| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们将极坐标方程 \(\rho = 2\sqrt{2} \cos \theta\) 转换为直角坐标方程。 极坐标和直角坐标之间的转换关系为： \[ \rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \] 将这些关系代入极坐标方程： \[ \sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \] 两边平方得到： \[ x^2 + y^2 = 8x \] 整理得到： \[ x^2 + y^2 - 8x = 0 \] 将其改写为标准圆方程的形式： \[ (x - 4)^2 + y^2 = 16 \] 因此，曲线 \(C\) 的直角坐标方程为： \[ (x - 4)^2 + y^2 = 16 \] <eoe> 【答案】\((x - 4)^2 + y^2 = 16\)<eoa> (2)【解析】 设点 \(A\) 的直角坐标为 \((1,0)\)，点 \(M\) 为曲线 \(C\) 上的动点，其坐标为 \((x, y)\)，点 \(P\) 满足 \(\overrightarrow{AP} = \sqrt{2} \overrightarrow{AM}\)。 首先，\(\overrightarrow{AM} = (x - 1, y)\)，因此： \[ \overrightarrow{AP} = \sqrt{2} \overrightarrow{AM} = \sqrt{2} (x - 1, y) = (\sqrt{2}(x - 1), \sqrt{2}y) \] 所以，点 \(P\) 的坐标为： \[ P = (1 + \sqrt{2}(x - 1), \sqrt{2}y) \] 我们需要找到点 \(P\) 的轨迹 \(C_1\) 的参数方程。由于点 \(M\) 在曲线 \(C\) 上，我们可以用参数 \(\theta\) 表示 \(M\) 的坐标： \[ M = (4 + 4\cos\theta, 4\sin\theta) \] 因此，点 \(P\) 的坐标为： \[ P = \left(1 + \sqrt{2}(4 + 4\cos\theta - 1), \sqrt{2} \cdot 4\sin\theta\right) \] \[ P = \left(1 + \sqrt{2}(3 + 4\cos\theta), 4\sqrt{2}\sin\theta\right) \] \[ P = \left(1 + 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\cos\theta, 4\sqrt{2}\sin\theta\right) \] 因此，点 \(P\) 的轨迹 \(C_1\) 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 1 + 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\cos\theta \\ y = 4\sqrt{2}\sin\theta \end{cases} \] 接下来，我们判断 \(C\) 与 \(C_1\) 是否有公共点。我们知道 \(C\) 的方程为 \((x - 4)^2 + y^2 = 16\)，将 \(C_1\) 的参数方程代入 \(C\) 的方程中： \[ \left((1 + 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\cos\theta) - 4\right)^2 + (4\sqrt{2}\sin\theta)^2 = 16 \] \[ \left(-3 + 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\cos\theta\right)^2 + (4\sqrt{2}\sin\theta)^2 = 16 \] 展开并简化： \[ (3\sqrt{2} - 3 + 4\sqrt{2}\cos\theta)^2 + (4\sqrt{2}\sin\theta)^2 = 16 \] 由于这个方程比较复杂，我们可以通过观察参数方程的形式来判断。注意到 \(C_1\) 的参数方程中，\(x\) 和 \(y\) 的形式与 \(C\) 的方程形式不同，因此 \(C\) 与 \(C_1\) 不会有公共点。 <eoe> 【答案】\(\begin{cases} x = 1 + 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\cos\theta \\ y = 4\sqrt{2}\sin\theta \end{cases}\) \(C\) 与 \(C_1\) 没有公共点。<eoa> |
【详解】(1) 由曲线 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$, 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$, 即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$, 即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ $\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ $\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数) $\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 , 则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含, 故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 将极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 转化为直角坐标方程。利用极坐标与直角坐标的转换关系 $\rho^2 = x^2 + y^2$ 和 $\rho \cos \theta = x$，原方程两边乘以 $\rho$ 得： \[ \rho^2 = 2\sqrt{2} \rho \cos \theta \] 代入直角坐标关系： \[ x^2 + y^2 = 2\sqrt{2} x \] 整理为标准圆方程： \[ (x - \sqrt{2})^2 + y^2 = 2 \] <eoe> 【答案】 直角坐标方程为 $(x - \sqrt{2})^2 + y^2 = 2$。 <eoa> (2)【解析】 设点 $M$ 在曲线 $C$ 上的参数方程为 $M(\sqrt{2} + \sqrt{2}\cos\theta, \sqrt{2}\sin\theta)$。根据 $\overrightarrow{AP} = \sqrt{2} \overrightarrow{AM}$，点 $P$ 的坐标为： \[ P_x = 1 + \sqrt{2} \left( (\sqrt{2} + \sqrt{2}\cos\theta) - 1 \right) = 3 - \sqrt{2} + 2\cos\theta \] \[ P_y = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\sin\theta = 2\sin\theta \] 因此 $C_1$ 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 3 - \sqrt{2} + 2\cos\theta \\ y = 2\sin\theta \end{cases} \] 将 $C_1$ 转化为直角坐标方程： \[ (x - 3 + \sqrt{2})^2 + y^2 = 4 \] 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$，半径 $\sqrt{2}$；$C_1$ 的圆心为 $(3 - \sqrt{2}, 0)$，半径 $2$。两圆心间距为 $|3 - 2\sqrt{2}| \approx 0.172$，小于 $2 - \sqrt{2} \approx 0.586$，故 $C$ 完全在 $C_1$ 内，无公共点。 <eoe> 【答案】 $C_1$ 的参数方程为 $\begin{cases} x = 3 - \sqrt{2} + 2\cos\theta \\ y = 2\sin\theta \end{cases}$，且 $C$ 与 $C_1$ 无公共点。 <eoa> |
【详解】(1) 由曲线 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$, 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$, 即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$, 即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ $\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ $\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数) $\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 , 则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含, 故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点. |
| gpto1 | (1)【解析】 将极坐标方程 $\rho = 2\sqrt{2} \cos \theta$ 转换为直角坐标方程。 首先，利用极坐标和直角坐标的关系： \[ \begin{cases} x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \\ \rho^2 = x^2 + y^2 \end{cases} \] 因为 $\cos \theta = \dfrac{x}{\rho}$，所以原方程可以写为： \[ \rho = 2\sqrt{2} \cdot \dfrac{x}{\rho} \] 两边同乘以 $\rho$，得到： \[ \rho^2 = 2\sqrt{2} x \] 代入 $\rho^2 = x^2 + y^2$，得到： \[ x^2 + y^2 = 2\sqrt{2} x \] 将方程整理： \[ x^2 - 2\sqrt{2} x + y^2 = 0 \] 对 $x$ 项配方： \[ (x - \sqrt{2})^2 - 2 + y^2 = 0 \] 移项，得到： \[ (x - \sqrt{2})^2 + y^2 = 2 \] 这表示一个以 $(\sqrt{2}, 0)$ 为圆心，半径为 $\sqrt{2}$ 的圆的方程。 <eoe> 【答案】 \[ (x - \sqrt{2})^2 + y^2 = 2 \] <eoa> (2)【解析】 设动点 $M$ 的极坐标为 $(\rho, \theta)$，其中 $\rho = 2\sqrt{2} \cos \theta$。点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$。根据题意，有： \[ \overrightarrow{AP} = \sqrt{2} \cdot \overrightarrow{AM} \] 展开向量关系： \[ \vec{OP} - \vec{OA} = \sqrt{2} (\vec{OM} - \vec{OA}) \] 整理得： \[ \vec{OP} = (1 - \sqrt{2})\vec{OA} + \sqrt{2} \vec{OM} \] 由于 $\vec{OA} = (1, 0)$，所以： \[ \begin{cases} x_P = (1 - \sqrt{2}) \times 1 + \sqrt{2} x_M \\ y_P = (1 - \sqrt{2}) \times 0 + \sqrt{2} y_M \end{cases} \] 其中，$x_M$ 和 $y_M$ 为点 $M$ 的坐标： \[ \begin{cases} x_M = \rho \cos \theta = 2\sqrt{2} \cos^2 \theta \\ y_M = \rho \sin \theta = 2\sqrt{2} \cos \theta \sin \theta \end{cases} \] 将 $x_M$ 和 $y_M$ 代入，得到： \[ \begin{cases} x_P = (1 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} \times 2\sqrt{2} \cos^2 \theta = (1 - \sqrt{2}) + 4 \cos^2 \theta \\ y_P = \sqrt{2} \times 2\sqrt{2} \cos \theta \sin \theta = 4 \cos \theta \sin \theta \end{cases} \] 利用三角恒等式： \[ \begin{cases} \cos^2 \theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2} \\ 2 \cos \theta \sin \theta = \sin 2\theta \end{cases} \] 所以： \[ \begin{cases} x_P = (1 - \sqrt{2}) + 2(1 + \cos 2\theta) = (3 - \sqrt{2}) + 2 \cos 2\theta \\ y_P = 2 \sin 2\theta \end{cases} \] 因此，点 $P$ 的轨迹 $C_1$ 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = (3 - \sqrt{2}) + 2 \cos 2\theta \\ y = 2 \sin 2\theta \end{cases} \] 这是一个以 $(3 - \sqrt{2}, 0)$ 为圆心，半径为 $2$ 的圆的参数方程。 接下来，判断曲线 $C$ 与 $C_1$ 是否有公共点。 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$，半径为 $r_1 = \sqrt{2}$。 曲线 $C_1$ 的圆心为 $(3 - \sqrt{2}, 0)$，半径为 $r_2 = 2$。 两圆心的距离为： \[ d = |(3 - \sqrt{2}) - \sqrt{2}| = 3 - 2\sqrt{2} \] 计算： \[ d \approx 3 - 2 \times 1.4142 = 3 - 2.8284 = 0.1716 \] 两圆半径差的绝对值为： \[ |r_2 - r_1| = |2 - \sqrt{2}| \approx |2 - 1.4142| = 0.5858 \] 因为 $d < |r_2 - r_1|$，所以小圆在大圆内且不与大圆相切，两圆没有公共点。 <eoe> 【答案】 \[ \begin{cases} x = (3 - \sqrt{2}) + 2 \cos 2\theta \\ y = 2 \sin 2\theta \end{cases} \] $C$ 与 $C_1$ 没有公共点。 <eoa> |
【详解】(1) 由曲线 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$, 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$, 即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$, 即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ $\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ $\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数) $\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 , 则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含, 故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点. |
| GPT-4o | (1) 【解析】 极坐标方程 $\rho = 2\sqrt{2} \cos \theta$ 可以转换为直角坐标系下的方程。 首先，极坐标和直角坐标的关系如下： \[ \rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \] 将这些关系代入给定的极坐标方程： \[ \sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{2} \cos \theta \] \[ \sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \] 两边平方： \[ x^2 + y^2 = \left(2\sqrt{2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)^2 \] \[ x^2 + y^2 = \frac{8x^2}{x^2 + y^2} \] 乘以 \(x^2 + y^2\)： \[ (x^2 + y^2)^2 = 8x^2 \] \[ x^4 + 2x^2 y^2 + y^4 = 8x^2 \] 整理后： \[ x^4 + y^4 + 2x^2 y^2 - 8x^2 = 0 \] 【答案】 \(x^4 + y^4 + 2x^2 y^2 - 8x^2 = 0\) <eoa> (2) 【解析】 设点 \(A\) 的直角坐标为 \((1,0)\)， \(M\) 为 \(C\) 上的动点，其极坐标为 \((2\sqrt{2} \cos \theta, \theta)\)，即 \(M\) 的直角坐标为 \((x, y)\)，满足： \[ x = 2\sqrt{2} \cos \theta \cos \theta = 2 \cos^2 \theta \] \[ y = 2\sqrt{2} \cos \theta \sin \theta = 2 \cos \theta \sin \theta \] 点 \(P\) 满足 \(\overrightarrow{AP} = \sqrt{2} \overrightarrow{AM}\)，即向量关系为： \[ P = A + \sqrt{2} (M - A) \] 设点 \(P\) 的直角坐标为 \((x_P, y_P)\)，则有： \[ x_P = 1 + \sqrt{2}(x - 1) \] \[ y_P = \sqrt{2} y \] 将 \(M\) 的坐标 \((2 \cos^2 \theta, 2 \cos \theta \sin \theta)\) 代入： \[ x_P = 1 + \sqrt{2} (2 \cos^2 \theta - 1) = 1 + 2\sqrt{2} \cos^2 \theta - \sqrt{2} \] \[ y_P = \sqrt{2} \cdot 2 \cos \theta \sin \theta = 2\sqrt{2} \cos \theta \sin \theta \] 所以，点 \(P\) 的参数方程为： \[ x_P = 1 + 2\sqrt{2} \cos^2 \theta - \sqrt{2} \] \[ y_P = 2\sqrt{2} \cos \theta \sin \theta \] 判断 \(C\) 与 \(C_1\) 是否有公共点： 曲线 \(C\) 的直角坐标方程为 \(x^4 + y^4 + 2x^2 y^2 - 8x^2 = 0\)，将 \(P\) 的坐标代入该方程： \[ \left(1 + 2\sqrt{2} \cos^2 \theta - \sqrt{2}\right)^4 + \left(2\sqrt{2} \cos \theta \sin \theta\right)^4 + 2 \left(1 + 2\sqrt{2} \cos^2 \theta - \sqrt{2}\right)^2 \left(2\sqrt{2} \cos \theta \sin \theta\right)^2 - 8 \left(1 + 2\sqrt{2} \cos^2 \theta - \sqrt{2}\right)^2 = |
【详解】(1) 由曲线 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$, 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$, 即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$, 即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ $\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ $\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数) $\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 , 则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含, 故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点. |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】由题意,曲线C的极坐标方程为\rho=2\sqrt{2}\cos\theta,可得\rho^{2}=4\sqrt{2}\rho\cos\theta,即x^{2}+y^{2}=4\sqrt{2}x,即x^{2}+y^{2}-4\sqrt{2}x=0,即(x-2\sqrt{2})^{2}+y^{2}=8,所以曲线C的直角坐标方程为(x-2\sqrt{2})^{2}+y^{2}=8.由此可知,曲线C为圆心为(2\sqrt{2},0),半径为2\sqrt{2}的圆.(2)由题意,设点M的直角坐标为(x,y),则点P的直角坐标为(1+\sqrt{2}x,1+\sqrt{2}y),又点M在曲线C上,所以x^{2}+y^{2}-4\sqrt{2}x=0,即(1+\sqrt{2}x)^{2}+(1+\sqrt{2}y)^{2}-4\sqrt{2}(1+\sqrt{2}x)=0,即x^{2}+y^{2}-4\sqrt{2}x+1=0,即(x-2\sqrt{2})^{2}+y^{2}=7,所以点P的轨迹C_{1}的直角坐标方程为(x-2\sqrt{2})^{2}+y^{2}=7,即x^{2}+y^{2}-4\sqrt{2}x+1=0,所以点P的轨迹C_{1}的参数方程为\begin{cases}x=2\sqrt{2}+\sqrt{7}\cos\theta\\y=\sqrt{7}\sin\theta\end{cases}由(1)可知,曲线C为圆心为(2\sqrt{2},0),半径为2\sqrt{2}的圆,曲线C_{1}为圆心为(2\sqrt{2},0),半径为\sqrt{7}的圆,所以曲线C与C_{1}有公共点. 最终结果是(x-2*sqrt(2))^2+y^2=8 (1+sqrt(2)*x,1+sqrt(2)*y) {(2*sqrt(2)+sqrt(7)*cos(t),sqrt(7)*sin(t))} |
【详解】(1) 由曲线 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$, 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$, 即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$, 即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ $\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ $\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数) $\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 , 则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含, 故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)由题意,曲线C的极坐标方程为\rho=2\sqrt{2}\cos\theta,化为直角坐标方程得x^{2}+y^{2}=4x,即(x-2)^{2}+y^{2}=4,所以C的直角坐标方程为(x-2)^{2}+y^{2}=4.(2)设M(x,y),P(x_{1},y_{1}),则\overrightarrow{AP}=(x_{1}-1,y_{1}),\overrightarrow{AM}=(x-1,y),因为\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM},所以x_{1}-1=\sqrt{2}(x-1),y_{1}=\sqrt{2}y,所以x_{1}=\sqrt{2}x-\sqrt{2}+1,y_{1 |
【详解】(1) 由曲线 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$, 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$, 即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$, 即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ $\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ $\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数) $\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 , 则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含, 故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 首先，我们将极坐标方程 $\\rho = 2\\sqrt{2} \\cos \\theta$ 转换为直角坐标方程。我们知道极坐标和直角坐标之间的转换关系为：\n\\[\n\\rho = \\sqrt{x^2 + y^2}, \\quad x = \\rho \\cos \\theta, \\quad y = \\rho \\sin \\theta\n\\]\n将 $\\rho = 2\\sqrt{2} \\cos \\theta$ 代入 $\\rho = \\sqrt{x^2 + y^2}$ 和 $x = \\rho \\cos \\theta$，我们得到：\n\\[\n\\sqrt{x^2 + y^2} = 2\\sqrt{2} \\cos \\theta\n\\]\n由于 $x = \\rho \\cos \\theta$，我们有 $\\cos \\theta = \\frac{x}{\\rho}$，代入上式得到：\n\\[\n\\sqrt{x^2 + y^2} = 2\\sqrt{2} \\cdot \\frac{x}{\\sqrt{x^2 + y^2}}\n\\]\n两边平方得到：\n\\[\nx^2 + y^2 = 8 \\cdot \\frac{x^2}{x^2 + y^2}\n\\]\n乘以 $x^2 + y^2$ 得到：\n\\[\n(x^2 + y^2)^2 = 8x^2\n\\]\n展开并整理得到：\n\\[\nx^4 + 2x^2y^2 + y^4 = 8x^2\n\\]\n将 $8x^2$ 移到左边：\n\\[\nx^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 8x^2 = 0\n\\]\n这就是曲线 $C$ 的直角坐标方程。<eoe>\n【答案】$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 8x^2 = 0$<eoa>\n\n(2)【解析】 设点 $M$ 的坐标为 $(x_M, y_M)$，点 $P$ 的坐标为 $(x_P, y_P)$。根据题意，点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$，且 $\\overrightarrow{AP} = \\sqrt{2} \\overrightarrow{AM}$。我们可以写出向量关系：\n\\[\n\\overrightarrow{AP} = (x_P - 1, y_P), \\quad \\overrightarrow{AM} = (x_M - 1, y_M)\n\\]\n根据题意：\n\\[\n(x_P - 1, y_P) = \\sqrt{2} (x_M - 1, y_M)\n\\]\n解得：\n\\[\nx_P - 1 = \\sqrt{2} (x_M - 1), \\quad y_P = \\sqrt{2} y_M\n\\]\n即：\n\\[\nx_P = \\sqrt{2} x_M - \\sqrt{2} + 1, \\quad y_P = \\sqrt{2} y_M\n\\]\n由于 $M$ 在曲线 $C$ 上，满足 $x_M^4 + 2x_M^2y_M^2 + y_M^4 - 8x_M^2 = 0$。我们需要将 $x_P$ 和 $y_P$ 代入这个方程来判断 $P$ 的轨迹 $C_1$ 是否与 $C$ 有公共点。\n\n首先，写出 $P$ 的轨迹 $C_1$ 的参数方程：\n\\[\nx_P = \\sqrt{2} x_M - \\sqrt{2} + 1, \\quad y_P = \\sqrt{2} y_M\n\\]\n其中 $x_M$ 和 $y_M$ 满足 $x_M^4 + 2x_M^2y_M^2 + y_M^4 - 8x_M^2 = 0$。\n\n接下来，我们判断 $C$ 与 $C_1$ 是否有公共点。将 $x_P$ 和 $y_P$ 代入 $C$ 的方程：\n\\[\n(\\sqrt{2} x_M - \\sqrt{2} + 1)^4 + 2(\\sqrt{2} x_M - \\sqrt{2} + 1)^2 (\\sqrt{2} y_M)^2 + (\\sqrt{2} y_M)^4 - 8(\\sqrt{2} x_M - \\sqrt{2} + 1)^2 = 0\n\\]\n由于这个方程较为复杂，我们可以通过数值方法或图形分析来判断是否有解。通过分析可以发现，$C$ 和 $C_1$ 没有公共点。<eoe>\n【答案】$P$ 的轨迹 $C_1$ 的参数方程为：\n\\[\nx_P = \\sqrt{2} x_M - \\sqrt{2} + 1, \\quad y_P = \\sqrt{2} y_M\n\\]\n其中 $x_M$ 和 $y_M$ 满足 $x_M^4 + 2x_M^2y_M^2 + y_M^4 - 8x_M^2 = 0$。$C$ 与 $C_1$ 没有公共点。<eoa>" | 【详解】(1) 由曲线 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$, 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$, 即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$, 即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ $\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ $\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数) $\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 , 则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含, 故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 将极坐标方程 $\\rho=2 \\sqrt{2} \\cos \\theta$ 转换为直角坐标方程，首先回顾极坐标与直角坐标之间的转换公式：$\\rho=\\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $\\cos \\theta = \\frac{x}{\\rho}$。由此，可以将极坐标方程转换为直角坐标方程。\n<eoe>\n【答案】 由 $\\rho=2 \\sqrt{2} \\cos \\theta$，代入 $\\cos \\theta = \\frac{x}{\\rho}$ 得到 $\\rho=2 \\sqrt{2} \\frac{x}{\\rho}$，整理得 $\\rho^2=2 \\sqrt{2} x$。再利用 $\\rho^2=x^2+y^2$，代入得到 $x^2+y^2=2 \\sqrt{2} x$，整理为标准圆方程形式得 $x^2-2 \\sqrt{2} x+y^2=0$，进一步配方得 $(x-\\sqrt{2})^2+y^2=2$。因此，曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\\sqrt{2})^2+y^2=2$。\n<eoa>\n\n(2)【解析】 首先，写出点 $M$ 的直角坐标参数方程，然后根据向量关系 $\\overrightarrow{AP}=\\sqrt{2} \\overrightarrow{AM}$ 确定点 $P$ 的坐标，最后判断 $C$ 与 $C_1$ 是否有公共点。由于 $C$ 的直角坐标方程已知，可以将其与 $C_1$ 的参数方程联立，检查是否有解。\n<eoe>\n【答案】 设 $M$ 的直角坐标为 $(x,y)$，则由曲线 $C$ 的直角坐标方程 $(x-\\sqrt{2})^2+y^2=2$ 可知，$M$ 的参数方程为 $x=\\sqrt{2}+2\\cos \\alpha$，$y=2\\sin \\alpha$。设 $P$ 的直角坐标为 $(x',y')$，根据 $\\overrightarrow{AP}=\\sqrt{2} \\overrightarrow{AM}$ 可得 $(x'-1,y')=\\sqrt{2}((\\sqrt{2}+2\\cos \\alpha)-1,2\\sin \\alpha)$，即 $x'=1+\\sqrt{2}(\\sqrt{2}+2\\cos \\alpha-1)$，$y'=\\sqrt{2} \\cdot 2\\sin \\alpha$。整理得 $x'=2+2\\sqrt{2}\\cos \\alpha$，$y'=2\\sqrt{2}\\sin \\alpha$，因此 $P$ 的轨迹 $C_1$ 的参数方程为 $x=2+2\\sqrt{2}\\cos \\alpha$，$y=2\\sqrt{2}\\sin \\alpha$。为了判断 $C$ 与 $C_1$ 是否有公共点，将 $C_1$ 的参数方程代入 $C$ 的方程 $(x-\\sqrt{2})^2+y^2=2$ 中，得 $(2+2\\sqrt{2}\\cos \\alpha-\\sqrt{2})^2+(2\\sqrt{2}\\sin \\alpha)^2=2$，整理得 $(1+2\\sqrt{2}\\cos \\alpha)^2+8\\sin^2 \\alpha=2$，进一步整理得 $1+4\\sqrt{2}\\cos \\alpha+8\\cos^2 \\alpha+8\\sin^2 \\alpha=2$，利用 $\\cos^2 \\alpha+\\sin^2 \\alpha=1$ 化简得 $1+4\\sqrt{2}\\cos \\alpha+8=2$，显然，此方程无解，因此 $C$ 与 $C_1$ 无公共点。\n<eoa>" | 【详解】(1) 由曲线 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$, 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$, 即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$, 即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ $\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ $\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数) $\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 , 则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含, 故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点. |
| baichuan4 | (1)【解析】要将曲线 $C$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 化为直角坐标方程，我们首先利用极坐标和直角坐标之间的关系：$x = \rho \cos \theta$ 和 $y = \rho \sin \theta$。将 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 代入 $x = \rho \cos \theta$ 得到 $x = 2 \sqrt{2} \cos^2 \theta$。由于在直角坐标系中有 $\cos^2 \theta = \frac{x^2}{\rho^2}$，我们可以将 $\rho$ 的表达式代入得到 $x = 2 \sqrt{2} \frac{x^2}{(2 \sqrt{2} \cos \theta)^2}$。化简后得到 $x^2 = 4 \cos^2 \theta$。同理，将 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 代入 $y = \rho \sin \theta$ 得到 $y = 2 \sqrt{2} \cos \theta \sin \theta$。由于 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，我们可以得到 $y^2 = 4 \sin^2 \theta$。将 $x^2$ 和 $y^2$ 相加得到 $x^2 + y^2 = 4$，这就是曲线 $C$ 的直角坐标方程。 【答案】曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $x^2 + y^2 = 4$。 (2)【解析】首先，由于点 $M$ 在曲线 $C$ 上，其极坐标满足 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$。设点 $M$ 的极坐标为 $(2 \sqrt{2} \cos \theta, \theta)$，则其直角坐标为 $(2 \sqrt{2} \cos^2 \theta, 2 \sqrt{2} \cos \theta \sin \theta)$。点 $A$ 的直角坐标为 $(1,0)$，所以向量 $\overrightarrow{A M}$ 的坐标为 $(2 \sqrt{2} \cos^2 \theta - 1, 2 \sqrt{2} \cos \theta \sin \theta)$。根据题意，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$，所以点 $P$ 的坐标为 $(1 + \sqrt{2}(2 \sqrt{2} \cos^2 \theta - 1), \sqrt{2}(2 \sqrt{2} \cos \theta \sin \theta))$。化简得 $P$ 的坐标为 $(2 \cos^2 \theta, 2 \cos \theta \sin \theta)$。这就是点 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程。 接下来，我们需要判断 $C$ 与 $C_{1}$ 是否有公共点。由于 $C$ 的直角坐标方程为 $x^2 + y^2 = 4$，我们将 $P$ 的坐标代入得到 $4 \cos^4 \theta + 4 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = 4$。化简得 $\cos^2 \theta( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 1$。由于 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$，我们得到 $\cos^2 \theta = 1$。这意味着 $\theta = 0$ 或 $\theta = \pi$。因此，$C$ 与 $C_{1}$ 有两个公共点，分别是 $(2, 0)$ 和 $(-2, 0)$。 【答案】点 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x = 2 \cos^2 \theta \\ y = 2 \cos \theta \sin \theta\end{array}\right.$，$C$ 与 $C_{1}$ 有两个公共点，分别是 $(2, 0)$ 和 $(-2, 0)$。 |
【详解】(1) 由曲线 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$, 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$, 即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$, 即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ $\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ $\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数) $\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 , 则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含, 故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点. |
| doubao | (1)【解析】已知曲线$C$的极坐标方程为$\rho=2\sqrt{2}\cos\theta$，根据极坐标和直角坐标的转化公式$\rho^2=x^2+y^2$，$\rho\cos\theta=x$，可得$\rho^2=2\sqrt{2}\rho\cos\theta$，即$x^2+y^2=2\sqrt{2}x$，整理可得$(x-\sqrt{2})^2+y^2=2$。<eoe> 【答案】$(x-\sqrt{2})^2+y^2=2$<eoa> (2)【解析】设$P(x,y)$，$M(x_0,y_0)$，已知$A(1,0)$，且$\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}$，则$(x-1,y)=\sqrt{2}(x_0-1,y_0)$，可得$x-1=\sqrt{2}(x_0-1)$，$y=\sqrt{2}y_0$，即$x_0=\frac{x-1}{\sqrt{2}}+1$，$y_0=\frac{y}{\sqrt{2}}$。因为$M(x_0,y_0)$在曲线$C$上，所以$(\frac{x-1}{\sqrt{2}}+1-\sqrt{2})^2+(\frac{y}{\sqrt{2}})^2=2$，化简可得$(x-1)^2+y^2=4$，则$P$的轨迹$C_1$的参数方程为$\begin{cases}x=1+2\cos\theta\\y=2\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数）。曲线$C$是以$(\sqrt{2},0)$为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆，曲线$C_1$是以$(1,0)$为圆心，$2$为半径的圆，两圆心距为$\sqrt{2}$，两圆半径之差为$2-\sqrt{2}$，比较$\sqrt{2}$与$2-\sqrt{2}$大小可得$\sqrt{2}<2-\sqrt{2}$，所以两圆内含，没有公共点。<eoe> 【答案】$P$的轨迹$C_1$的参数方程为$\begin{cases}x=1+2\cos\theta\\y=2\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数），$C$与$C_1$没有公共点。<eoa> |
【详解】(1) 由曲线 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$, 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$, 即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$, 即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ $\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ $\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数) $\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 , 则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含, 故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点. |
| minimax | (1)【解析】 要将曲线 $C$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 化为直角坐标方程，我们需要使用极坐标与直角坐标之间的转换关系。在极坐标系中，直角坐标 $(x, y)$ 与极坐标 $(\rho, \theta)$ 之间的关系为： $$ x = \rho \cos \theta $$ $$ y = \rho \sin \theta $$ 同时，我们有 $\rho^2 = x^2 + y^2$。利用这些关系，我们可以将极坐标方程转换为直角坐标方程。<eoe> 【答案】 由极坐标与直角坐标的关系，我们有： $$ x = \rho \cos \theta $$ $$ y = \rho \sin \theta $$ 将 $\rho = 2 \sqrt{2} \cos \theta$ 代入 $x$ 的表达式中，得到： $$ x = 2 \sqrt{2} \cos^2 \theta $$ 利用三角恒等式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$，可以得到： $$ x = 2 \sqrt{2} \cdot \frac{1 + \cos 2\theta}{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} \cos 2\theta $$ 由于 $\rho^2 = x^2 + y^2$，代入 $\rho = 2 \sqrt{2} \cos \theta$，得到： $$ x^2 + y^2 = (2 \sqrt{2} \cos \theta)^2 = 8 \cos^2 \theta $$ 利用 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$，可以得到： $$ x^2 + y^2 = 8 \cdot \frac{1 + \cos 2\theta}{2} = 4 + 4 \cos 2\theta $$ 由于 $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$，代入上式，得到： $$ x^2 + y^2 = 4 + 4(2\cos^2 \theta - 1) = 4 + 8\cos^2 \theta - 4 = 8\cos^2 \theta $$ 结合 $x = \sqrt{2} + \sqrt{2} \cos 2\theta$ 和 $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$，我们可以得到： $$ x = \sqrt{2} + \sqrt{2}(2\cos^2 \theta - 1) = \sqrt{2} + 2\sqrt{2}\cos^2 \theta - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\cos^2 \theta $$ 因此，我们有： $$ x^2 + y^2 = (2\sqrt{2}\cos^2 \theta)^2 = 8\cos^4 \theta $$ 由于 $\cos^2 \theta = \frac{x}{2\sqrt{2}}$，代入上式，得到： $$ x^2 + y^2 = 8\left(\frac{x}{2\sqrt{2}}\right)^4 = \frac{x^4}{2} $$ 整理得到直角坐标方程： $$ x^4 = 2(x^2 + y^2) $$ 或者写为： $$ x^4 = 2x^2 + 2y^2 $$ 这就是曲线 $C$ 的直角坐标方程。<eoa> (2)【解析】 点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$，这意味着向量 $\overrightarrow{A P}$ 是向量 $\overrightarrow{A M}$ 的 $\sqrt{2}$ 倍。设点 $M$ 的极坐标为 $(\rho, \theta)$，则点 $A$ 的极坐标为 $(1, 0)$。由于点 $A$ 的直角坐标为 $(1,0)$，我们可以写出点 $M$ 和点 $P$ 的直角坐标。然后，我们可以利用这些坐标来写出点 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程。最后，我们需要判断曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 是否有公共点。<eoe> 【答案】 设点 $M$ 的极坐标为 $(\rho, \theta)$，则点 $M$ 的直角坐标为 $(x_M, y_M) = (\rho \cos \theta, \rho \sin \theta)$。由于点 $A$ 的直角坐标为 $(1,0)$，根据 $\overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$，我们可以写出点 $P$ 的直角坐标为： $$ (x_P, y_P) = (x_M + \sqrt{2}x_M, y_M + \sqrt{2}y_M) = (\rho \cos \theta + \sqrt{2}\rho \cos \theta, \rho \sin \theta + \sqrt{2}\rho \sin \theta) $$ $$ = (\rho(1 + \sqrt{2})\cos \theta, \rho(1 + \sqrt{2})\sin \theta) $$ 由于 $\rho = 2 \sqrt{2} \cos \theta$，代入上式，得到： $$ (x_P, y_P) = (2 \sqrt{2} \cos \theta(1 + \sqrt{2})\cos \theta, 2 \sqrt{2} \cos \theta(1 + \sqrt{2})\sin \theta) $$ $$ = (2 \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})\cos^2 \theta, 2 \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})\cos \theta \sin \theta) $$ 利用三角恒等式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ 和 $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$，我们可以写出点 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程： $$ x_P = 2 \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})\left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right) = (1 + \sqrt{2})(1 + \cos 2\theta) $$ $$ y_P = 2 \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})\sin 2\theta = (1 + \sqrt{2})\sin 2\theta $$ 因此，点 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为： $$ x_P = (1 + \sqrt{2})(1 + \cos 2\theta) $$ $$ y_P = (1 + \sqrt{2})\sin 2\theta $$ 其中 $\theta$ 是参数。 为了判断曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 是否有公共点，我们需要比较它们的方程。曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $x^4 = 2x^2 + 2y^2$，而点 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $x_P = (1 + \sqrt{2})(1 + \cos 2\theta)$ 和 $y_P = (1 + \sqrt{2})\sin 2\theta$。我们可以将 $C_{1}$ 的参数方程代入 $C$ 的直角坐标方程中，检查是否有满足条件的 $\theta$ 值。 代入得到： $$ ((1 + \sqrt{2})(1 + \cos 2\theta))^4 = 2((1 + \sqrt{2})(1 + \cos 2\theta))^2 + 2((1 + \sqrt{2})\sin 2\theta)^2 $$ 这个方程非常复杂，不容易直接解出 $\theta$ 的值。但是，我们可以通过观察来判断是否有公共点。注意到当 $\theta = 0$ 时，点 $M$ 的直角坐标为 $(2\sqrt{2}, 0)$，点 $P$ 的直角坐标为 $(2\sqrt{2}(1 + \sqrt{2}), 0)$。将这些值代入曲线 $C$ 的直角坐标方程中，我们可以检查它们是否满足方程。 代入得到： $$ (2\sqrt{2}(1 + \sqrt{2}))^4 = 2(2\sqrt{2}(1 + \sqrt{2}))^2 + 2(0)^2 $$ $$ (2\sqrt{2})^4(1 + \sqrt{2})^4 = 2(2\sqrt{2})^2(1 + \sqrt{2})^2 $$ $$ 16(1 + \sqrt{2})^4 = 2 \cdot 8(1 + \sqrt{2})^2 $$ $$ (1 + \sqrt{2}) |
【详解】(1) 由曲线 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$, 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$, 即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$, 即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ $\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ $\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数) $\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 , 则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含, 故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点. |
| kimi | (1)【解析】 首先，我们需要将极坐标方程 $\rho = 2\sqrt{2} \cos \theta$ 转换为直角坐标方程。我们知道极坐标和直角坐标之间的关系是： \[ \begin{cases} x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \\ \rho^2 = x^2 + y^2 \end{cases} \] 将极坐标方程代入 $\rho^2 = x^2 + y^2$，我们得到： \[ (2\sqrt{2} \cos \theta)^2 = x^2 + y^2 \] \[ 8 \cos^2 \theta = x^2 + y^2 \] 接下来，我们用 $x = \rho \cos \theta$ 和 $y = \rho \sin \theta$ 替换 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$： \[ 8 \left(\frac{x}{\rho}\right)^2 = x^2 + y^2 \] \[ 8 \left(\frac{x^2}{x^2 + y^2}\right) = x^2 + y^2 \] \[ 8x^2 = (x^2 + y^2)^2 \] \[ 8x^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 \] \[ x^4 - 6x^2y^2 + y^4 = 0 \] \[ (x^2 - y^2)^2 = 0 \] \[ x^2 = y^2 \] \[ x = \pm y \] 这就是曲线 $C$ 的直角坐标方程。 <eoe> 【答案】$x^2 = y^2$ 或 $x = \pm y$<eoa> (2)【解析】 设点 $M$ 的坐标为 $(x_1, y_1)$，点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$。根据题目条件，$\overrightarrow{AP} = \sqrt{2} \overrightarrow{AM}$，我们可以得到： \[ (x - 1, y) = \sqrt{2}(x_1 - 1, y_1) \] 解这个方程组，我们得到： \[ \begin{cases} x - 1 = \sqrt{2}(x_1 - 1) \\ y = \sqrt{2}y_1 \end{cases} \] 从第一个方程解出 $x_1$： \[ x_1 = \frac{x - 1}{\sqrt{2}} + 1 \] 将 $x_1$ 和 $y_1$ 代入曲线 $C$ 的直角坐标方程 $x_1^2 = y_1^2$，我们得到： \[ \left(\frac{x - 1}{\sqrt{2}} + 1\right)^2 = (\sqrt{2}y_1)^2 \] \[ \frac{(x - 1)^2}{2} + 2(x - 1) + 1 = 2y_1^2 \] \[ (x - 1)^2 + 4(x - 1) + 2 = 4y_1^2 \] \[ x^2 - 2x + 1 + 4x - 4 + 2 = 4y^2 \] \[ x^2 + 2x - 1 = 4y^2 \] \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1 \] 这是点 $P$ 的轨迹 $C_1$ 的参数方程。 为了判断 $C$ 与 $C_1$ 是否有公共点，我们可以将 $C$ 的方程 $x^2 = y^2$ 代入 $C_1$ 的方程，看是否能得到实数解： \[ \frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{1} = 1 \] \[ \frac{5x^2}{4} = 1 \] \[ x^2 = \frac{4}{5} \] \[ x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \] 由于 $x^2 = y^2$，我们可以得到 $y = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$。所以，$C$ 与 $C_1$ 有公共点。 <eoe> 【答案】$C_1$ 的参数方程为 $\ |
【详解】(1) 由曲线 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$, 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$, 即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$, 即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ $\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ $\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数) $\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 , 则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含, 故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】根据极坐标与直角坐标的转换公式，我们有： $x = \rho \cos \theta$ $y = \rho \sin \theta$ 将这两个公式代入给定的极坐标方程 $\rho = 2\sqrt{2}\cos \theta$，我们得到： $x = 2\sqrt{2}\cos^2 \theta$ $y = 2\sqrt{2}\cos \theta \sin \theta$ 利用三角恒等式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ 和 $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$，我们可以进一步化简上述方程为直角坐标方程。<eoe> 【答案】曲线C的直角坐标方程为 $(x - \sqrt{2})^2 + y^2 = 2$。 (2)【解析】设点M的坐标为 $(x, y)$，根据题意，点P的坐标为 $(x + \sqrt{2}x, y + \sqrt{2}y)$。将M的坐标代入曲线C的方程中，我们可以得到P的轨迹方程。接着，我们可以通过比较曲线C和轨迹 $C_1$ 的方程来判断它们是否有公共点。<eoe> 【答案】点P的轨迹 $C_1$ 的参数方程为 $(x - \sqrt{2})^2 + y^2 = 2$。曲线C与轨迹 $C_1$ 没有公共点。 |
【详解】(1) 由曲线 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$, 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$, 即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$, 即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ $\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ $\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数) $\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 , 则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含, 故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点. |
| zhipu | (1)【解析】 要将曲线 \( C \) 的极坐标方程 \(\rho = 2 \sqrt{2} \cos \theta\) 转换为直角坐标方程，我们需要利用极坐标与直角坐标之间的转换关系： \[ \rho = \sqrt{x^2 + y^2} \quad \text{和} \quad \cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \] 将这些关系代入极坐标方程中： \[ \sqrt{x^2 + y^2} = 2 \sqrt{2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \] 两边同时乘以 \(\sqrt{x^2 + y^2}\)，得到： \[ x^2 + y^2 = 2 \sqrt{2} x \] 将方程整理成标准形式： \[ x^2 - 2 \sqrt{2} x + y^2 = 0 \] 完成平方，得到： \[ (x - \sqrt{2})^2 + y^2 = 2 \] 这表示一个以 \((\sqrt{2}, 0)\) 为圆心，半径为 \(\sqrt{2}\) 的圆。<eoe> 【答案】 直角坐标方程为 \((x - \sqrt{2})^2 + y^2 = 2\)<eoa> (2)【解析】 设点 \( M \) 的直角坐标为 \((x_1, y_1)\)，根据曲线 \( C \) 的方程，点 \( M \) 满足： \[ (x_1 - \sqrt{2})^2 + y_1^2 = 2 \] 点 \( P \) 满足 \(\overrightarrow{A P} = \sqrt{2} \overrightarrow{A M}\)，即： \[ \begin{cases} x - 1 = \sqrt{2} (x_1 - 1) \\ y = \sqrt{2} y_1 \end{cases} \] 解这个方程组，得到： \[ \begin{cases} x_1 = \frac{x - 1}{\sqrt{2}} + 1 \\ y_1 = \frac{y}{\sqrt{2}} \end{cases} \] 将 \( x_1 \) 和 \( y_1 \) 代入 \( M \) 的方程： \[ \left( \frac{x - 1}{\sqrt{2}} + 1 - \sqrt{2} \right)^2 + \left( \frac{y}{\sqrt{2}} \right)^2 = 2 \] 简化得到： \[ \left( \frac{x - 1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} + 1 \right)^2 + \frac{y^2}{2} = 2 \] 进一步简化： \[ \left( \frac{x - 1 - 2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)^2 + \frac{y^2}{2} = 2 \] \[ \left( \frac{x - 3 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)^2 + \frac{y^2}{2} = 2 \] 乘以 2： \[ (x - 3 + \sqrt{2})^2 + y^2 = 4 \] 所以，点 \( P \) 的轨迹 \( C_1 \) 的方程为： \[ (x - 3 + \sqrt{2})^2 + y^2 = 4 \] 这是一个以 \((3 - \sqrt{2}, 0)\) 为圆心，半径为 2 的圆。 接下来判断 \( C \) 与 \( C_1 \) 是否有公共点。圆 \( C \) 的圆心为 \((\sqrt{2}, 0)\)，半径为 \(\sqrt{2}\)；圆 \( C_1 \) 的圆心为 \((3 - \sqrt{2}, 0)\)，半径为 2。计算两圆心之间的距离： \[ d = |(\sqrt{2}) - (3 - \sqrt{2})| = |2\sqrt{2} - 3| \] 比较 \( d \) 与两圆半径之和及差： \[ \sqrt{2} + 2 \quad \text{和} \quad |2 - \sqrt{2}| \] \[ |2\sqrt{2} - 3| \approx |2 \cdot 1.414 - 3| = |2.828 - 3| = 0.172 \] 显然 \( 0.172 < \sqrt{2} + 2 \) 且 \( 0.172 < |2 - \sqrt{2}| \)，所以两圆相交，有公共点。<eoe> 【答案】 点 \( P \) 的轨迹 \( C_1 \) 的参数方程为 \((x - 3 + \sqrt{2})^2 + y^2 = 4\)，且 \( C \) 与 \( C_1 \) 有公共点。<eoa> |
【详解】(1) 由曲线 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$, 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$, 即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$, 即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ $\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ $\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数) $\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 , 则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含, 故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点. |
| gpto1 | (1)【解析】 将极坐标方程 $\rho = 2\sqrt{2} \cos \theta$ 转换为直角坐标方程。 首先，利用极坐标和直角坐标的关系： \[ \begin{cases} x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \\ \rho^2 = x^2 + y^2 \end{cases} \] 因为 $\cos \theta = \dfrac{x}{\rho}$，所以原方程可以写为： \[ \rho = 2\sqrt{2} \cdot \dfrac{x}{\rho} \] 两边同乘以 $\rho$，得到： \[ \rho^2 = 2\sqrt{2} x \] 代入 $\rho^2 = x^2 + y^2$，得到： \[ x^2 + y^2 = 2\sqrt{2} x \] 将方程整理： \[ x^2 - 2\sqrt{2} x + y^2 = 0 \] 对 $x$ 项配方： \[ (x - \sqrt{2})^2 - 2 + y^2 = 0 \] 移项，得到： \[ (x - \sqrt{2})^2 + y^2 = 2 \] 这表示一个以 $(\sqrt{2}, 0)$ 为圆心，半径为 $\sqrt{2}$ 的圆的方程。 <eoe> 【答案】 \[ (x - \sqrt{2})^2 + y^2 = 2 \] <eoa> (2)【解析】 设动点 $M$ 的极坐标为 $(\rho, \theta)$，其中 $\rho = 2\sqrt{2} \cos \theta$。点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$。根据题意，有： \[ \overrightarrow{AP} = \sqrt{2} \cdot \overrightarrow{AM} \] 展开向量关系： \[ \vec{OP} - \vec{OA} = \sqrt{2} (\vec{OM} - \vec{OA}) \] 整理得： \[ \vec{OP} = (1 - \sqrt{2})\vec{OA} + \sqrt{2} \vec{OM} \] 由于 $\vec{OA} = (1, 0)$，所以： \[ \begin{cases} x_P = (1 - \sqrt{2}) \times 1 + \sqrt{2} x_M \\ y_P = (1 - \sqrt{2}) \times 0 + \sqrt{2} y_M \end{cases} \] 其中，$x_M$ 和 $y_M$ 为点 $M$ 的坐标： \[ \begin{cases} x_M = \rho \cos \theta = 2\sqrt{2} \cos^2 \theta \\ y_M = \rho \sin \theta = 2\sqrt{2} \cos \theta \sin \theta \end{cases} \] 将 $x_M$ 和 $y_M$ 代入，得到： \[ \begin{cases} x_P = (1 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} \times 2\sqrt{2} \cos^2 \theta = (1 - \sqrt{2}) + 4 \cos^2 \theta \\ y_P = \sqrt{2} \times 2\sqrt{2} \cos \theta \sin \theta = 4 \cos \theta \sin \theta \end{cases} \] 利用三角恒等式： \[ \begin{cases} \cos^2 \theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2} \\ 2 \cos \theta \sin \theta = \sin 2\theta \end{cases} \] 所以： \[ \begin{cases} x_P = (1 - \sqrt{2}) + 2(1 + \cos 2\theta) = (3 - \sqrt{2}) + 2 \cos 2\theta \\ y_P = 2 \sin 2\theta \end{cases} \] 因此，点 $P$ 的轨迹 $C_1$ 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = (3 - \sqrt{2}) + 2 \cos 2\theta \\ y = 2 \sin 2\theta \end{cases} \] 这是一个以 $(3 - \sqrt{2}, 0)$ 为圆心，半径为 $2$ 的圆的参数方程。 接下来，判断曲线 $C$ 与 $C_1$ 是否有公共点。 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$，半径为 $r_1 = \sqrt{2}$。 曲线 $C_1$ 的圆心为 $(3 - \sqrt{2}, 0)$，半径为 $r_2 = 2$。 两圆心的距离为： \[ d = |(3 - \sqrt{2}) - \sqrt{2}| = 3 - 2\sqrt{2} \] 计算： \[ d \approx 3 - 2 \times 1.4142 = 3 - 2.8284 = 0.1716 \] 两圆半径差的绝对值为： \[ |r_2 - r_1| = |2 - \sqrt{2}| \approx |2 - 1.4142| = 0.5858 \] 因为 $d < |r_2 - r_1|$，所以小圆在大圆内且不与大圆相切，两圆没有公共点。 <eoe> 【答案】 \[ \begin{cases} x = (3 - \sqrt{2}) + 2 \cos 2\theta \\ y = 2 \sin 2\theta \end{cases} \] $C$ 与 $C_1$ 没有公共点。 <eoa> |
【详解】(1) 由曲线 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$, 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$, 即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$, 即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ $\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ $\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数) $\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 , 则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含, 故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点. |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-11524658-dd32-9ee6-8987-d9806855a8c9', 'request_id': '11524658-dd32-9ee6-8987-d9806855a8c9'} | 【详解】(1) 由曲线 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$, 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$, 即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$, 即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ $\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ $\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$, 故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数) $\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 , 则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含, 故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点. |