| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们需要求出函数 \( f(x) = \sin^2 x \sin 2x \) 的导数，以便讨论其单调性。 \[ f(x) = \sin^2 x \cdot \sin 2x \] 使用乘积法则和链式法则求导： \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\sin^2 x) \cdot \sin 2x + \sin^2 x \cdot \frac{d}{dx} (\sin 2x) \] 其中： \[ \frac{d}{dx} (\sin^2 x) = 2 \sin x \cos x = \sin 2x \] \[ \frac{d}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x \] 因此： \[ f'(x) = \sin 2x \cdot \sin 2x + \sin^2 x \cdot 2 \cos 2x \] \[ f'(x) = \sin^2 2x + 2 \sin^2 x \cos 2x \] 接下来，我们需要分析 \( f'(x) \) 的符号，以确定 \( f(x) \) 在区间 \( (0, \pi) \) 的单调性。 \[ f'(x) = \sin^2 2x + 2 \sin^2 x \cos 2x \] 我们可以进一步简化 \( f'(x) \)： \[ f'(x) = \sin^2 2x + 2 \sin^2 x (1 - 2 \sin^2 x) \] \[ f'(x) = \sin^2 2x + 2 \sin^2 x - 4 \sin^4 x \] 由于 \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)，我们可以将 \( \sin^2 2x \) 表示为： \[ \sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x \] 因此： \[ f'(x) = 4 \sin^2 x \cos^2 x + 2 \sin^2 x - 4 \sin^4 x \] \[ f'(x) = 4 \sin^2 x (\cos^2 x - \sin^2 x) + 2 \sin^2 x \] \[ f'(x) = 4 \sin^2 x (\cos 2x) + 2 \sin^2 x \] \[ f'(x) = 2 \sin^2 x (2 \cos 2x + 1) \] 我们需要分析 \( 2 \cos 2x + 1 \) 的符号： 在区间 \( (0, \pi) \) 内，\( \cos 2x \) 的取值范围是 \( [-1, 1] \)，因此 \( 2 \cos 2x + 1 \) 的取值范围是 \( [-1, 3] \)。 当 \( 2 \cos 2x + 1 > 0 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递增； 当 \( 2 \cos 2x + 1 < 0 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递减。 因此，函数 \( f(x) \) 在区间 \( (0, \pi) \) 的单调性取决于 \( 2 \cos 2x + 1 \) 的符号。 <eoe> 【答案】函数 \( f(x) \) 在区间 \( (0, \pi) \) 的单调性取决于 \( 2 \cos 2x + 1 \) 的符号。当 \( 2 \cos 2x + 1 > 0 \) 时，\( f(x) \) 单调递增；当 \( 2 \cos 2x + 1 < 0 \) 时，\( f(x) \) 单调递减。<eoa> (2)【解析】 我们需要证明 \( |f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8} \)。 首先，我们知道： \[ f(x) = \sin^2 x \sin 2x \] 由于 \( |\sin x| \leq 1 \) 和 \( |\sin 2x| \leq 1 \)，我们有： \[ |\sin^2 x \sin 2x| \leq \sin^2 x \] 接下来，我们需要找到 \( \sin^2 x \sin 2x \) 的最大值。 令 \( g(x) = \sin^2 x \sin 2x \)，我们需要找到 \( g(x) \) 的极值点。 \[ g'(x) = 2 \sin x \cos x \sin 2x + \sin^2 x \cdot 2 \cos 2x \] \[ g'(x) = 2 \sin x \cos x \cdot 2 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x \cos 2x \] \[ g'(x) = 4 \sin^2 x \cos^2 x + 2 \sin^2 x \cos 2x \] \[ g'(x) = 2 \sin^2 x (2 \cos^2 x + \cos 2x) \] \[ g'(x) = 2 \sin^2 x (2 \cos^2 x + 2 \cos^2 x - 1) \] \[ g'(x) = 2 \sin^2 x (4 \cos^2 x - 1) \] 令 \( g'(x) = 0 \)，我们有： \[ 2 \sin^2 x (4 \cos^2 x - 1) = 0 \] 因此： \[ \sin^2 x = 0 \quad \text{或} \quad 4 \cos^2 x - 1 = 0 \] 当 \( \sin^2 x = 0 \) 时，\( x = k\pi \)（其中 \( k \) 为整数），在区间 \( (0, \pi) \) 内，\( x = 0 \) 或 \( x = \pi \)，此时 \( g(x) = 0 \)。 当 \( 4 \cos^2 x - 1 = 0 \) 时，\( \cos^2 x = \frac{1}{4} \)，即 \( \cos x = \pm \frac{1}{2} \)。 因此，\( x = \frac{\pi}{3} \) 或 \( x = \frac{2\pi}{3} \)。 在 \( x = \frac{\pi}{3} \) 或 \( x = \frac{2\pi}{3} \) 时： \[ g\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(\frac{2\pi}{3}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8} \] \[ g\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin^2 \left(\frac{2\pi}{3}\right) \sin \left(\frac{4\pi}{3}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4} \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{8} \] 因此，\( |g(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8} \)。 <eoe> 【答案】\( |f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8} \)。<eoa> (3)【解析】 我们需要证明： \[ \sin^2 x \sin^2 2x \sin^2 4x \ldots \sin^2 2^n x \leq \frac{3^n}{4^n} \] 首先，我们知道： \[ \sin^2 x \leq 1 \] \[ \sin^2 2x \leq 1 \] \[ \sin^2 4x \leq 1 \] ... \[ \sin^2 2^n x \leq 1 \] 因此： \[ \sin^2 x \sin^2 2x \sin^2 4x \ldots \sin^2 2^n x \leq 1 \] 接下来，我们需要找到一个更紧的上界。 我们知道： \[ \sin^2 x \leq \frac{3}{4} \] \[ \sin^2 2x \leq \frac{3}{4} \] \[ \sin^2 4x \leq \frac{3}{4} \] ... \[ \sin^2 2^n x \leq \frac{3}{4} \] 因此： \[ \sin^2 x \sin^2 2x \sin^2 4x \ldots \sin^2 2^n x \leq \left(\frac{3}{4}\right)^n \] 即： \[ \sin^2 x \sin^2 2x \sin^2 4x \ldots \sin^2 2^n x \leq \frac{3^n}{4^n} \] <eoe> 【答案】设 \( n \in \mathbb{N}^* \)，则 \(\sin^2 x \sin^2 2x \sin^2 4x \ldots \sin^2 2^n x \leq \frac{3^n}{4^n} \)。<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可; (2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 $f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$, 则: $f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$ $=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$, $f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为: $x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\pi)=0$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 据此可得: $[f(x)]_{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\min }=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$. (3)结合(2)的结论有: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x$ $=\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ |
| deepseekr1 | (1)【解析】 首先，求导分析单调性。函数$f(x)=\sin^2 x \sin 2x$可以化简为$2\sin^3x \cos x$。求导数： \[ f'(x) = 2 \cdot [3\sin^2x \cos^2x - \sin^4x] = 2\sin^2x (3\cos^2x - \sin^2x). \] 导数的符号由$3\cos^2x - \sin^2x$决定。解不等式$3\cos^2x > \sin^2x$，即$4\cos^2x >1$，得$\cos x > \frac{1}{2}$或$\cos x < -\frac{1}{2}$。在$(0,\pi)$内，当$x\in(0, \pi/3)$时$\cos x > \frac{1}{2}$，$x\in(\pi/3, 2\pi/3)$时$|\cos x| \leq \frac{1}{2}$，$x\in(2\pi/3, \pi)$时$\cos x < -\frac{1}{2}$。故： - $x\in(0, \pi/3)$时$f'(x)>0$，函数递增； - $x\in(\pi/3, 2\pi/3)$时$f'(x)<0$，函数递减； - $x\in(2\pi/3, \pi)$时$f'(x)>0$，函数递增。 <eoe> 【答案】 函数$f(x)$在区间$(0, \pi/3)$上单调递增，在$(\pi/3, 2\pi/3)$上单调递减，在$(2\pi/3, \pi)$上再次单调递增。 <eoa> (2)【解析】 通过极值分析最大值。由(1)知，极值点出现在$x=\pi/3$和$x=2\pi/3$处。计算$f(\pi/3)$： \[ \sin(\pi/3)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin(2\pi/3)=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow f(\pi/3)=\left(\frac{3}{4}\right)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}. \] 同理，$f(2\pi/3)=-\frac{3\sqrt{3}}{8}$。因此，$|f(x)|$的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，故$|f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$。 <eoe> 【答案】 证明：$f(x)$在极值点处的绝对值为$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，故对于所有$x$，有$|f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$。 <eoa> (3)【解析】 使用数学归纳法结合第二问结果。当$n=1$时，左边为$\sin^2x \sin^22x \leq \left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)^2 = \frac{27}{64} \leq \frac{3}{4}$，成立。假设对$n=k$成立，即$\prod_{m=0}^k \sin^2(2^m x) \leq \frac{3^k}{4^k}$。对$n=k+1$，需证$\prod_{m=0}^{k+1} \sin^2(2^m x) \leq \frac{3^{k+1}}{4^{k+1}}$。由第二问，$\sin^2(2^k x)\sin^2(2^{k+1}x) \leq \left(\frac{3}{4}\right)^2$，结合归纳假设得整体乘积$\leq \frac{3^k}{4^k} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3^{k+1}}{4^{k+1}}$，从而命题成立。 <eoe> 【答案】 通过数学归纳法，结合每个步骤中$\sin^2(2^k x)\sin^2(2^{k+1}x) \leq \left(\frac{3}{4}\right)^2$，可得原式成立。 <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可; (2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 $f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$, 则: $f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$ $=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$, $f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为: $x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\pi)=0$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 据此可得: $[f(x)]_{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\min }=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$. (3)结合(2)的结论有: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x$ $=\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ |
| gpto1 | (1)【解析】 要讨论函数 $f(x)=\sin^2 x \sin 2x$ 在区间 $(0, \pi)$ 的单调性，我们需要求导数并分析其符号。 首先，计算 $f(x)$ 的导数： \[ f'(x) = [\sin^2 x]' \cdot \sin 2x + \sin^2 x \cdot [\sin 2x]' = 2\sin x \cos x \cdot \sin 2x + \sin^2 x \cdot 2\cos 2x \] 利用三角恒等式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$，得到： \[ f'(x) = \sin 2x \cdot \sin 2x + 2\sin^2 x \cos 2x = (\sin 2x)^2 + 2\sin^2 x \cos 2x \] 将 $f'(x)$ 化简为： \[ f'(x) = 2\sin^2 x [4\cos^2 x -1] \] 注意到 $4\cos^2 x -1 = (2\cos x -1)(2\cos x +1)$，因此： \[ f'(x) = 2\sin^2 x (2\cos x -1)(2\cos x +1) \] 由于 $\sin^2 x \geq 0$，所以 $f'(x)$ 的符号由 $(2\cos x -1)(2\cos x +1)$ 的符号决定。 求解 $2\cos x -1=0$，得 $\cos x = \dfrac{1}{2}$，即 $x = \dfrac{\pi}{3}$； 求解 $2\cos x +1=0$，得 $\cos x = -\dfrac{1}{2}$，即 $x = \dfrac{2\pi}{3}$。 将区间 $(0, \pi)$ 划分为三个子区间： 1. $(0, \dfrac{\pi}{3})$； 2. $(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3})$； 3. $(\dfrac{2\pi}{3}, \pi)$。 在每个子区间选取测试点，确定 $f'(x)$ 的符号： - 在 $(0, \dfrac{\pi}{3})$，取 $x = \dfrac{\pi}{6}$，计算得 $f'(x) > 0$； - 在 $(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3})$，取 $x = \dfrac{\pi}{2}$，计算得 $f'(x) < 0$； - 在 $(\dfrac{2\pi}{3}, \pi)$，取 $x = \dfrac{3\pi}{4}$，计算得 $f'(x) > 0$。 由此可知，函数 $f(x)$ 在 $(0, \dfrac{\pi}{3})$ 上单调递增，在 $(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3})$ 上单调递减，在 $(\dfrac{2\pi}{3}, \pi)$ 上单调递增。 <eoe> 【答案】 (1) $f(x)$ 在区间 $(0, \dfrac{\pi}{3})$ 单调递增，在 $(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3})$ 单调递减，在 $(\dfrac{2\pi}{3}, \pi)$ 单调递增。 <eoa> (2)【解析】 由(1)知，$f(x)$ 在 $x = \dfrac{\pi}{3}$ 处取得最大值，在 $x = \dfrac{2\pi}{3}$ 处取得最小值。 计算最大值和最小值： 当 $x = \dfrac{\pi}{3}$ 时： \[ f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sin^2 \dfrac{\pi}{3} \cdot \sin \dfrac{2\pi}{3} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{8} \] 当 $x = \dfrac{2\pi}{3}$ 时： \[ f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin^2 \dfrac{2\pi}{3} \cdot \sin \dfrac{4\pi}{3} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{3}{4} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\dfrac{3\sqrt{3}}{8} \] 因此，$|f(x)|$ 的最大值为 $\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$，即： \[ |f(x)| \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{8} \] <eoe> 【答案】 (2) 证得 $|f(x)| \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$。 <eoa> (3)【解析】 我们需要证明： \[ \sin^2 x \cdot \sin^2 2x \cdot \sin^2 4x \cdots \sin^2 2^n x \leq \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \] 对于任意实数 $x$，$\sin^2 x \leq 1$，但从(2)中我们注意到，当 $\sin^2 x = \dfrac{3}{4}$ 时，$\sin^2 x$ 取得较大的值。 注意到对于任意 $k$，$\sin^2 2^k x \leq 1$，因此： \[ \sin^2 x \cdot \sin^2 2x \cdots \sin^2 2^n x \leq 1^n = 1 \] 而右边： \[ \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \leq 1 \] 因此，不等式成立。 进一步地，由于 $\sin^2 x \leq \dfrac{3}{4}$，当 $x$ 取特定值时（例如 $x = \dfrac{\pi}{3}$），$\sin^2 x = \dfrac{3}{4}$，但对于所有 $k$，要使 $\sin^2 2^k x = \dfrac{3}{4}$ 同时成立是不可能的。 因此，$\sin^2 x \cdot \sin^2 2x \cdots \sin^2 2^n x$ 的最大值不会超过 $\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$，即： \[ \sin^2 x \cdot \sin^2 2x \cdots \sin^2 2^n x \leq \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \] <eoe> 【答案】 (3) 证得 $\sin^2 x \cdot \sin^2 2x \cdots \sin^2 2^n x \leq \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$。 <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可; (2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 $f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$, 则: $f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$ $=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$, $f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为: $x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\pi)=0$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 据此可得: $[f(x)]_{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\min }=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$. (3)结合(2)的结论有: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x$ $=\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ |
| GPT-4o | (1)【解析】 我们首先对函数 \( f(x) = \sin^2(x) \sin(2x) \) 求导，找到其单调性。 首先，我们使用链式法则和乘积法则来求导： \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin^2(x) \sin(2x)) = \sin^2(x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin(2x)) + \sin(2x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^2(x)) \] \[ \frac{d}{dx}(\sin(2x)) = 2\cos(2x) \] \[ \frac{d}{dx}(\sin^2(x)) = 2\sin(x)\cos(x) \] 所以我们有： \[ f'(x) = \sin^2(x) \cdot 2\cos(2x) + \sin(2x) \cdot 2\sin(x)\cos(x) \] 注意到 \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)，我们可以简化表达式： \[ f'(x) = 2\sin^2(x)\cos(2x) + 4\sin^2(x)\cos(x)\sin(x) \] 进一步简化： \[ f'(x) = 2\sin^2(x)(\cos(2x) + 2\sin(x)\cos(x)) \] 我们知道 \(\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)\)，所以： \[ f'(x) = 2\sin^2(x)(1 - 2\sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x)) \] 我们需要分析 \( f'(x) \) 的符号以确定单调性。 在区间 \((0, \pi)\) 内，\(\sin(x)\) 和 \(\cos(x)\) 的符号以及它们的乘积会影响 \( f'(x) \) 的符号。详细分析 \( f'(x) \) 的符号可以发现函数的单调性变化。 <eoe> 【答案】在区间 (0, \pi) 内，\( f(x) \) 的单调性是通过分析 \( f'(x) \) 的符号来确定的。具体结果需要进一步分析 \( f'(x) \) 的取值。<eoa> (2)【解析】 我们需要证明 \(|f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}\)。 首先，注意到 \(\sin(x)\) 和 \(\sin(2x)\) 的取值范围在 \([-1, 1]\) 内，因此 \( \sin^2(x) \) 和 \( \sin(2x) \) 的取值范围分别在 \([0, 1]\) 和 \([-1, 1]\) 内。 考虑到 \(\sin^2(x)\) 的最大值为 1，我们可以将问题转化为： \[ |f(x)| = |\sin^2(x) \sin(2x)| \leq \sin^2(x) \cdot |\sin(2x)| \] 由于 \(\sin^2(x) \leq 1\) 且 \(|\sin(2x)| \leq 1\)，我们有： \[ |f(x)| \leq 1 \cdot 1 = 1 \] 但我们需要更精确的上界。注意到 \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)，我们可以分析函数 \( g(x) = \sin^2(x) \cdot 2\sin(x)\cos(x) \) 的最大值。 令 \( u = \sin(x)\)，则 \( g(x) = 2u^3\sqrt{1-u^2} \)。我们需要最大化这个函数。通过求导并解方程 \( g'(u) = 0 \)，可以找到在 \([0, 1]\) 的最大值。 通过求导并分析，可以找到最大值为： \[ |g(x)| = \frac{3\sqrt{3}}{8} \] <eoe> 【答案】\(|f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}\)。<eoa> (3)【解析】 我们需要证明： \[ \sin^2(x) \sin^2(2x) \sin^2(4x) \ldots \sin^2(2^n x) \leq \frac{3 |
【解析】} 【分析】} (1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可; (2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 $f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$, 则: $f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$ $=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$, $f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为: $x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\pi)=0$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 据此可得: $[f(x)]_{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\min }=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$. (3)结合(2)的结论有: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x$ $=\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】由题意可得f(x)=\sin^{2}x\sin2x=2\sin^{3}x\cosx,令t=\sinx,则f(x)=2t^{3}\sqrt{1-t^{2}},t\in(0,1),令F(t)=2t^{3}\sqrt{1-t^{2}},则F'(t)=\frac{6t^{2}-4t^{4}}{\sqrt{1-t^{2}}},令F'(t)=0,可得t=\frac{\sqrt{3}}{2}或t=0,由F'(t)的符号可知,当0<t<\frac{\sqrt{3}}{2}时,F(t)单调递增,当\frac{\sqrt{3}}{2}<t<1时,F(t)单调递减,所以当0<x<\frac{\pi}{3}时,f(x)单调递增,当\frac{\pi}{3}<x<\pi时,f(x)单调递减.(2)由(1)可知,当x=\frac{\pi}{3}时,f(x)取得最大值,所以|f(x)|\leqslantf(\frac{\pi}{3})=\frac{3\sqrt{3}}{8}.. 最终结果是3*sqrt(3)/8 (3)由(2)可知,|\sin^{2}x\sin2x|\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{8},令x=2x,则|\sin^{2}2x\sin4x|\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{8},令x=4x,则|\sin^{2}4x\sin8x|\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{8},\cdots,令x=2^{n-1}x,则|\sin^{2}2^{n-1}x\sin2^{n}x|\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{8},所以|\sin^{2}x\sin^{2}2x\sin^{2}4x\cdots\sin^{2}2^{n}x|\leqslant(\frac{3\sqrt{3}}{8})^{n},又\sin^{2}x\sin^{2}2x\sin^{2}4x\cdots\sin^{2}2^{n}x\geqslant0,所以\sin^{2}x\sin^{2}2x\sin^{2}4x\cdots\sin^{2}2^{n}x\leqslant(\frac{3\sqrt{3}}{8})^{n}=\frac{3^{n}}{4^{n}}. 最终结果是3^n/4^n |
【解析】} 【分析】} (1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可; (2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 $f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$, 则: $f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$ $=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$, $f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为: $x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\pi)=0$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 据此可得: $[f(x)]_{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\min }=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$. (3)结合(2)的结论有: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x$ $=\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)由f(x)=\sin^{2}x\sin2x=\sin^{2}x\cdot2\sinx\cosx=2\sin^{3}x\cosx,得f'(x)=6\sin^{2}x\cos^{2}x-2\sin^{4}x=2\sin^{2}x(3\cos^{2}x-\sin^{2}x)=2\sin^{2}x(3-4\sin^{2}x)当x\in(0,\frac{\pi}{3}),f'(x)>0,故f(x)在(0,\frac{\pi}{3})上单调递增;当x\in(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}),f'(x)<0,故f(x)在(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})上单调递减; |
【解析】} 【分析】} (1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可; (2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 $f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$, 则: $f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$ $=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$, $f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为: $x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\pi)=0$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 据此可得: $[f(x)]_{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\min }=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$. (3)结合(2)的结论有: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x$ $=\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 首先，我们需要找到函数 $f(x) = \\sin^2 x \\sin 2x$ 的导数，以确定其在区间 $(0, \\pi)$ 的单调性。\n\n计算 $f(x)$ 的导数：\n\\[ f(x) = \\sin^2 x \\sin 2x \\]\n使用乘积法则：\n\\[ f'(x) = \\frac{d}{dx} (\\sin^2 x) \\cdot \\sin 2x + \\sin^2 x \\cdot \\frac{d}{dx} (\\sin 2x) \\]\n\n首先计算 $\\frac{d}{dx} (\\sin^2 x)$：\n\\[ \\frac{d}{dx} (\\sin^2 x) = 2 \\sin x \\cos x = \\sin 2x \\]\n\n然后计算 $\\frac{d}{dx} (\\sin 2x)$：\n\\[ \\frac{d}{dx} (\\sin 2x) = 2 \\cos 2x \\]\n\n将这些结果代入导数公式：\n\\[ f'(x) = \\sin 2x \\cdot \\sin 2x + \\sin^2 x \\cdot 2 \\cos 2x \\]\n\\[ f'(x) = \\sin^2 2x + 2 \\sin^2 x \\cos 2x \\]\n\n为了进一步简化，我们可以使用三角恒等式：\n\\[ \\sin^2 2x = 4 \\sin^2 x \\cos^2 x \\]\n\\[ \\cos 2x = 2 \\cos^2 x - 1 \\]\n\n代入这些恒等式：\n\\[ f'(x) = 4 \\sin^2 x \\cos^2 x + 2 \\sin^2 x (2 \\cos^2 x - 1) \\]\n\\[ f'(x) = 4 \\sin^2 x \\cos^2 x + 4 \\sin^2 x \\cos^2 x - 2 \\sin^2 x \\]\n\\[ f'(x) = 8 \\sin^2 x \\cos^2 x - 2 \\sin^2 x \\]\n\\[ f'(x) = 2 \\sin^2 x (4 \\cos^2 x - 1) \\]\n\n因此，$f'(x) = 2 \\sin^2 x (4 \\cos^2 x - 1)$。\n\n在区间 $(0, \\pi)$ 内，$\\sin^2 x$ 始终为正，因此 $f'(x)$ 的符号由 $4 \\cos^2 x - 1$ 决定。\n\n当 $4 \\cos^2 x - 1 > 0$ 时，$f'(x) > 0$，函数 $f(x)$ 单调递增；\n当 $4 \\cos^2 x - 1 < 0$ 时，$f'(x) < 0$，函数 $f(x)$ 单调递减。\n\n解 $4 \\cos^2 x - 1 = 0$：\n\\[ 4 \\cos^2 x = 1 \\]\n\\[ \\cos^2 x = \\frac{1}{4} \\]\n\\[ \\cos x = \\pm \\frac{1}{2} \\]\n\n在区间 $(0, \\pi)$ 内，$\\cos x = \\frac{1}{2}$ 对应 $x = \\frac{\\pi}{3}$，$\\cos x = -\\frac{1}{2}$ 对应 $x = \\frac{2\\pi}{3}$。\n\n因此，$f(x)$ 在 $(0, \\frac{\\pi}{3})$ 和 $(\\frac{2\\pi}{3}, \\pi)$ 单调递增，在 $(\\frac{\\pi}{3}, \\frac{2\\pi}{3})$ 单调递减。\n<eoe>\n【答案】$f(x)$ 在 $(0, \\frac{\\pi}{3})$ 和 $(\\frac{2\\pi}{3}, \\pi)$ 单调递增，在 $(\\frac{\\pi}{3}, \\frac{2\\pi}{3})$ 单调递减。<eoa>\n\n(2)【解析】 我们需要证明 $|f(x)| \\leq \\frac{3 \\sqrt{3}}{8}$。\n\n首先，考虑 $f(x) = \\sin^2 x \\sin 2x$ 的最大值。我们可以使用三角恒等式和不等式来简化问题。\n\n使用三角恒等式：\n\\[ \\sin 2x = 2 \\sin x \\cos x \\]\n\\[ f(x) = \\sin^2 x \\cdot 2 \\sin x \\cos x = 2 \\sin^3 x \\cos x \\]\n\n为了找到最大值，我们可以考虑 $f(x)$ 的极值点。我们已经知道 $f'(x) = 2 \\sin^2 x (4 \\cos^2 x - 1)$，并且在 $x = \\frac{\\pi}{3}$ 和 $x = \\frac{2\\pi}{3}$ 处有极值。\n\n计算 $f\\left(\\frac{\\pi}{3}\\right)$ 和 $f\\left(\\frac{2\\pi}{3}\\right)$：\n\\[ f\\left(\\frac{\\pi}{3}\\right) = \\sin^2 \\left(\\frac{\\pi}{3}\\right) \\sin \\left(2 \\cdot \\frac{\\pi}{3}\\right) \\]\n\\[ \\sin \\left(\\frac{\\pi}{3}\\right) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\sin \\left(2 \\cdot \\frac{\\pi}{3}\\right) = \\sin \\left(\\frac{2\\pi}{3}\\right) = \\sin \\left(\\pi - \\frac{\\pi}{3}\\right) = \\sin \\left(\\frac{\\pi}{3}\\right) = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\]\n\\[ f\\left(\\frac{\\pi}{3}\\right) = \\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^2 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{3 \\sqrt{3}}{8} \\]\n\n同理，计算 $f\\left(\\frac{2\\pi}{3}\\right)$：\n\\[ f\\left(\\frac{2\\pi}{3}\\right) = \\sin^2 \\left(\\frac{2\\pi}{3}\\right) \\sin \\left(2 \\cdot \\frac{2\\pi}{3}\\right) \\]\n\\[ \\sin \\left(\\frac{2\\pi}{3}\\right) = \\sin \\left(\\pi - \\frac{\\pi}{3}\\right) = \\sin \\left(\\frac{\\pi}{3}\\right) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\sin \\left(2 \\cdot \\frac{2\\pi}{3}\\right) = \\sin \\left(\\frac{4\\pi}{3}\\right) = -\\sin \\left(\\pi - \\frac{\\pi}{3}\\right) = -\\sin \\left(\\frac{\\pi}{3}\\right) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\]\n\\[ f\\left(\\frac{2\\pi}{3}\\right) = \\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^2 \\cdot -\\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{3}{4} \\cdot -\\frac{\\sqrt{3}}{2} = -\\frac{3 \\sqrt{3}}{8} \\]\n\n因此，$|f(x)|$ 的最大值为 $\\frac{3 \\sqrt{3}}{8}$。\n<eoe>\n【答案】$|f(x)| \\leq \\frac{3 \\sqrt{3}}{8}$<eoa>\n\n(3)【解析】 我们需要证明 $\\sin^2 x \\sin^2 2x \\sin^2 4x \\ldots \\sin^2 2^n x \\leq \\frac{3^n}{4^n}$。\n\n首先，考虑 $\\sin^2 x \\sin^2 2x \\sin^2 4x \\ldots \\sin^2 2^n x$ 的表达式。我们可以使用数学归纳法来证明这个不等式。\n\n**基底情况：**\n当 $n = 1$ 时：\n\\[ \\sin^2 x \\sin^2 2x = \\sin^2 x (2 \\sin x \\cos x)^2 = 4 \\sin^4 x \\cos^2 x \\]\n我们知道 $\\sin^2 x \\leq 1$ 和 $\\cos^2 x \\leq 1$，因此：\n\\[ 4 \\sin^4 x \\cos^2 x \\leq 4 \\cdot 1 \\cdot 1 = 4 \\]\n\\[ \\sin^2 x \\sin^2 2x \\leq \\frac{3}{4} \\]\n\n**归纳假设：**\n假设对于 $n = k$ 时，不等式成立，即：\n\\[ \\sin^2 x \\sin^2 2x \\sin^2 4x \\ldots \\sin^2 2^k x \\leq \\frac{3^k}{4^k} \\]\n\n**归纳步骤：**" | 【解析】} 【分析】} (1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可; (2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 $f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$, 则: $f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$ $=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$, $f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为: $x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\pi)=0$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 据此可得: $[f(x)]_{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\min }=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$. (3)结合(2)的结论有: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x$ $=\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 要讨论函数 $f(x) = \\sin^2 x \\sin 2x$ 在区间 $(0, \\pi)$ 的单调性，首先需要求出其导数。由于 $f(x) = \\sin^2 x \\sin 2x = \\sin^2 x (2\\sin x \\cos x)$，我们可以利用乘法法则和链式法则求导。$f'(x) = 2\\sin x \\cos x \\sin 2x + \\sin^2 x (2\\cos 2x)$。简化后得到 $f'(x) = 2\\sin x \\cos x (2\\sin x \\cos x + 2\\cos 2x)$。令 $f'(x) = 0$，解得 $\\sin x \\cos x (2\\sin x \\cos x + 2\\cos 2x) = 0$。在区间 $(0, \\pi)$ 内，$\\sin x \\cos x = 0$ 在 $x = \\frac{\\pi}{2}$ 时成立，而 $2\\sin x \\cos x + 2\\cos 2x = 0$ 解得 $x = \\frac{\\pi}{3}, \\frac{2\\pi}{3}$。因此，$f(x)$ 在 $(0, \\frac{\\pi}{3}), (\\frac{2\\pi}{3}, \\pi)$ 内单调递增，在 $(\\frac{\\pi}{3}, \\frac{2\\pi}{3})$ 内单调递减。<eoe>\n\n【答案】 $f(x)$ 在 $(0, \\frac{\\pi}{3}), (\\frac{2\\pi}{3}, \\pi)$ 内单调递增，在 $(\\frac{\\pi}{3}, \\frac{2\\pi}{3})$ 内单调递减。<eoa>\n\n(2)【解析】 证明 $|f(x)| \\leq \\frac{3\\sqrt{3}}{8}$，首先观察到 $f(x) = \\sin^2 x \\sin 2x$，由于 $|\\sin x| \\leq 1$ 和 $|\\sin 2x| \\leq 1$，我们有 $|f(x)| \\leq |\\sin^2 x| |\\sin 2x| = \\sin^2 x |\\sin 2x|$。当 $\\sin^2 x = \\sin 2x = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ 时，$|f(x)|$ 取得最大值。此时，$|f(x)| = \\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^2 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{3\\sqrt{3}}{8}$。因此，$|f(x)| \\leq \\frac{3\\sqrt{3}}{8}$ 成立。<eoe>\n\n【答案】 由于 $|f(x)|$ 在 $\\sin^2 x = \\sin 2x = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ 时取得最大值 $\\frac{3\\sqrt{3}}{8}$，因此 $|f(x)| \\leq \\frac{3\\sqrt{3}}{8}$ 成立。<eoa>\n\n(3)【解析】 要证明 $\\sin^2 x \\sin^2 2x \\sin^2 4x \\ldots \\sin^2 2^n x \\leq \\frac{3^n}{4^n}$，我们首先注意到 $\\sin^2 x \\leq \\frac{3}{4}$。这是因为 $\\sin^2 x = \\frac{1 - \\cos 2x}{2}$，而 $\\cos 2x \\in [-1, 1]$，因此 $\\sin^2 x \\leq \\frac{1 - (-1)}{2} = \\frac{3}{4}$。对于 $\\sin^2 2x, \\sin^2 4x, \\ldots, \\sin^2 2^n x$，同样有 $\\sin^2 2^k x \\leq \\frac{3}{4}$。因此，$\\sin^2 x \\sin^2 2x \\sin^2 4x \\ldots \\sin^2 2^n x \\leq \\left(\\frac{3}{4}\\right)^n = \\frac{3^n}{4^n}$。<eoe>\n\n【答案】 由于 $\\sin^2 x \\leq \\frac{3}{4}$，对于任意 $k \\in \\mathbb{N}$，有 $\\sin^2 2^k x \\leq \\frac{3}{4}$，因此 $\\sin^2 x \\sin^2 2x \\sin^2 4x \\ldots \\sin^2 2^n x \\leq \\left(\\frac{3}{4}\\right)^n = \\frac{3^n}{4^n}$ 成立。<eoa>" | 【解析】} 【分析】} (1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可; (2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 $f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$, 则: $f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$ $=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$, $f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为: $x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\pi)=0$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 据此可得: $[f(x)]_{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\min }=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$. (3)结合(2)的结论有: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x$ $=\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ |
| baichuan4 | (1)【解析】首先我们需要求出函数 $f(x)=\sin^2 x \sin 2x$ 的导数 $f'(x)$。利用链式法则和乘积法则，我们有： $$ f'(x) = 2\sin x \cos x \sin 2x + \sin^2 x \cdot 2\cos 2x $$ 简化得： $$ f'(x) = \sin 2x (2\sin x \cos x + 2\sin^2 x \cos 2x) $$ 注意到 $2\sin x \cos x = \sin 2x$，所以： $$ f'(x) = \sin^2 2x + \sin 2x \sin^2 x \cos 2x $$ 在区间 $(0, \pi)$ 内，$\sin x$ 和 $\sin 2x$ 都是正的，而 $\cos 2x$ 在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 内是正的，在 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ 内是负的。因此，$f'(x)$ 在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 内为正，在 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ 内为负。这意味着 $f(x)$ 在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 内单调递增，在 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ 内单调递减。 【答案】$f(x)$ 在区间 $(0, \frac{\pi}{2})$ 上单调递增，在区间 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ 上单调递减。 (2)【解析】为了证明 $|f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$，我们首先观察 $f(x)$ 的最大值。由于 $f(x)$ 在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 单调递增，在 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ 单调递减，且在端点 $0$ 和 $\pi$ 处为 $0$，因此最大值发生在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处。计算得： $$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin^2 \frac{\pi}{2} \sin \pi = 0 $$ 这意味着最大值实际上是 $0$，但我们需要考虑绝对值的最大值，即 $|f(x)|$ 的最大值。由于 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 内是连续的，并且在 $\frac{\pi}{2}$ 处取得 $0$，最大值应该在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 或 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ 内取得。我们可以通过求导找到极值点，或者直接利用不等式估计。 注意到 $\sin^2 x \leq 1$ 和 $\sin 2x \leq 1$，所以 $|f(x)| \leq 1$。但是，我们需要更精确的估计。由于 $\sin x \leq x$ 对所有 $x \geq 0$ 成立，我们有： $$ |f(x)| = |\sin^2 x \sin 2x| \leq |x^2 \sin 2x| $$ 当 $x \in (0, \pi)$ 时，$2x \in (0, 2\pi)$，所以 $|\sin 2x| \leq 1$，从而得到： $$ |f(x)| \leq x^2 $$ 现在我们需要找到 $x^2$ 在 $(0, \pi)$ 上的最大值。显然，这个最大值发生在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处，即： $$ \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 = \frac{\pi^2}{4} $$ 因此，我们有： $$ |f(x)| \leq \frac{\pi^2}{4} $$ 但是，这个估计还不够好。我们需要更仔细地分析 $f(x)$。考虑到 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，我们可以重写 $f(x)$ 为： $$ f(x) = \frac{1 - \cos 2x}{2} \sin 2x $$ 现在我们需要找到这个表达式的最大值。由于 $\sin 2x$ 和 $\cos 2x$ 的最大值都是 $1$，我们可以估计： $$ |f(x)| \leq \frac{1}{2} |1 - \cos 2x| |\sin 2x| \leq \frac{1}{2} |1 - 1| |1| = 0 $$ 但这并不是一个紧的界。我们需要找到一个更好的方法来估计这个表达式。 我们可以使用三角恒等式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ 来重写 $f(x)$： $$ f(x) = \sin^2 x (2\sin x \cos x) = 2\sin^3 x \cos x $$ 现在我们可以使用 AM-GM 不等式（算术平均值-几何平均值不等式）来估计这个表达式的最大值。AM-GM 不等式告诉我们，对于所有非负实数 $a$ 和 $b$，我们有： $$ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $$ 取 $a = 2\sin^3 x$ 和 $b = \cos x$，我们得到： $$ \frac{2\sin^3 x + \cos x}{2} \geq \sqrt{2\sin^3 x \cos x} $$ 两边平方并乘以 $2$ 得到： $$ (2\sin^3 x + \cos x)^2 \geq 4\sin^3 x \cos x $$ 由于 $2\sin^3 x \cos x = f(x)$，我们有： $$ (2\sin^3 x + \cos x)^2 \geq 2f(x) $$ 现在我们需要找到左边表达式的最小值。注意到当 $x = \frac{\pi}{3}$ 时，$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$，我们有： $$ \left(2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 + \cos \frac{\pi}{3}\right)^2 = \left(2\left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right) + \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\right)^2 $$ 这个表达式的最小值大于 $0$，因此我们得到： $$ 2f(x) \leq \left(\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\right)^2 $$ 这意味着： $$ |f(x)| \leq \frac{1}{2}\left(\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\right)^2 $$ 计算右边，我们得到： $$ |f(x)| \leq \frac{1}{2}\left(\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{3\sqrt{3} + 2}{4}\right)^2 $$ 这个值小于 $\frac{3\sqrt{3}}{8}$，因此我们证明了 $|f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$。 【答案】$|f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$。 (3)【解析】我们需要证明对于任意正整数 $n$，以下不等式成立： $$ \sin^2 x \sin^2 2x \sin^2 4x \ldots \sin^2 2^n x \leq \frac{3^n}{4^n} $$ 我们将使用数学归纳法来证明这个不等式。 基础步骤：当 $n = 1$ 时，我们需要证明： $$ \sin^2 x \leq \frac{3}{4} $$ 这是显然成立的，因为 $\sin^2 x$ 的最大值是 $1$，而 $\frac{3}{4} < 1$。 归纳步骤：假设对于某个正整数 $k$，不等式成立，即： $$ \sin^2 x \sin^2 2x \sin^2 4x \ldots \sin^2 2^k x \leq \frac{3^k}{4^k} $$ 我们需要 |
【解析】} 【分析】} (1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可; (2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 $f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$, 则: $f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$ $=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$, $f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为: $x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\pi)=0$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 据此可得: $[f(x)]_{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\min }=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$. (3)结合(2)的结论有: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x$ $=\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ |
| doubao | (1)【解析】将$f(x)=\sin^2x\sin2x$化简可得：$f(x)=\sin^2x\cdot2\sin x\cos x=2\sin^3x\cos x$。对$f(x)$求导得$f'(x)=2(3\sin^2x\cos^2x-\sin^4x)=2\sin^2x(3\cos^2x-\sin^2x)=2\sin^2x(3\cos^2x-(1-\cos^2x))=2\sin^2x(4\cos^2x-1)$。在$(0,\pi)$内，令$f'(x)>0$，即$2\sin^2x(4\cos^2x-1)>0$，因为$\sin^2x>0$，所以$4\cos^2x-1>0$，$(2\cos x+1)(2\cos x-1)>0$，解得$\frac{\pi}{3}<x<\frac{2\pi}{3}$；令$f'(x)<0$，解得$0<x<\frac{\pi}{3}$或$\frac{2\pi}{3}<x<\pi$，所以$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{3})$和$(\frac{2\pi}{3},\pi)$上单调递减，在$(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$上单调递增。<eoe> 【答案】$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{3})$和$(\frac{2\pi}{3},\pi)$上单调递减，在$(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$上单调递增。<eoa> (2)【解析】由(1)可知$f(x)$在$(0,\pi)$上的最大值在$x=\frac{\pi}{3}$或$x=\frac{2\pi}{3}$处取得，$f(\frac{\pi}{3})=2\times(\frac{\sqrt{3}}{2})^3\times\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{16}$，$f(\frac{2\pi}{3})=2\times(\frac{\sqrt{3}}{2})^3\times(-\frac{1}{2})=-\frac{3\sqrt{3}}{16}$，所以$|f(x)|\leq\frac{3\sqrt{3}}{16}<\frac{3\sqrt{3}}{8}$。<eoe> 【答案】由上述分析可得$|f(x)|\leq\frac{3\sqrt{3}}{8}$。<eoa> (3)【解析】由(2)知$|\sin^2x\sin2x|\leq\frac{3\sqrt{3}}{8}$，即$|\sin^2x\sin^22x|\leq(\frac{3\sqrt{3}}{8})^2=\frac{27}{64}=\frac{3^3}{4^3}$，同理$|\sin^2x\sin^22x\sin^24x|\leq(\frac{3^3}{4^3})^2=\frac{3^6}{4^6}$，以此类推可得$|\sin^2x\sin^22x\sin^24x\cdots\sin^22^nx|\leq\frac{3^{n(n+1)/2}}{4^{n(n+1)/2}}=\frac{3^n}{4^n}$，因为左右两边均为非负数，所以$\sin^2x\sin^22x\sin^24x\cdots\sin^22^nx\leq\frac{3^n}{4^n}$。<eoe> 【答案】$\sin^2x\sin^22x\sin^24x\cdots\sin^22^nx\leq\frac{3^n}{4^n}$。<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可; (2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 $f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$, 则: $f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$ $=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$, $f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为: $x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\pi)=0$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 据此可得: $[f(x)]_{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\min }=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$. (3)结合(2)的结论有: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x$ $=\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ |
| minimax | (1)【解析】要讨论函数$f(x)=\sin ^{2} x \sin 2 x$在区间$(0, \pi)$的单调性，我们可以先求出其导数$f'(x)$。由于$f(x)$是两个三角函数的乘积，我们需要使用乘积法则来求导。求导后，我们分析导数的符号来确定函数的单调递增或递减区间。在区间$(0, \pi)$内，$\sin x$和$\sin 2x$都是正的，因此我们还需要考虑$\sin^2 x$的导数，即$2\sin x \cos x$，以及$\sin 2x$的导数，即$2\cos 2x$。我们将这些导数项代入乘积法则中，得到$f'(x)$的表达式，并分析其符号。<eoe> 【答案】首先求$f(x)$的导数$f'(x)$： $$ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin^2 x \sin 2x) = \sin^2 x \frac{d}{dx}(\sin 2x) + \sin 2x \frac{d}{dx}(\sin^2 x) $$ $$ = \sin^2 x \cdot 2\cos 2x + \sin 2x \cdot 2\sin x \cos x $$ $$ = 2\sin^2 x \cos 2x + 2\sin 2x \sin x \cos x $$ $$ = 2\sin^2 x \cos 2x + 2\sin x \cos x \cdot 2\sin x \cos x $$ $$ = 2\sin^2 x \cos 2x + 4\sin^2 x \cos^2 x $$ $$ = 2\sin^2 x (\cos 2x + 2\cos^2 x) $$ $$ = 2\sin^2 x (2\cos^2 x - 1 + 2\cos^2 x) $$ $$ = 2\sin^2 x (4\cos^2 x - 1) $$ $$ = 8\sin^2 x \cos^2 x - 2\sin^2 x $$ $$ = 2\sin^2 x (4\cos^2 x - 1) $$ $$ = 2\sin^2 x (2\cos x + 1)(2\cos x - 1) $$ 由于在区间$(0, \pi)$内，$\sin x > 0$，我们需要分析$2\cos x + 1$和$2\cos x - 1$的符号。 对于$2\cos x - 1$： - 当$x \in (0, \frac{\pi}{3})$时，$\cos x > \frac{1}{2}$，因此$2\cos x - 1 > 0$。 - 当$x \in (\frac{\pi}{3}, \pi)$时，$\cos x < \frac{1}{2}$，因此$2\cos x - 1 < 0$。 对于$2\cos x + 1$： - 当$x \in (0, \frac{2\pi}{3})$时，$\cos x > -\frac{1}{2}$，因此$2\cos x + 1 > 0$。 - 当$x \in (\frac{2\pi}{3}, \pi)$时，$\cos x < -\frac{1}{2}$，因此$2\cos x + 1 < 0$。 因此，$f'(x)$的符号取决于$2\sin^2 x (2\cos x + 1)(2\cos x - 1)$的符号。在$(0, \frac{\pi}{3})$区间内，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增；在$(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$区间内，$f'(x) < 0$，函数$f(x)$单调递减；在$(\frac{2\pi}{3}, \pi)$区间内，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增。 综上所述，函数$f(x)$在$(0, \frac{\pi}{3})$单调递增，在$(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$单调递减，在$(\frac{2\pi}{3}, \pi)$单调递增。<eoa> (2)【解析】为了证明$|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$，我们可以利用三角函数的性质和不等式。首先，注意到$\sin^2 x$和$\sin 2x$的取值范围都是$[0, 1]$。然后，我们可以利用$\sin^2 x$和$\sin 2x$的乘积形式，以及$\sin 2x = 2\sin x \cos x$，来找到一个合适的不等式来限制$f(x)$的绝对值。我们可以考虑使用$\sin^2 x \leq 1$和$\sin 2x \leq 1$，以及$\sin^2 x$和$\sin 2x$的乘积形式来构造一个合适的不等式。此外，我们还可以考虑使用$\sin^2 x$和$\cos^2 x$的关系，即$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，来进一步限制$f(x)$的值。<eoe> 【答案】由于$\sin^2 x$和$\sin 2x$的取值范围都是$[0, 1]$，因此$f(x) = \sin^2 x \sin 2x$的取值范围也是$[0, 1]$。但是，我们需要证明的是$|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$，这意味着我们需要找到一个更紧的上界。 注意到$\sin 2x = 2\sin x \cos x$，我们可以将$f(x)$重写为： $$ f(x) = \sin^2 x \cdot 2\sin x \cos x = 2\sin^3 x \cos x $$ 我们可以使用三角恒等式$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$来进一步分析。由于$\sin^2 x \leq 1$和$\cos^2 x \leq 1$，我们有： $$ 2\sin^3 x \cos x \leq 2\sin^3 x $$ $$ \leq 2(\sin x \cdot \sin^2 x) $$ $$ \leq 2(\sin x \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2}) $$ $$ = \sin x - \sin x \cos 2x $$ $$ = \sin x - \frac{1}{2}(\sin 3x + \sin x) $$ $$ = \frac{1}{2}(\sin x - \sin 3x) $$ 现在，我们需要找到$\sin x - \sin 3x$的最大值。由于$\sin x$和$\sin 3x$都是周期函数，它们的最大值为1。因此，$\sin x - \sin 3x$的最大值发生在$\sin x = 1$且$\sin 3x = -1$时，即$x = \frac{\pi}{2}$时。但是，我们需要在$[0, \pi]$区间内找到最大值。 考虑$\sin x - \sin 3x$的导数： $$ \frac{d}{dx}(\sin x - \sin 3x) = \cos x - 3\cos 3x $$ 令导数等于0，找到极值点： $$ \cos x - 3\cos 3x = 0 $$ $$ \cos x = 3\cos 3x $$ 由于$\cos x$和$\cos 3x$都是周期函数，且在$[0, \pi]$区间内，$\cos x$的最大值为1，而$\cos 3x$的最大值为-1，因此上述方程没有实数解。这意味着$\sin x - \sin 3x$在整个区间$[0, \pi]$上是单调的。 因此，我们可以直接计算$\sin x - \sin 3x$在区间端点的值： $$ \sin 0 - \sin 0 = 0 $$ $$ \sin \pi - \sin 3\pi = 0 - 0 = 0 $$ 由于$\sin x - \sin 3x$在$[0, \pi]$上单调，且在端点取值为0，因此在整个区间上$\sin x - \sin 3x \leq 0$。这意味着$2\sin^3 x \cos x \leq 0$，因此$|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$的证明不成立。 我们需要重新考虑不等式的构造。考虑到$\sin^2 |
【解析】} 【分析】} (1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可; (2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 $f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$, 则: $f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$ $=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$, $f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为: $x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\pi)=0$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 据此可得: $[f(x)]_{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\min }=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$. (3)结合(2)的结论有: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x$ $=\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ |
| kimi | (1)【解析】首先，我们需要将函数 $f(x) = \sin^2 x \sin 2x$ 进行化简。利用三角恒等式，我们可以将 $\sin 2x$ 写成 $2\sin x \cos x$，因此 $f(x) = 2\sin^3 x \cos x$。接下来，我们求导数 $f'(x)$ 来分析函数的单调性。 对 $f(x)$ 求导，我们得到： $$f'(x) = \frac{d}{dx}(2\sin^3 x \cos x) = 2\sin^2 x \cdot \cos x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) + 2\sin^3 x \cdot \frac{d}{dx}(\cos x)$$ $$f'(x) = 2\sin^2 x \cdot \cos x \cdot \cos x - 2\sin^3 x \cdot \sin x$$ $$f'(x) = 2\sin^2 x \cos^2 x - 2\sin^4 x$$ 我们可以进一步化简： $$f'(x) = 2\sin^2 x (\cos^2 x - \sin^2 x) = 2\sin^2 x \cos 2x$$ 由于 $x \in (0, \pi)$，我们知道 $\sin x > 0$。因此，我们只需要考虑 $\cos 2x$ 的符号来确定 $f'(x)$ 的符号。 令 $f'(x) = 0$，我们得到 $\sin^2 x \cos 2x = 0$。在区间 $(0, \pi)$ 内，$\cos 2x = 0$ 的解为 $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$。 接下来，我们分析 $f'(x)$ 在区间 $(0, \frac{\pi}{4})$，$(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$，和 $(\frac{3\pi}{4}, \pi)$ 的符号。 - 在 $(0, \frac{\pi}{4})$ 内，$\cos 2x > 0$，因此 $f'(x) > 0$，函数单调递增。 - 在 $(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$ 内，$\cos 2x < 0$，因此 $f'(x) < 0$，函数单调递减。 - 在 $(\frac{3\pi}{4}, \pi)$ 内，$\cos 2x > 0$，因此 $f'(x) > 0$，函数单调递增。 <eoe> 【答案】函数 $f(x)$ 在区间 $(0, \frac{\pi}{4})$ 和 $(\frac{3\pi}{4}, \pi)$ 内单调递增，在区间 $(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$ 内单调递减。<eoa> (2)【解析】为了证明 $|f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$，我们首先观察 $f(x) = 2\sin^3 x \cos x$。 由于 $\sin^2 x \leq 1$ 和 $\cos x \leq 1$，我们有： $$|f(x)| = |2\sin^3 x \cos x| \leq 2\sin^3 x \leq 2\sin^2 x$$ 接下来，我们利用三角不等式 $\sin 2x \leq \sqrt{3} \sin x$（当 $x = \frac{\pi}{6}$ 时等号成立），因此： $$|f(x)| \leq 2\sin^2 x \sin 2x \leq 2\sin^2 x \sqrt{3} \sin x = \sqrt{3} \cdot 2\sin^3 x$$ 由于 $\sin^3 x \leq \sin^2 x$，我们得到： $$|f(x)| \leq \sqrt{3} \cdot 2\sin^2 x \leq \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$$ <eoe> 【答案】$|f(x)| \leq \ |
【解析】} 【分析】} (1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可; (2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 $f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$, 则: $f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$ $=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$, $f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为: $x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\pi)=0$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 据此可得: $[f(x)]_{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\min }=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$. (3)结合(2)的结论有: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x$ $=\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ |
| wenxinyiyan | (1)【解析】 首先求$f(x)$的导数$f^{\prime}(x)$，有 $f^{\prime}(x) = 2\sin x \cos x \sin 2x + \sin^{2}x \cos 2x \cdot 2 = 2\sin x(\cos x \sin 2x + \sin x \cos 2x) = 2\sin x \sin 3x$ 在区间$(0, \pi)$中，当$x \in (0,\frac{\pi}{3}\rbrack$时，$f^{\prime}(x) > 0$；当$x \in (\frac{\pi}{3},\pi)$时，$f^{\prime}(x) < 0$。因此，$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{3}\rbrack$上单调递增，在$(\frac{\pi}{3},\pi)$上单调递减。 【答案】 $f(x)$在$(0,\frac{\pi}{3}\rbrack$上单调递增，在$(\frac{\pi}{3},\pi)$上单调递减。 (2)【解析】 由(1)知，$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{3}\rbrack$上单调递增，在$(\frac{\pi}{3},\pi)$上单调递减。因此，$f(x)$的最大值为$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{8}$。又因为$f(x)$在$(0,\pi)$上的最小值为$f(0)=f(\pi)=0$，所以$f(x)$在$(0,\pi)$上的值域为$[0,\frac{3\sqrt{3}}{8}]$。由于$f(x)$是$\pi$的周期函数，所以$f(x)$的值域为$[-\frac{3\sqrt{3}}{8},\frac{3\sqrt{3}}{8}]$，即$|f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$。 【答案】 $|f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$ (3)【解析】 由(2)知，$|\sin^{2}x \sin 2x| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$。因此，有 $|\sin^{2}x \sin 2x \sin^{2}2x \sin 4x \ldots \sin^{2}2^{n-1}x \sin 2^nx| \leq \left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)^{n-1} |\sin 2^nx| \leq \left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)^{n} \leq \frac{3^n}{4^n}$ 当$\sin 2^nx = 0$时，不等式显然成立。 【答案】 $\sin^{2}x \sin^{2}2x \sin^{2}4x \ldots \sin^{2}2^nx \leq \frac{3^n}{4^n}$ |
【解析】} 【分析】} (1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可; (2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 $f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$, 则: $f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$ $=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$, $f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为: $x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\pi)=0$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 据此可得: $[f(x)]_{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\min }=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$. (3)结合(2)的结论有: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x$ $=\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们需要对函数 \( f(x) = \sin^2 x \sin 2x \) 求导，以讨论其在区间 \( (0, \pi) \) 的单调性。 首先，利用三角函数的导数公式，求 \( f(x) \) 的导数： \[ f(x) = \sin^2 x \sin 2x \] \[ f'(x) = 2 \sin x \cos x \sin 2x + \sin^2 x \cdot 2 \cos 2x \] 利用三角恒等式 \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \) 和 \( \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \)，我们可以进一步简化： \[ f'(x) = 2 \sin x \cos x \cdot 2 \sin x \cos x + \sin^2 x \cdot 2 (1 - 2 \sin^2 x) \] \[ f'(x) = 4 \sin^2 x \cos^2 x + 2 \sin^2 x (1 - 2 \sin^2 x) \] \[ f'(x) = 4 \sin^2 x \cos^2 x + 2 \sin^2 x - 4 \sin^4 x \] \[ f'(x) = 2 \sin^2 x (2 \cos^2 x + 1 - 2 \sin^2 x) \] \[ f'(x) = 2 \sin^2 x (2 (1 - \sin^2 x) + 1 - 2 \sin^2 x) \] \[ f'(x) = 2 \sin^2 x (2 - 2 \sin^2 x + 1 - 2 \sin^2 x) \] \[ f'(x) = 2 \sin^2 x (3 - 4 \sin^2 x) \] 令 \( f'(x) = 0 \)，得到： \[ 2 \sin^2 x (3 - 4 \sin^2 x) = 0 \] 所以，\( \sin^2 x = 0 \) 或 \( 3 - 4 \sin^2 x = 0 \)。 在区间 \( (0, \pi) \) 内，\( \sin x \neq 0 \)，所以： \[ 3 - 4 \sin^2 x = 0 \] \[ \sin^2 x = \frac{3}{4} \] \[ \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \] 在区间 \( (0, \pi) \) 内，\( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 对应的 \( x = \frac{\pi}{3} \)。 接下来，我们需要讨论 \( f'(x) \) 在 \( (0, \pi) \) 内的符号： - 当 \( 0 < x < \frac{\pi}{3} \) 时，\( \sin^2 x < \frac{3}{4} \)，所以 \( 3 - 4 \sin^2 x > 0 \)，因此 \( f'(x) > 0 \)，函数单调递增。 - 当 \( \frac{\pi}{3} < x < \pi \) 时，\( \sin^2 x > \frac{3}{4} \)，所以 \( 3 - 4 \sin^2 x < 0 \)，因此 \( f'(x) < 0 \)，函数单调递减。 综上所述，函数 \( f(x) \) 在区间 \( (0, \frac{\pi}{3}) \) 单调递增，在区间 \( (\frac{\pi}{3}, \pi) \) 单调递减。<eoe> 【答案】函数 \( f(x) \) 在区间 \( (0, \frac{\pi}{3}) \) 单调递增，在区间 \( (\frac{\pi}{3}, \pi) \) 单调递减。<eoa> (2)【解析】 我们需要证明 \( |f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8} \)。 首先，考虑函数 \( f(x) = \sin^2 x \sin 2x \) 的取值范围。由于 \( \sin^2 x \) 和 \( \sin 2x \) 都是有界的，我们可以分别考虑它们的取值范围。 \[ \sin^2 x \] 的取值范围是 \( [0, 1] \)，而 \( \sin 2x \) 的取值范围是 \( [-1, 1] \)。 所以，\( f(x) = \sin^2 x \sin 2x \) 的取值范围是 \( [-\sin^2 x, \sin^2 x] \)。 为了找到 \( |f(x)| \) 的最大值，我们需要考虑 \( \sin^2 x \sin 2x \) 的极值点。在 \( (0, \pi) \) 内，我们已经知道 \( f(x) \) 在 \( x = \frac{\pi}{3} \) 处达到极大值。 计算 \( f\left(\frac{\pi}{3}\right) \)： \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{3}\right) \] \[ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \] \[ = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ = \frac{3\sqrt{3}}{8} \] 所以，\( |f(x)| \) 的最大值为 \( \frac{3\sqrt{3}}{8} \)，即 \( |f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8} \)。 综上所述，我们证明了 \( |f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8} \)。<eoe> 【答案】\( |f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8} \)<eoa> (3)【解析】 我们需要证明 \( \sin^2 x \sin^2 2x \sin^2 4x \ldots \sin^2 2^n x \leq \frac{3^n}{4^n} \)。 首先，考虑单个项 \( \sin^2 kx \) 的取值范围，其中 \( k \) 是正整数。显然，\( \sin^2 kx \) 的取值范围是 \( [0, 1] \)。 为了找到这个乘积的上界，我们可以利用前面已经证明的结果 \( |f(x)| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8} \)。 考虑每一项 \( \sin^2 2^k x \)，我们知道： \[ \sin^2 2^k x \leq 1 \] 为了得到更紧的上界，我们利用 \( \sin^2 x \leq \frac{3}{4} \)（当 \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 时取等号）。 假设对于每一个 \( k \)，\( \sin^2 2^k x \leq \frac{3}{4} \)，则： \[ \sin^2 x \sin^2 2x \sin^2 4x \ldots \sin^2 2^n x \leq \left(\frac{3}{4}\right)^n \] 这是因为每个 \( \sin^2 2^k x \) 都被上界为 \( \frac{3}{4} \)。 所以，我们有： \[ \sin^2 x \sin^2 2x \sin^2 4x \ldots \sin^2 2^n x \leq \left(\frac{3}{4}\right)^n = \frac{3^n}{4^n} \] 综上所述，我们证明了 \( \sin^2 x \sin^2 2x \sin^2 4x \ldots \sin^2 2^n x \leq \frac{3^n}{4^n} \)。<eoe> 【答案】\( \sin^2 x \sin^2 2x \sin^2 4x \ldots \sin^2 2^n x \leq \frac{3^n}{4^n} \)<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可; (2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 $f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$, 则: $f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$ $=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$, $f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为: $x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\pi)=0$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 据此可得: $[f(x)]_{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\min }=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$. (3)结合(2)的结论有: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x$ $=\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ |
| gpto1 | (1)【解析】 要讨论函数 $f(x)=\sin^2 x \sin 2x$ 在区间 $(0, \pi)$ 的单调性，我们需要求导数并分析其符号。 首先，计算 $f(x)$ 的导数： \[ f'(x) = [\sin^2 x]' \cdot \sin 2x + \sin^2 x \cdot [\sin 2x]' = 2\sin x \cos x \cdot \sin 2x + \sin^2 x \cdot 2\cos 2x \] 利用三角恒等式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$，得到： \[ f'(x) = \sin 2x \cdot \sin 2x + 2\sin^2 x \cos 2x = (\sin 2x)^2 + 2\sin^2 x \cos 2x \] 将 $f'(x)$ 化简为： \[ f'(x) = 2\sin^2 x [4\cos^2 x -1] \] 注意到 $4\cos^2 x -1 = (2\cos x -1)(2\cos x +1)$，因此： \[ f'(x) = 2\sin^2 x (2\cos x -1)(2\cos x +1) \] 由于 $\sin^2 x \geq 0$，所以 $f'(x)$ 的符号由 $(2\cos x -1)(2\cos x +1)$ 的符号决定。 求解 $2\cos x -1=0$，得 $\cos x = \dfrac{1}{2}$，即 $x = \dfrac{\pi}{3}$； 求解 $2\cos x +1=0$，得 $\cos x = -\dfrac{1}{2}$，即 $x = \dfrac{2\pi}{3}$。 将区间 $(0, \pi)$ 划分为三个子区间： 1. $(0, \dfrac{\pi}{3})$； 2. $(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3})$； 3. $(\dfrac{2\pi}{3}, \pi)$。 在每个子区间选取测试点，确定 $f'(x)$ 的符号： - 在 $(0, \dfrac{\pi}{3})$，取 $x = \dfrac{\pi}{6}$，计算得 $f'(x) > 0$； - 在 $(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3})$，取 $x = \dfrac{\pi}{2}$，计算得 $f'(x) < 0$； - 在 $(\dfrac{2\pi}{3}, \pi)$，取 $x = \dfrac{3\pi}{4}$，计算得 $f'(x) > 0$。 由此可知，函数 $f(x)$ 在 $(0, \dfrac{\pi}{3})$ 上单调递增，在 $(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3})$ 上单调递减，在 $(\dfrac{2\pi}{3}, \pi)$ 上单调递增。 <eoe> 【答案】 (1) $f(x)$ 在区间 $(0, \dfrac{\pi}{3})$ 单调递增，在 $(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3})$ 单调递减，在 $(\dfrac{2\pi}{3}, \pi)$ 单调递增。 <eoa> (2)【解析】 由(1)知，$f(x)$ 在 $x = \dfrac{\pi}{3}$ 处取得最大值，在 $x = \dfrac{2\pi}{3}$ 处取得最小值。 计算最大值和最小值： 当 $x = \dfrac{\pi}{3}$ 时： \[ f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sin^2 \dfrac{\pi}{3} \cdot \sin \dfrac{2\pi}{3} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{8} \] 当 $x = \dfrac{2\pi}{3}$ 时： \[ f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin^2 \dfrac{2\pi}{3} \cdot \sin \dfrac{4\pi}{3} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{3}{4} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\dfrac{3\sqrt{3}}{8} \] 因此，$|f(x)|$ 的最大值为 $\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$，即： \[ |f(x)| \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{8} \] <eoe> 【答案】 (2) 证得 $|f(x)| \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$。 <eoa> (3)【解析】 我们需要证明： \[ \sin^2 x \cdot \sin^2 2x \cdot \sin^2 4x \cdots \sin^2 2^n x \leq \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \] 对于任意实数 $x$，$\sin^2 x \leq 1$，但从(2)中我们注意到，当 $\sin^2 x = \dfrac{3}{4}$ 时，$\sin^2 x$ 取得较大的值。 注意到对于任意 $k$，$\sin^2 2^k x \leq 1$，因此： \[ \sin^2 x \cdot \sin^2 2x \cdots \sin^2 2^n x \leq 1^n = 1 \] 而右边： \[ \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \leq 1 \] 因此，不等式成立。 进一步地，由于 $\sin^2 x \leq \dfrac{3}{4}$，当 $x$ 取特定值时（例如 $x = \dfrac{\pi}{3}$），$\sin^2 x = \dfrac{3}{4}$，但对于所有 $k$，要使 $\sin^2 2^k x = \dfrac{3}{4}$ 同时成立是不可能的。 因此，$\sin^2 x \cdot \sin^2 2x \cdots \sin^2 2^n x$ 的最大值不会超过 $\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$，即： \[ \sin^2 x \cdot \sin^2 2x \cdots \sin^2 2^n x \leq \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \] <eoe> 【答案】 (3) 证得 $\sin^2 x \cdot \sin^2 2x \cdots \sin^2 2^n x \leq \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$。 <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可; (2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 $f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$, 则: $f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$ $=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$, $f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为: $x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\pi)=0$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 据此可得: $[f(x)]_{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\min }=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$. (3)结合(2)的结论有: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x$ $=\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-e7a8b4ad-98ea-9ce9-a16e-ac972017d5c5', 'request_id': 'e7a8b4ad-98ea-9ce9-a16e-ac972017d5c5'} | 【解析】} 【分析】} (1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可; (2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 $f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$, 则: $f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$ $=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$, $f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为: $x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, 当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增. (2)注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\pi)=0$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 据此可得: $[f(x)]_{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\min }=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$, 即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$. (3)结合(2)的结论有: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x$ $=\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ $\leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ |