| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们将函数 \( f(x) = |x - a| + |x + 3| \) 代入 \( a = 1 \)，得到： \[ f(x) = |x - 1| + |x + 3| \] 接下来，我们需要求解不等式 \( f(x) \geq 6 \)。 为了求解这个不等式，我们需要考虑不同的区间，因为绝对值函数在不同区间的表现不同。我们需要找到 \( |x - 1| \) 和 \( |x + 3| \) 的分界点，即 \( x = 1 \) 和 \( x = -3 \)。 我们将 \( x \) 轴分成三个区间： 1. \( x \leq -3 \) 2. \( -3 < x \leq 1 \) 3. \( x > 1 \) 在每个区间内，绝对值函数可以去掉绝对值符号： 1. 当 \( x \leq -3 \) 时： \[ f(x) = (1 - x) + (-x - 3) = -2x - 2 \] 解 \( -2x - 2 \geq 6 \)： \[ -2x - 2 \geq 6 \] \[ -2x \geq 8 \] \[ x \leq -4 \] 2. 当 \( -3 < x \leq 1 \) 时： \[ f(x) = (1 - x) + (x + 3) = 4 \] 显然，\( 4 \) 不满足 \( f(x) \geq 6 \)，所以在这个区间内没有解。 3. 当 \( x > 1 \) 时： \[ f(x) = (x - 1) + (x + 3) = 2x + 2 \] 解 \( 2x + 2 \geq 6 \)： \[ 2x + 2 \geq 6 \] \[ 2x \geq 4 \] \[ x \geq 2 \] 综上所述，解集为： \[ x \leq -4 \quad \text{或} \quad x \geq 2 \] <eoe> 【答案】\( x \leq -4 \) 或 \( x \geq 2 \)<eoa> (2)【解析】 我们需要求解 \( f(x) > -a \) 的 \( a \) 的取值范围。 首先，考虑函数 \( f(x) = |x - a| + |x + 3| \) 的最小值。我们知道绝对值函数的最小值出现在两个绝对值项的中点。 考虑 \( x \) 轴上的三个区间： 1. \( x \leq -3 \) 2. \( -3 < x \leq a \) 3. \( x > a \) 在每个区间内，绝对值函数可以去掉绝对值符号： 1. 当 \( x \leq -3 \) 时： \[ f(x) = (a - x) + (-x - 3) = -2x + a - 3 \] 2. 当 \( -3 < x \leq a \) 时： \[ f(x) = (a - x) + (x + 3) = a + 3 \] 3. 当 \( x > a \) 时： \[ f(x) = (x - a) + (x + 3) = 2x - a + 3 \] 我们需要找到 \( f(x) \) 的最小值。显然，\( f(x) \) 在区间 \( -3 < x \leq a \) 内的值为 \( a + 3 \)，这是一个常数。 因此，函数 \( f(x) \) 的最小值为 \( a + 3 \)。 为了使 \( f(x) > -a \)，我们需要： \[ a + 3 > -a \] \[ 2a > -3 \] \[ a > -\frac{3}{2} \] 综上所述，\( a \) 的取值范围为： \[ a > -\frac{3}{2} \] <eoe> 【答案】\( a > -\frac{3}{2} \)<eoa> |
答案: 见解析 解析: 当 $a=1$ 时, $f(x) \geq 6 \Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \geq 6$, 当 $x \leq-3$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x-x-3 \geq 6$, 解得 $x \leq-4$; 当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x+x+3 \geq 6$, 解得 $x \in \varnothing$; 当 $x \geq 1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow x-1+x+3 \geq 6$, 解得 $x \geq 2$. 综上, 原不等式的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$. (2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\min }>-a$, 因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \leq 0$ 时, 等号成立), 所以 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ |
| deepseekr1 | (1)【解析】当$a=1$时，函数变为$f(x)=|x-1|+|x+3|$。分三个区间讨论： - 当$x < -3$时，$f(x)=-2x-2$，解$-2x-2 \geq 6$得$x \leq -4$，符合区间。 - 当$-3 \leq x \leq 1$时，$f(x)=4$，不满足$4 \geq 6$，无解。 - 当$x > 1$时，$f(x)=2x+2$，解$2x+2 \geq 6$得$x \geq 2$，符合区间。 综上，解集为$(-\infty, -4] \cup [2, +\infty)$。<eoe> 【答案】解集为$(-\infty, -4] \cup [2, +\infty)$。<eoa> (2)【解析】函数$f(x)=|x-a|+|x+3|$的最小值为$|a+3|$。要求$f(x) > -a$恒成立，即$|a+3| > -a$。分情况讨论： - 当$a \geq -3$时，不等式为$a+3 > -a$，解得$a > -\frac{3}{2}$。 - 当$a < -3$时，不等式为$-a-3 > -a$，即$-3 > 0$，无解。 综上，$a$的取值范围为$(-\frac{3}{2}, +\infty)$。<eoe> 【答案】$a$的取值范围是$\left(-\frac{3}{2}, +\infty\right)$。<eoa> |
答案: 见解析 解析: 当 $a=1$ 时, $f(x) \geq 6 \Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \geq 6$, 当 $x \leq-3$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x-x-3 \geq 6$, 解得 $x \leq-4$; 当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x+x+3 \geq 6$, 解得 $x \in \varnothing$; 当 $x \geq 1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow x-1+x+3 \geq 6$, 解得 $x \geq 2$. 综上, 原不等式的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$. (2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\min }>-a$, 因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \leq 0$ 时, 等号成立), 所以 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ |
| gpto1 | (1)【解析】 首先，将 $a=1$ 代入函数 $f(x)$，得到： \[ f(x) = |x - 1| + |x + 3| \] 接下来，我们找到函数中绝对值符号内表达式为零的点，即分界点： 1. $x - 1 = 0 \implies x = 1$ 2. $x + 3 = 0 \implies x = -3$ 因此，将数轴分为三个区间： - 当 $x < -3$ 时， - $x - 1 < -3 - 1 = -4 < 0 \implies |x - 1| = -(x - 1)$ - $x + 3 < -3 + 3 = 0 \implies |x + 3| = -(x + 3)$ - 所以，$f(x) = -(x - 1) - (x + 3) = -2x - 2$ - 当 $-3 \leq x < 1$ 时， - $x - 1 < 1 - 1 = 0 \implies |x - 1| = -(x - 1)$ - $x + 3 \geq -3 + 3 = 0 \implies |x + 3| = x + 3$ - 所以，$f(x) = -(x - 1) + (x + 3) = 4$ - 当 $x \geq 1$ 时， - $x - 1 \geq 0 \implies |x - 1| = x - 1$ - $x + 3 \geq 1 + 3 = 4 > 0 \implies |x + 3| = x + 3$ - 所以，$f(x) = (x - 1) + (x + 3) = 2x + 2$ 接下来在各个区间解不等式 $f(x) \geq 6$： - 当 $x < -3$，$f(x) = -2x - 2 \geq 6$， \[ -2x - 2 \geq 6 \implies -2x \geq 8 \implies x \leq -4 \] - 当 $-3 \leq x < 1$，$f(x) = 4$，显然 $4 \geq 6$ 不成立，所以无解。 - 当 $x \geq 1$，$f(x) = 2x + 2 \geq 6$， \[ 2x + 2 \geq 6 \implies 2x \geq 4 \implies x \geq 2 \] 综合以上结果，解集为： \[ x \leq -4 \quad \text{或} \quad x \geq 2 \] <eoe> 【答案】 (1) $\{ x \mid x \leq -4 \text{ 或 } x \geq 2 \}$ <eoa> (2)【解析】 首先，考虑函数的最小值。因为 \[ f(x) = |x - a| + |x + 3| \] 对于任意的 $x$，$f(x) \geq |a + 3|$。因为在 $x = -3$ 和 $x = a$ 处， \[ f(-3) = | -3 - a| + | -3 + 3| = | - a - 3| + 0 = |a + 3| \] \[ f(a) = | a - a| + | a + 3| = 0 + | a + 3| = |a + 3| \] 因此，函数的最小值为： \[ f_{\min} = | a + 3 | \] 要求 $f(x) > -a$，则有： \[ f_{\min} = |a + 3| > -a \] 分情况讨论： **当 $a + 3 \geq 0$（即 $a \geq -3$）时**， \[ |a + 3| = a + 3 \] 所以， \[ a + 3 > -a \implies 2a + 3 > 0 \implies a > -\dfrac{3}{2} \] **当 $a + 3 < 0$（即 $a < -3$）时**， \[ |a + 3| = - (a + 3) = -a - 3 \] 但此时， \[ -a - 3 > -a \implies -3 > 0 \] 显然不成立。 因此，只有当 $a > -\dfrac{3}{2}$ 时，不等式 $f(x) > -a$ 才成立。 <eoe> 【答案】 (2) $a > -\dfrac{3}{2}$ <eoa> |
答案: 见解析 解析: 当 $a=1$ 时, $f(x) \geq 6 \Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \geq 6$, 当 $x \leq-3$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x-x-3 \geq 6$, 解得 $x \leq-4$; 当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x+x+3 \geq 6$, 解得 $x \in \varnothing$; 当 $x \geq 1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow x-1+x+3 \geq 6$, 解得 $x \geq 2$. 综上, 原不等式的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$. (2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\min }>-a$, 因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \leq 0$ 时, 等号成立), 所以 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ |
| GPT-4o | 好的，我们来解答题目。 (1)【解析】 首先，我们写出函数 \( f(x) \) 的具体表达式。 已知 \( f(x) = |x - a| + |x + 3| \)，当 \( a = 1 \) 时，函数变为： \[ f(x) = |x - 1| + |x + 3| \] 接下来，我们需要求解不等式 \( f(x) \geq 6 \) 的解集。我们分区间讨论。 1. 当 \( x \geq 1 \) 时： \[ f(x) = (x - 1) + (x + 3) = 2x + 2 \] 解不等式 \( 2x + 2 \geq 6 \)： \[ 2x + 2 \geq 6 \implies 2x \geq 4 \implies x \geq 2 \] 2. 当 \( -3 \leq x < 1 \) 时： \[ f(x) = (1 - x) + (x + 3) = 4 \] 显然，\( 4 \geq 6 \) 不成立，所以在这个区间没有解。 3. 当 \( x < -3 \) 时： \[ f(x) = (1 - x) + (-x - 3) = -2x - 2 \] 解不等式 \( -2x - 2 \geq 6 \)： \[ -2x - 2 \geq 6 \implies -2x \geq 8 \implies x \leq -4 \] 综上所述，解集为： \[ x \leq -4 \text{ or } x \geq 2 \] <eoe> 【答案】\( x \leq -4 \text{ or } x \geq 2 \)<eoa> (2)【解析】 我们要求 \( f(x) > -a \) 的 \( a \) 的取值范围。 首先，我们考虑函数 \( f(x) = |x - a| + |x + 3| \) 的最小值。 由于绝对值函数的性质， \( f(x) \) 在 \( x = \frac{a - (-3)}{2} = \frac{a + 3}{2} \) 处取得最小值。 假设 \( x = \frac{a + 3}{2} \)，则： \[ f\left(\frac{a + 3}{2}\right) = \left| \frac{a + 3}{2} - a \right| + \left| \frac{a + 3}{2} + 3 \right| \] \[ = \left| \frac{-a + 3}{2} \right| + \left| \frac{a + 3 + 6}{2} \right| \] \[ = \frac{|3 - a|}{2} + \frac{|a + 9|}{2} \] 为了使 \( f(x) > -a \)，我们需要最小值大于 \(-a\)。即： \[ \frac{|3 - a|}{2} + \frac{|a + 9|}{2} > -a \] 考虑 \( a \) 的不同取值范围，我们分别讨论： 1. 当 \( a \geq 3 \) 时： \[ f(x) = (a - 3) + (a + 3) = 2a \] 所以 \( 2a > -a \implies 3a > 0 \implies a > 0 \) 2. 当 \( -9 \leq a < 3 \) 时： \[ f(x) = (3 - a) + (a + 3) = 6 \] 所以 \( 6 > -a \implies a > -6 \) 3. 当 \( a < -9 \) 时： \[ f(x) = -(a - 3) - (a + 9) = -2a - 6 \] 所以 \( -2a - 6 > -a \implies -a > 6 \implies a < -6 \) 综上所述，结合所有区间，我们得到 \( a \) 的取值范围是： \[ a > -6 \] <eoe> 【答案】\( a > -6 \)<eoa> |
答案: 见解析 解析: 当 $a=1$ 时, $f(x) \geq 6 \Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \geq 6$, 当 $x \leq-3$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x-x-3 \geq 6$, 解得 $x \leq-4$; 当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x+x+3 \geq 6$, 解得 $x \in \varnothing$; 当 $x \geq 1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow x-1+x+3 \geq 6$, 解得 $x \geq 2$. 综上, 原不等式的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$. (2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\min }>-a$, 因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \leq 0$ 时, 等号成立), 所以 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 (1)当a=1时,函数f(x)=|x-1|+|x+3|,当x<-3时,f(x)=-x+1-x-3=-2x-2,当-3\leqslantx<1时,f(x)=x+3-x+1=4,当x\geqslant1时,f(x)=x-1+x+3=2x+2,由此可得f(x)\geqslant6的解集为x\leqslant-4或x\geqslant2.(2)由f(x)=|x-a|+|x+3|,当x<-3时,f(x)=-x+1-x-3=-2x-2,当-3\leqslantx<a时,f(x)=x+3-x+a=a+3,当a\leqslantx时,f(x)=x-a+x+3=2x-a+3,由f(x)>-a,可得-2x-2>-a,解得x<\frac{a-2}{2},当-3\leqslantx<a时,a+3>-a,解得a>-1.5,当a\leqslantx时,2x-a+3>-a,解得x>-\frac{3}{2},综上可得a>-1.5. 最终结果是(1) (-oo, -4] + [2, +oo) (2) (-1.5, +oo) |
答案: 见解析 解析: 当 $a=1$ 时, $f(x) \geq 6 \Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \geq 6$, 当 $x \leq-3$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x-x-3 \geq 6$, 解得 $x \leq-4$; 当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x+x+3 \geq 6$, 解得 $x \in \varnothing$; 当 $x \geq 1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow x-1+x+3 \geq 6$, 解得 $x \geq 2$. 综上, 原不等式的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$. (2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\min }>-a$, 因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \leq 0$ 时, 等号成立), 所以 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+3|,不等式f(x)\geqslant6即为|x-1|+|x+3|\geqslant6,当x<-3时,不等式变为-(x-1)-(x+3)\geqslant6,解得x\leqslant-4;当-3\leqslantx<1时,不等式变为x-1-(x+3)\geqslant6,解得0\geqslant8,无解;当x\geqslant1时,不等式变为x-1+x+3\geqslant6,解得x\geqslant2,综上可得不等式f(x)\geqslant6的解集为(-\infty,-4]\ |
答案: 见解析 解析: 当 $a=1$ 时, $f(x) \geq 6 \Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \geq 6$, 当 $x \leq-3$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x-x-3 \geq 6$, 解得 $x \leq-4$; 当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x+x+3 \geq 6$, 解得 $x \in \varnothing$; 当 $x \geq 1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow x-1+x+3 \geq 6$, 解得 $x \geq 2$. 综上, 原不等式的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$. (2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\min }>-a$, 因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \leq 0$ 时, 等号成立), 所以 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 当 $a=1$ 时，函数 $f(x)=|x-1|+|x+3|$。我们需要求解不等式 $f(x) \\geq 6$。\n\n首先，考虑 $|x-1|$ 和 $|x+3|$ 的定义域分段情况：\n- 当 $x \\geq 1$ 时，$|x-1| = x-1$，$|x+3| = x+3$，所以 $f(x) = (x-1) + (x+3) = 2x + 2$。\n- 当 $-3 \\leq x < 1$ 时，$|x-1| = 1-x$，$|x+3| = x+3$，所以 $f(x) = (1-x) + (x+3) = 4$。\n- 当 $x < -3$ 时，$|x-1| = 1-x$，$|x+3| = -x-3$，所以 $f(x) = (1-x) + (-x-3) = -2x - 2$。\n\n接下来，分别求解各区间的 $f(x) \\geq 6$：\n1. 当 $x \\geq 1$ 时，$2x + 2 \\geq 6$，解得 $2x \\geq 4$，即 $x \\geq 2$。\n2. 当 $-3 \\leq x < 1$ 时，$f(x) = 4$，显然不满足 $f(x) \\geq 6$。\n3. 当 $x < -3$ 时，$-2x - 2 \\geq 6$，解得 $-2x \\geq 8$，即 $x \\leq -4$。\n\n综上所述，不等式 $f(x) \\geq 6$ 的解集为 $x \\geq 2$ 或 $x \\leq -4$。<eoe>\n【答案】$x \\geq 2$ 或 $x \\leq -4$<eoa>\n\n(2)【解析】 我们需要求解不等式 $f(x) > -a$。函数 $f(x) = |x-a| + |x+3|$ 的最小值是 $|a+3|$，因为 $|x-a|$ 和 $|x+3|$ 的和的最小值是 $|a+3|$（当 $x$ 在 $a$ 和 $-3$ 之间时）。\n\n因此，不等式 $f(x) > -a$ 可以转化为 $|a+3| > -a$。\n\n考虑 $|a+3|$ 的定义：\n- 当 $a+3 \\geq 0$ 时，$|a+3| = a+3$，所以 $a+3 > -a$，解得 $2a > -3$，即 $a > -\\frac{3}{2}$。\n- 当 $a+3 < 0$ 时，$|a+3| = -(a+3) = -a-3$，所以 $-a-3 > -a$，这显然不成立。\n\n综上所述，$a$ 的取值范围是 $a > -\\frac{3}{2}$。<eoe>\n【答案】$a > -\\frac{3}{2}$<eoa>" | 答案: 见解析 解析: 当 $a=1$ 时, $f(x) \geq 6 \Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \geq 6$, 当 $x \leq-3$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x-x-3 \geq 6$, 解得 $x \leq-4$; 当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x+x+3 \geq 6$, 解得 $x \in \varnothing$; 当 $x \geq 1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow x-1+x+3 \geq 6$, 解得 $x \geq 2$. 综上, 原不等式的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$. (2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\min }>-a$, 因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \leq 0$ 时, 等号成立), 所以 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 当 $a=1$ 时，函数 $f(x)=|x-1|+|x+3|$。要解不等式 $f(x) \\geq 6$，需要考虑 $x$ 的不同取值范围，因为绝对值函数在不同区间内有不同的线性表达式。分三种情况讨论：\n1. 当 $x \\leq -3$ 时，$f(x) = -(x-1)-(x+3) = -2x-2$。\n2. 当 $-3 < x < 1$ 时，$f(x) = -(x-1)+(x+3) = 4$。\n3. 当 $x \\geq 1$ 时，$f(x) = (x-1)+(x+3) = 2x+2$。\n分别将上述三种情况的 $f(x)$ 代入不等式 $f(x) \\geq 6$ 中求解 $x$ 的范围。<eoe>\n【答案】\n1. 当 $x \\leq -3$ 时，$-2x-2 \\geq 6$，解得 $x \\leq -4$。\n2. 当 $-3 < x < 1$ 时，$4 \\geq 6$，显然不成立，所以此区间内无解。\n3. 当 $x \\geq 1$ 时，$2x+2 \\geq 6$，解得 $x \\geq 2$。\n综上，不等式 $f(x) \\geq 6$ 的解集为 $x \\in (-\\infty, -4] \\cup [2, +\\infty)$。<eoa>\n\n(2)【解析】 要使 $f(x) > -a$ 对所有 $x$ 成立，首先需要理解 $f(x)$ 的最小值。由于 $f(x)=|x-a|+|x+3|$，它表示的是点 $x$ 到点 $a$ 和点 $-3$ 的距离之和，因此 $f(x)$ 的最小值发生在 $x$ 在 $a$ 和 $-3$ 之间时，此时 $f(x) = |a+3|$。要使 $f(x) > -a$ 恒成立，只需 $|a+3| > -a$。但 $|a+3|$ 总是非负的，所以只需考虑 $-a$ 为非正数，即 $a \\geq 0$。然而，为了使不等式严格成立，我们还需要保证 $|a+3| > 0$，即 $a \\neq -3$。因此，$a$ 的取值范围应为 $a \\geq 0$ 且 $a \\neq -3$，但实际中 $a \\geq 0$ 已经排除了 $a = -3$ 的可能性，所以最终 $a$ 的取值范围即为 $a \\geq 0$。<eoe>\n【答案】$a$ 的取值范围为 $a \\geq 0$。<eoa>" | 答案: 见解析 解析: 当 $a=1$ 时, $f(x) \geq 6 \Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \geq 6$, 当 $x \leq-3$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x-x-3 \geq 6$, 解得 $x \leq-4$; 当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x+x+3 \geq 6$, 解得 $x \in \varnothing$; 当 $x \geq 1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow x-1+x+3 \geq 6$, 解得 $x \geq 2$. 综上, 原不等式的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$. (2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\min }>-a$, 因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \leq 0$ 时, 等号成立), 所以 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ |
| baichuan4 | (1)【解析】当 $a=1$ 时，函数 $f(x)=|x-1|+|x+3|$。我们需要找到所有满足 $f(x) \geq 6$ 的 $x$ 值。 由于 $f(x)$ 是两个绝对值的和，我们可以分三种情况讨论： - 当 $x \geq 1$ 时，$f(x) = (x-1) + (x+3) = 2x + 2$。 - 当 $-3 < x < 1$ 时，$f(x) = -(x-1) + (x+3) = 4$。 - 当 $x \leq -3$ 时，$f(x) = -(x-1) - (x+3) = -2x - 2$。 现在我们分别解不等式： - 对于 $x \geq 1$，解 $2x + 2 \geq 6$ 得到 $x \geq 2$。 - 对于 $-3 < x < 1$，$4 \geq 6$ 是不成立的，所以这个区间没有解。 - 对于 $x \leq -3$，解 $-2x - 2 \geq 6$ 得到 $x \leq -4$。 综合这三种情况，我们得到解集为 $(-\infty, -4] \cup [2, +\infty)$。 |
答案: 见解析 解析: 当 $a=1$ 时, $f(x) \geq 6 \Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \geq 6$, 当 $x \leq-3$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x-x-3 \geq 6$, 解得 $x \leq-4$; 当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x+x+3 \geq 6$, 解得 $x \in \varnothing$; 当 $x \geq 1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow x-1+x+3 \geq 6$, 解得 $x \geq 2$. 综上, 原不等式的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$. (2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\min }>-a$, 因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \leq 0$ 时, 等号成立), 所以 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ |
| doubao | (1)【解析】当$a=1$时，$f(x)=|x-1|+|x+3|$。当$x \geq 1$时，$f(x)=x-1+x+3=2x+2$，由$2x+2 \geq 6$，解得$x \geq 2$；当$-3 < x < 1$时，$f(x)=1-x+x+3=4$，不满足$f(x) \geq 6$；当$x \leq -3$时，$f(x)=1-x-(x+3)=-2x-2$，由$-2x-2 \geq 6$，解得$x \leq -4$。综上可得不等式的解集为$(-\infty,-4] \cup [2,+\infty)$。<eoe> 【答案】不等式$f(x) \geq 6$的解集为$(-\infty,-4] \cup [2,+\infty)$。<eoa> (2)【解析】根据绝对值三角不等式可得$f(x)=|x-a|+|x+3| \geq |(x-a)-(x+3)|=|a+3|$。要使$f(x)>-a$，则$|a+3|>-a$。当$a \geq -3$时，$a+3>-a$恒成立；当$a<-3$时，$-(a+3)>-a$，无解。所以$a$的取值范围是$(-3,+\infty)$。<eoe> 【答案】$a$的取值范围是$(-3,+\infty)$。<eoa> |
答案: 见解析 解析: 当 $a=1$ 时, $f(x) \geq 6 \Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \geq 6$, 当 $x \leq-3$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x-x-3 \geq 6$, 解得 $x \leq-4$; 当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x+x+3 \geq 6$, 解得 $x \in \varnothing$; 当 $x \geq 1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow x-1+x+3 \geq 6$, 解得 $x \geq 2$. 综上, 原不等式的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$. (2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\min }>-a$, 因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \leq 0$ 时, 等号成立), 所以 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ |
| minimax | (1)【解析】首先，我们需要考虑函数 $f(x)=|x-a|+|x+3|$ 的性质。这个函数由两个绝对值项组成，因此我们需要分段讨论。对于不等式 $f(x) \geq 6$，我们需要找到所有使得 $f(x)$ 的值大于或等于6的 $x$ 的值。 当 $a=1$ 时，函数变为 $f(x)=|x-1|+|x+3|$。我们需要考虑 $x$ 的不同取值范围，使得两个绝对值内的表达式分别取正值或负值。具体来说，我们需要考虑以下三种情况： 1. 当 $x \geq 1$ 时，$x-1 \geq 0$，$x+3 \geq 0$，因此 $f(x)=x-1+x+3=2x+2$。 2. 当 $-3 \leq x < 1$ 时，$x-1 < 0$，$x+3 \geq 0$，因此 $f(x)=-(x-1)+x+3=4$。 3. 当 $x < -3$ 时，$x-1 < 0$，$x+3 < 0$，因此 $f(x)=-(x-1)-(x+3)=-2x-2$。 对于第一种情况，我们有不等式 $2x+2 \geq 6$，解这个不等式得到 $x \geq 2$。 对于第二种情况，由于 $f(x)=4$ 是一个常数，且 $4 < 6$，所以没有解。 对于第三种情况，我们有不等式 $-2x-2 \geq 6$，解这个不等式得到 $x \leq -4$。 综合这三种情况，我们可以得到不等式 $f(x) \geq 6$ 的解集。<eoe> 【答案】对于 $a=1$ 的情况，我们分三种情况讨论： 1. 当 $x \geq 1$ 时，$f(x)=2x+2 \geq 6$，解得 $x \geq 2$。 2. 当 $-3 \leq x < 1$ 时，$f(x)=4$，不满足 $f(x) \geq 6$。 3. 当 $x < -3$ 时，$f(x)=-2x-2 \geq 6$，解得 $x \leq -4$。 因此，不等式 $f(x) \geq 6$ 的解集是 $x \in (-\infty, -4] \cup [2, \infty)$。<eoa> (2)【解析】对于不等式 $f(x)>-a$，我们需要找到所有使得 $f(x)$ 的值大于 $-a$ 的 $x$ 的值。由于 $f(x)$ 是绝对值函数的和，我们需要分段讨论 $x$ 的取值范围。 对于任意的 $a$，函数 $f(x)$ 可以表示为： 1. 当 $x \geq a$ 时，$f(x)=x-a+x+3=2x+3-a$。 2. 当 $x < -3$ 时，$f(x)=-x+a-x-3=-2x+a-3$。 3. 当 $-3 \leq x < a$ 时，$f(x)=x-a-x-3=-a-3$。 我们需要保证在所有情况下，$f(x)$ 都大于 $-a$。 对于第一种情况，我们有 $2x+3-a > -a$，简化得到 $2x+3 > 0$，解得 $x > -\frac{3}{2}$。 对于第二种情况，我们有 $-2x+a-3 > -a$，简化得到 $-2x+a > a-3$，进一步得到 $-2x > -3$，解得 $x < \frac{3}{2}$。 对于第三种情况，由于 $f(x)=-a-3$ 是一个常数，且 $-a-3 > -a$ 总是成立，所以这个区间内的所有 $x$ 都满足不等式。 因此，为了使 $f(x)>-a$ 对所有 $x$ 都成立，我们需要 $a$ 的取值使得上述所有情况都满足。由于第三种情况总是满足的，我们只需要考虑第一种和第二种情况。这意味着 $a$ 必须大于等于 $-\frac{3}{2}$，以保证第一种情况成立，同时 $a$ 必须小于等于 $\frac{3}{2}$，以保证第二种情况成立。 综上所述，$a$ 的取值范围是 $[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$。<eoe> 【答案】为了使 $f(x)>-a$ 对所有 $x$ 都成立，我们需要 $a$ 的取值范围满足以下条件： 1. 当 $x \geq a$ 时，$f(x)=2x+3-a > -a$，解得 $x > -\frac{3}{2}$。 2. 当 $x < -3$ 时，$f(x)=-2x+a-3 > -a$，解得 $x < \frac{3}{2}$。 3. 当 $-3 \leq x < a$ 时，$f(x)=-a-3 > -a$，这个条件总是成立。 因此，$a$ 的取值范围是 $[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$。<eoa> |
答案: 见解析 解析: 当 $a=1$ 时, $f(x) \geq 6 \Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \geq 6$, 当 $x \leq-3$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x-x-3 \geq 6$, 解得 $x \leq-4$; 当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x+x+3 \geq 6$, 解得 $x \in \varnothing$; 当 $x \geq 1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow x-1+x+3 \geq 6$, 解得 $x \geq 2$. 综上, 原不等式的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$. (2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\min }>-a$, 因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \leq 0$ 时, 等号成立), 所以 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ |
| kimi | (1)【解析】首先，我们需要理解绝对值不等式的解法。对于函数 $f(x)=|x-a|+|x+3|$，当 $a=1$ 时，函数变为 $f(x)=|x-1|+|x+3|$。根据绝对值的性质，我们可以将 $f(x)$ 分为三个区间来讨论：$x<-3$，$-3\leq x\leq 1$，$x>1$。 1. 当 $x<-3$ 时，$f(x)=-(x-1)-(x+3)=-2x-2$。 2. 当 $-3\leq x\leq 1$ 时，$f(x)=-(x-1)+(x+3)=4$。 3. 当 $x>1$ 时，$f(x)=(x-1)+(x+3)=2x+2$。 接下来，我们需要解不等式 $f(x) \geq 6$。 1. 对于 $x<-3$，不等式变为 $-2x-2 \geq 6$，解得 $x \leq -4$。 2. 对于 $-3\leq x\leq 1$，不等式变为 $4 \geq 6$，这个区间内没有解。 3. 对于 $x>1$，不等式变为 $2x+2 \geq 6$，解得 $x \geq 2$。 综上，不等式的解集为 $x \leq -4$ 或 $x \geq 2$。 <eoe> 【答案】$x \leq -4$ 或 $x \geq 2$<eoa> (2)【解析】我们需要找到 $a$ 的取值范围使得 $f(x)>-a$ 成立。首先，我们注意到 $f(x)=|x-a|+|x+3|$ 总是大于等于 $|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$，这是由绝对值三角不等式得出的。因此，$f(x)$ 的最小值是 $|a+3|$。 现在我们需要解不等式 $|a+3|>-a$。由于绝对值总是非负的，所以 $|a+3|$ 总是大于或等于 $0$。因此，$|a+3|>-a$ 等价于 $|a+3|+a>0$。 1. 当 $a \geq 0$ 时，不等式变为 $a+3+a>0$，解得 $a>-3/2$。 2. 当 $a < 0$ 时，不等式变为 $-(a+3)+a>0$，解得 $a<-3$。 综上，$a$ 的取值范围是 $a>-3/2$ 或 $a<-3$。 <eoe> 【答案】$a>-3/2$ 或 $a<-3$<eoa> |
答案: 见解析 解析: 当 $a=1$ 时, $f(x) \geq 6 \Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \geq 6$, 当 $x \leq-3$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x-x-3 \geq 6$, 解得 $x \leq-4$; 当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x+x+3 \geq 6$, 解得 $x \in \varnothing$; 当 $x \geq 1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow x-1+x+3 \geq 6$, 解得 $x \geq 2$. 综上, 原不等式的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$. (2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\min }>-a$, 因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \leq 0$ 时, 等号成立), 所以 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ |
| wenxinyiyan | (1)【解析】当$a = 1$时，$f(x) = |x - 1| + |x + 3|$， 此函数可以看作是数轴上动点$X$到两个定点$- 3$和$1$的距离之和， 当$x = - 2$或$x = 2$时，$f(x) = 6$， 故由$f(x) \geqslant 6$得：$x \leqslant - 2$或$x \geqslant 2$， $\therefore$不等式$f(x) \geqslant 6$的解集为$\{ x|x \leqslant - 2$或$x \geqslant 2\}$. 【答案】$\{ x|x \leqslant - 2$或$x \geqslant 2\}$ (2)【解析】$f(x) = |x - a| + |x + 3| \geqslant |(x - a) - (x + 3)| = |a + 3|$， 若$f(x) > - a$恒成立， 则$|a + 3| > - a$， 解得：$a > - \frac{3}{2}$， $\therefore a$的取值范围为$( - \frac{3}{2}, + \infty)$. 【答案】$( - \frac{3}{2}, + \infty)$ |
答案: 见解析 解析: 当 $a=1$ 时, $f(x) \geq 6 \Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \geq 6$, 当 $x \leq-3$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x-x-3 \geq 6$, 解得 $x \leq-4$; 当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x+x+3 \geq 6$, 解得 $x \in \varnothing$; 当 $x \geq 1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow x-1+x+3 \geq 6$, 解得 $x \geq 2$. 综上, 原不等式的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$. (2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\min }>-a$, 因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \leq 0$ 时, 等号成立), 所以 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ |
| zhipu | (1)【解析】 首先，将 \( a = 1 \) 代入函数 \( f(x) \)，得到： \[ f(x) = |x - 1| + |x + 3| \] 我们需要求解不等式 \( f(x) \geq 6 \)。为了方便求解，考虑函数在不同区间的表现。 1. 当 \( x \leq -3 \) 时： \[ f(x) = -(x - 1) - (x + 3) = -x + 1 - x - 3 = -2x - 2 \] 解不等式： \[ -2x - 2 \geq 6 \] \[ -2x \geq 8 \] \[ x \leq -4 \] 2. 当 \( -3 < x < 1 \) 时： \[ f(x) = -(x - 1) + (x + 3) = -x + 1 + x + 3 = 4 \] 显然，\( 4 \geq 6 \) 不成立，所以在此区间内无解。 3. 当 \( x \geq 1 \) 时： \[ f(x) = (x - 1) + (x + 3) = x - 1 + x + 3 = 2x + 2 \] 解不等式： \[ 2x + 2 \geq 6 \] \[ 2x \geq 4 \] \[ x \geq 2 \] 综上所述，不等式 \( f(x) \geq 6 \) 的解集为： \[ x \leq -4 \text{ 或 } x \geq 2 \] <eoe> 【答案】 \[ \{ x \mid x \leq -4 \text{ 或 } x \geq 2 \} \] <eoa> (2)【解析】 我们需要求解 \( f(x) > -a \)，即： \[ |x - a| + |x + 3| > -a \] 由于绝对值函数的性质，\( |x - a| \geq 0 \) 且 \( |x + 3| \geq 0 \)，所以 \( f(x) \geq 0 \)。因此，若 \( -a < 0 \)，即 \( a > 0 \)，不等式 \( f(x) > -a \) 恒成立。 接下来考虑 \( a \leq 0 \) 的情况： 1. 当 \( x \leq -3 \) 时： \[ f(x) = -(x - a) - (x + 3) = -x + a - x - 3 = -2x + a - 3 \] 需要满足： \[ -2x + a - 3 > -a \] \[ -2x > -2a - 3 \] \[ x < a + \frac{3}{2} \] 2. 当 \( -3 < x < a \) 时： \[ f(x) = -(x - a) + (x + 3) = -x + a + x + 3 = a + 3 \] 需要满足： \[ a + 3 > -a \] \[ 2a > -3 \] \[ a > -\frac{3}{2} \] 3. 当 \( x \geq a \) 时： \[ f(x) = (x - a) + (x + 3) = x - a + x + 3 = 2x - a + 3 \] 需要满足： \[ 2x - a + 3 > -a \] \[ 2x + 3 > 0 \] 这个不等式对于所有 \( x \geq a \) 都成立。 综合以上分析，若 \( a \leq 0 \)，则需要 \( a > -\frac{3}{2} \)。 综上所述，\( a \) 的取值范围为： \[ a > -\frac{3}{2} \] <eoe> 【答案】 \[ a > -\frac{3}{2} \] <eoa> |
答案: 见解析 解析: 当 $a=1$ 时, $f(x) \geq 6 \Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \geq 6$, 当 $x \leq-3$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x-x-3 \geq 6$, 解得 $x \leq-4$; 当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x+x+3 \geq 6$, 解得 $x \in \varnothing$; 当 $x \geq 1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow x-1+x+3 \geq 6$, 解得 $x \geq 2$. 综上, 原不等式的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$. (2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\min }>-a$, 因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \leq 0$ 时, 等号成立), 所以 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ |
| gpto1 | (1)【解析】 首先，将 $a=1$ 代入函数 $f(x)$，得到： \[ f(x) = |x - 1| + |x + 3| \] 接下来，我们找到函数中绝对值符号内表达式为零的点，即分界点： 1. $x - 1 = 0 \implies x = 1$ 2. $x + 3 = 0 \implies x = -3$ 因此，将数轴分为三个区间： - 当 $x < -3$ 时， - $x - 1 < -3 - 1 = -4 < 0 \implies |x - 1| = -(x - 1)$ - $x + 3 < -3 + 3 = 0 \implies |x + 3| = -(x + 3)$ - 所以，$f(x) = -(x - 1) - (x + 3) = -2x - 2$ - 当 $-3 \leq x < 1$ 时， - $x - 1 < 1 - 1 = 0 \implies |x - 1| = -(x - 1)$ - $x + 3 \geq -3 + 3 = 0 \implies |x + 3| = x + 3$ - 所以，$f(x) = -(x - 1) + (x + 3) = 4$ - 当 $x \geq 1$ 时， - $x - 1 \geq 0 \implies |x - 1| = x - 1$ - $x + 3 \geq 1 + 3 = 4 > 0 \implies |x + 3| = x + 3$ - 所以，$f(x) = (x - 1) + (x + 3) = 2x + 2$ 接下来在各个区间解不等式 $f(x) \geq 6$： - 当 $x < -3$，$f(x) = -2x - 2 \geq 6$， \[ -2x - 2 \geq 6 \implies -2x \geq 8 \implies x \leq -4 \] - 当 $-3 \leq x < 1$，$f(x) = 4$，显然 $4 \geq 6$ 不成立，所以无解。 - 当 $x \geq 1$，$f(x) = 2x + 2 \geq 6$， \[ 2x + 2 \geq 6 \implies 2x \geq 4 \implies x \geq 2 \] 综合以上结果，解集为： \[ x \leq -4 \quad \text{或} \quad x \geq 2 \] <eoe> 【答案】 (1) $\{ x \mid x \leq -4 \text{ 或 } x \geq 2 \}$ <eoa> (2)【解析】 首先，考虑函数的最小值。因为 \[ f(x) = |x - a| + |x + 3| \] 对于任意的 $x$，$f(x) \geq |a + 3|$。因为在 $x = -3$ 和 $x = a$ 处， \[ f(-3) = | -3 - a| + | -3 + 3| = | - a - 3| + 0 = |a + 3| \] \[ f(a) = | a - a| + | a + 3| = 0 + | a + 3| = |a + 3| \] 因此，函数的最小值为： \[ f_{\min} = | a + 3 | \] 要求 $f(x) > -a$，则有： \[ f_{\min} = |a + 3| > -a \] 分情况讨论： **当 $a + 3 \geq 0$（即 $a \geq -3$）时**， \[ |a + 3| = a + 3 \] 所以， \[ a + 3 > -a \implies 2a + 3 > 0 \implies a > -\dfrac{3}{2} \] **当 $a + 3 < 0$（即 $a < -3$）时**， \[ |a + 3| = - (a + 3) = -a - 3 \] 但此时， \[ -a - 3 > -a \implies -3 > 0 \] 显然不成立。 因此，只有当 $a > -\dfrac{3}{2}$ 时，不等式 $f(x) > -a$ 才成立。 <eoe> 【答案】 (2) $a > -\dfrac{3}{2}$ <eoa> |
答案: 见解析 解析: 当 $a=1$ 时, $f(x) \geq 6 \Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \geq 6$, 当 $x \leq-3$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x-x-3 \geq 6$, 解得 $x \leq-4$; 当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x+x+3 \geq 6$, 解得 $x \in \varnothing$; 当 $x \geq 1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow x-1+x+3 \geq 6$, 解得 $x \geq 2$. 综上, 原不等式的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$. (2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\min }>-a$, 因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \leq 0$ 时, 等号成立), 所以 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-d44ba0d1-166f-98e1-8334-c23dfc62318f', 'request_id': 'd44ba0d1-166f-98e1-8334-c23dfc62318f'} | 答案: 见解析 解析: 当 $a=1$ 时, $f(x) \geq 6 \Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \geq 6$, 当 $x \leq-3$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x-x-3 \geq 6$, 解得 $x \leq-4$; 当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow 1-x+x+3 \geq 6$, 解得 $x \in \varnothing$; 当 $x \geq 1$ 时, 不等式 $\Leftrightarrow x-1+x+3 \geq 6$, 解得 $x \geq 2$. 综上, 原不等式的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$. (2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\min }>-a$, 因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \leq 0$ 时, 等号成立), 所以 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ |