3}{2} x^{2}-1.$$ 为了找出$g(x)$的极值点，我们需要解方程$g'(x) = 0$： $$\mathrm{e}^{x}+2ax-\frac{3}{2} x^{2}-1 = 0.$$ 这是一个非线性方程，可能没有解析解，但我们可以通过分析来确定$a$的取值范围。 注意到当$x=0$时，$g(x)$的值为： $$g(0) = \mathrm{e}^{0}+a \cdot 0^{2}-\frac{1}{2} \cdot 0^{3}-0 = 1.$$ 因此，为了满足$g(x) \geq 0$，我们需要$g'(x)$在$x \geq 0$时始终非负，这样$g(x)$在$x=0$时取得最小值。 考虑$g'(x)$的导数$g''(x)$： $$g''(x) = \frac{d}{dx}(\mathrm{e}^{x}+2ax-\frac{3}{2} x^{2}-1) = \mathrm{e}^{x}+2a-3x.$$ 为了确保$g'(x)$在$x \geq 0$时始终非负，我们需要$g''(x) \geq 0$。这意味着： $$\mathrm{e}^{x}+2a-3x \geq 0.$$ 由于$\mathrm{e}^{x}$总是正的，我们可以推断出随着$x$的增加，$-3x$会变得越来越负，因此为了保持不等式成立，$2a$必须足够大以抵消$-3x$的影响。这意味着$a$必须大于或等于$\frac{3}{2}x$对所有$x \geq 0$。 因此，为了满足$g(x) \geq 0$，$a$的取值范围应该是$a \geq \frac{3}{2}$。<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 $x=0$ 的 情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围. 【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$, 由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$, (1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$, 记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$, 令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$, 故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$, 由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立, 故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增; 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减; 因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ， 综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$. |
| kimi | (1)【解析】 首先，我们需要求出函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 来讨论其单调性。已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+a x^{2}-x$，当 $a=1$ 时，函数变为 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+x^{2}-x$。 求导得： $$f'(x) = \frac{d}{dx}(\mathrm{e}^{x}+x^{2}-x) = \mathrm{e}^{x} + 2x - 1$$ 接下来，我们需要找出 $f'(x)$ 的符号，以确定函数的单调性。为了找出 $f'(x)$ 的符号，我们可以通过解 $f'(x) = 0$ 来找出临界点。 令 $f'(x) = 0$，得到： $$\mathrm{e}^{x} + 2x - 1 = 0$$ 由于 $\mathrm{e}^{x}$ 总是正的，且随着 $x$ 的增加而增加，我们可以推断出 $f'(x)$ 存在一个唯一的零点，因为 $2x - 1$ 随着 $x$ 的增加而增加，且当 $x$ 趋向负无穷时，$\mathrm{e}^{x}$ 趋向于 0，$2x - 1$ 趋向于负无穷，所以存在一个 $x$ 使得 $f'(x) = 0$。 解这个方程，我们得到 $x = \ln(1-2x)$。由于 $\ln(1-2x)$ 必须在 $x < \frac{1}{2}$ 时才有定义，我们可以得出临界点 $x_0$ 必须满足 $x_0 < \frac{1}{2}$。 当 $x < x_0$ 时，$f'(x) < 0$，函数 $f(x)$ 单调递减；当 $x > x_0$ 时，$f'(x) > 0$，函数 $f(x)$ 单调递增。 <eoe> 【答案】 当 $a=1$ 时，函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+x^{2}-x$ 在 $x < x_0$ 时单调递减，在 $x > x_0$ 时单调递增，其中 $x_0$ 是方程 $\mathrm{e}^{x} + 2x - 1 = 0$ 的解，且 $x_0 < \frac{1}{2}$。<eoa> (2)【解析】 题目要求当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$，我们需要求出 $a$ 的取值范围。 首先，我们将不等式转化为 $a$ 的表达式： $$\mathrm{e}^{x} + a x^{2} - x \geq \frac{1}{2} x^{3} + 1$$ $$a \geq \frac{1}{2} x^{3} - \mathrm{e}^{x} + x - \frac{1}{x^{2}}$$ 令 $g(x) = \frac{1}{2} x^{3} - \mathrm{e}^{x} + x - \frac{1}{x^{2}}$，我们需要找出 $g(x)$ 在 $x \geq 0$ 时的最大值，使得 $a$ 至少为这个最大值。 求导 $g'(x)$ 来找出极值点： $$g'(x) = \frac{3}{2} x^{2} - \mathrm{e}^{x} + 1 + \frac{2}{x^{3}}$$ 为了找出 $g(x)$ 的最大值，我们需要解 $g'(x) = 0$。由于这个方程不容易解析求解，我们可以通过观察 $g(x)$ 的性质来估计 $a$ 的取值范围。 当 $x \to 0$ 时，$g(x) \to -\infty$；当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{2} x^{3}$ 增长速度远大于 $-\mathrm{e}^{x} + x - \frac{1}{x^{2}}$ 的下降速度，所以 $g(x)$ 会趋向于正无穷。 因此，$g(x) |
【解析】} 【分析】} (1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 $x=0$ 的 情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围. 【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$, 由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$, (1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$, 记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$, 令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$, 故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$, 由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立, 故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增; 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减; 因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ， 综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】当$a = 1$时，$f(x) = e^{x} + x^{2} - x$，求导得$f^{\prime}(x) = e^{x} + 2x - 1$。设$g(x) = f^{\prime}(x)$，则$g^{\prime}(x) = e^{x} + 2 > 0$，说明$g(x)$在$R$上单调递增。由于$f^{\prime}(0) = 0$，所以当$x < 0$时，$f^{\prime}(x) < 0$，当$x > 0$时，$f^{\prime}(x) > 0$。因此，$f(x)$在$(-\infty, 0)$上单调递减，在$(0, +\infty)$上单调递增。 【答案】$f(x)$在$(-\infty, 0)$上单调递减，在$(0, +\infty)$上单调递增。 (2)【解析】根据题意，当$x \geq 0$时，$e^{x} + ax^{2} - x \geq \frac{1}{2}x^{3} + 1$，即$a \geq \frac{\frac{1}{2}x^{3} + x + 1 - e^{x}}{x^{2}}$。设$h(x) = \frac{\frac{1}{2}x^{3} + x + 1 - e^{x}}{x^{2}}$，求导得$h^{\prime}(x) = \frac{(2 - x)(e^{x} - \frac{1}{2}x^{2} - x - 1)}{x^{3}}$。设$m(x) = e^{x} - \frac{1}{2}x^{2} - x - 1$，则$m^{\prime}(x) = e^{x} - x - 1$，$m^{\prime\prime}(x) = e^{x} - 1 \geq 0$，说明$m^{\prime}(x)$在$[0, +\infty)$上单调递增。由于$m^{\prime}(0) = 0$，所以$m(x)$在$[0, +\infty)$上单调递增。因此，$h(x)$在$(0, 2)$上单调递增，在$(2, +\infty)$上单调递减。由于$h(0) = \frac{1}{2}$且$\lim_{x \to +\infty} h(x) = \frac{1}{2}$，所以$a \geq \frac{1}{2}$。 【答案】$a$的取值范围是$[\frac{1}{2}, +\infty)$。 |
【解析】} 【分析】} (1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 $x=0$ 的 情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围. 【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$, 由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$, (1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$, 记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$, 令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$, 故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$, 由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立, 故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增; 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减; 因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ， 综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$. |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们需要求出函数 \( f(x) = \mathrm{e}^x + ax^2 - x \) 的导数，以便讨论其单调性。 当 \( a = 1 \) 时，函数变为 \( f(x) = \mathrm{e}^x + x^2 - x \)。 求导数： \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\mathrm{e}^x + x^2 - x) = \mathrm{e}^x + 2x - 1 \] 接下来，我们需要找出导数 \( f'(x) \) 的零点，以确定函数的单调区间。 令 \( f'(x) = 0 \)： \[ \mathrm{e}^x + 2x - 1 = 0 \] 这个方程的解不容易用解析法直接求出，但我们可以通过分析 \( f'(x) \) 的符号变化来讨论单调性。 考虑 \( f'(x) \) 的性质： - 当 \( x \to -\infty \) 时，\( \mathrm{e}^x \to 0 \)，而 \( 2x - 1 \to -\infty \)，所以 \( f'(x) \to -\infty \)。 - 当 \( x = 0 \) 时，\( f'(0) = \mathrm{e}^0 + 2 \cdot 0 - 1 = 0 \)。 - 当 \( x \to \infty \) 时，\( \mathrm{e}^x \to \infty \)，而 \( 2x - 1 \to \infty \)，所以 \( f'(x) \to \infty \)。 进一步分析 \( f'(x) \) 在 \( x = 0 \) 附近的变化： - 对于 \( x < 0 \)，由于 \( \mathrm{e}^x < 1 \)，且 \( 2x - 1 < -1 \)，所以 \( f'(x) < 0 \)，即 \( f(x) \) 在 \( x < 0 \) 时单调递减。 - 对于 \( x > 0 \)，由于 \( \mathrm{e}^x > 1 \)，且 \( 2x - 1 \geq -1 \)，所以 \( f'(x) > 0 \)，即 \( f(x) \) 在 \( x > 0 \) 时单调递增。 综上所述，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处有一个极小值点，在 \( x < 0 \) 时单调递减，在 \( x > 0 \) 时单调递增。 <eoe> 【答案】 当 \( a = 1 \) 时，函数 \( f(x) = \mathrm{e}^x + x^2 - x \) 在 \( x < 0 \) 时单调递减，在 \( x > 0 \) 时单调递增。<eoa> (2)【解析】 我们需要求出 \( a \) 的取值范围，使得对于 \( x \geq 0 \)，有 \( f(x) \geq \frac{1}{2} x^3 + 1 \)。 即： \[ \mathrm{e}^x + ax^2 - x \geq \frac{1}{2} x^3 + 1 \] 整理不等式： \[ \mathrm{e}^x + ax^2 - x - \frac{1}{2} x^3 - 1 \geq 0 \] 定义函数 \( g(x) = \mathrm{e}^x + ax^2 - x - \frac{1}{2} x^3 - 1 \)，我们需要 \( g(x) \geq 0 \) 对于 \( x \geq 0 \)。 首先，计算 \( g(0) \)： \[ g(0) = \mathrm{e}^0 + a \cdot 0^2 - 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^3 - 1 = 1 - 1 = 0 \] 接着，求 \( g(x) \) 的导数： \[ g'(x) = \mathrm{e}^x + 2ax - 1 - \frac{3}{2} x^2 \] 我们需要 \( g'(x) \geq 0 \) 对于 \( x \geq 0 \)，以确保 \( g(x) \) 在 \( x \geq 0 \) 上是非减的。 考虑 \( x = 0 \) 时： \[ g'(0) = \mathrm{e}^0 + 2a \cdot 0 - 1 - \frac{3}{2} \cdot 0^2 = 1 - 1 = 0 \] 再求 \( g''(x) \)： \[ g''(x) = \mathrm{e}^x + 2a - 3x \] 我们需要 \( g''(x) \geq 0 \) 对于 \( x \geq 0 \)，以确保 \( g'(x) \) 在 \( x \geq 0 \) 上是非减的。 考虑 \( x = 0 \) 时： \[ g''(0) = \mathrm{e}^0 + 2a - 3 \cdot 0 = 1 + 2a \] 为了使 \( g''(x) \geq 0 \)，需要： \[ 1 + 2a \geq 0 \] \[ 2a \geq -1 \] \[ a \geq -\frac{1}{2} \] 验证 \( a = -\frac{1}{2} \) 时，是否满足 \( g(x) \geq 0 \) 对于 \( x \geq 0 \)。 当 \( a = -\frac{1}{2} \) 时： \[ g(x) = \mathrm{e}^x - \frac{1}{2} x^2 - x - \frac{1}{2} x^3 - 1 \] 需要验证 \( g(x) \geq 0 \) 对于 \( x \geq 0 \)。 通过进一步分析或数值验证，可以确认 \( a = -\frac{1}{2} \) 是满足条件的。 综上所述，\( a \) 的取值范围为 \( a \geq -\frac{1}{2} \)。 <eoe> 【答案】 当 \( x \geq 0 \) 时，使得 \( f(x) \geq \frac{1}{2} x^3 + 1 \) 的 \( a \) 的取值范围是 \( a \geq -\frac{1}{2} \)。<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 $x=0$ 的 情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围. 【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$, 由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$, (1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$, 记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$, 令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$, 故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$, 由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立, 故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增; 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减; 因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ， 综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$. |
| gpto1 | (1)【解析】 当 $a=1$ 时，函数为 $f(x) = \mathrm{e}^x + x^2 - x$。 求函数的单调性，先求其导数： $$ f'(x) = \mathrm{e}^x + 2x - 1 $$ 研究导函数的符号变化。 当 $x=0$ 时， $$ f'(0) = \mathrm{e}^0 + 0 - 1 = 1 + 0 -1 = 0 $$ 当 $x<0$ 时，$\mathrm{e}^x$ 为正且小于 1，$2x$ 为负，故： $$ f'(x) = \mathrm{e}^x + 2x -1 < 1 + 2x -1 = 2x \quad (\text{因} \mathrm{e}^x < 1)\quad \Rightarrow f'(x) < 0 $$ 当 $x>0$ 时，$\mathrm{e}^x$ 和 $2x$ 都为正，且随着 $x$ 增大，$\mathrm{e}^x$ 指数增长，因此： $$ f'(x) = \mathrm{e}^x + 2x -1 > 0 $$ 因此，$f'(x)$ 在 $x=0$ 处由负变正，故函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，在区间 $(0, +\infty)$ 上单调递增。 <eoe> 【答案】 (1) 当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。<eoa> (2)【解析】 已知对于 $x \geq 0$，有： $$ f(x) \geq \frac{1}{2} x^3 + 1 $$ 即： $$ \mathrm{e}^x + a x^2 - x \geq \frac{1}{2} x^3 + 1 $$ 移项得： $$ \mathrm{e}^x - x + a x^2 - \frac{1}{2} x^3 -1 \geq 0 $$ 令： $$ g(x) = \mathrm{e}^x - x + a x^2 - \frac{1}{2} x^3 -1 $$ 为了保证对于所有 $x \geq 0$，不等式成立，需要找到 $a$ 的取值范围使得 $g(x) \geq 0$。 令： $$ A(x) = \frac{g(x)}{x^2} = \frac{\mathrm{e}^x - x - \frac{1}{2} x^3 -1}{x^2} + a $$ 把 $a$ 看作变量，其余部分为关于 $x$ 的函数。 为了使得 $g(x) \geq 0$，需要： $$ A(x) + a \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a \geq -A(x) $$ 因此，$a$ 的最小值等于 $-A_{\text{max}}(x)$，其中 $A_{\text{max}}(x)$ 是 $A(x)$ 在 $x \geq 0$ 上的最大值。 计算 $A(x)$ 的值： 当 $x=0$ 时： $$ A(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\mathrm{e}^x - x - \frac{1}{2} x^3 -1}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 - x - \frac{1}{2} x^3 -1}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{ \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 }{ x^2 } \right ) = -\frac{1}{2} $$ 当 $x$ 增大时，计算一些典型值： 取 $x=1$： $$ A(1) = \frac{\mathrm{e}^1 -1 - \frac{1}{2} \times 1^3 -1}{1^2} = \frac{ \mathrm{e} - \frac{5}{2} }{1} \approx \frac{2.718 - 2.5}{1} = 0.218 $$ 取 $x=2$： $$ A(2) = \frac{\mathrm{e}^2 -2 - \frac{1}{2} \times 8 -1}{4} = \frac{ \mathrm{e}^2 -13 }{4} \approx \frac{7.389 -13}{4} = -1.4025 $$ 可见 $A(x)$ 在 $x$ 增大时先增大后减小，达到最大值约为 $0.218$。 因此，$a$ 的最小值为： $$ a_{\text{min}} = -A_{\text{max}}(x) = -0.218 $$ 因此，$a \geq -0.218$。 <eoe> 【答案】 (2) 当 $x \geq 0$ 时，$a$ 的取值范围是 $a \geq -0.218$。<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 $x=0$ 的 情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围. 【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$, 由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$, (1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$, 记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$, 令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$, 故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$, 由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立, 故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增; 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减; 因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ， 综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$. |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-272f669b-8df0-9d69-b62e-d7054de0765d', 'request_id': '272f669b-8df0-9d69-b62e-d7054de0765d'} | 【解析】} 【分析】} (1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 $x=0$ 的 情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围. 【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$, 由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$, (1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$, 记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$, 令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$, 则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$, 故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$, 故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$, 由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立, 故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增; 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减; 因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ， 综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$. |