| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 要估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积和平均一棵的材积量，我们可以使用样本的平均值。 根部横截面积的平均值 \(\bar{x}\) 计算如下： \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} = \frac{0.6}{10} = 0.06 \, \text{m}^2 \] 材积量的平均值 \(\bar{y}\) 计算如下： \[ \bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{10} y_i}{10} = \frac{3.9}{10} = 0.39 \, \text{m}^3 \] <eoe> 【答案】 根部横截面积的平均值：0.06 m² 材积量的平均值：0.39 m³ <eoa> (2)【解析】 样本相关系数 \(r\) 的计算公式为： \[ r = \frac{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{10} (y_i - \bar{y})^2}} \] 首先计算 \(\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\)： \[ \sum_{i=1}^{10} x_i y_i - 10 \bar{x} \bar{y} = 0.2474 - 10 \times 0.06 \times 0.39 = 0.2474 - 0.234 = 0.0134 \] 然后计算 \(\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2\) 和 \(\sum_{i=1}^{10} (y_i - \bar{y})^2\)： \[ \sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{10} x_i^2 - 10 \bar{x}^2 = 0.038 - 10 \times (0.06)^2 = 0.038 - 0.036 = 0.002 \] \[ \sum_{i=1}^{10} (y_i - \bar{y})^2 = \sum_{i=1}^{10} y_i^2 - 10 \bar{y}^2 = 1.6158 - 10 \times (0.39)^2 = 1.6158 - 1.521 = 0.0948 \] 最后计算相关系数 \(r\)： \[ r = \frac{0.0134}{\sqrt{0.002 \times 0.0948}} = \frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} = \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \] <eoe> 【答案】 样本相关系数：0.97 <eoa> (3)【解析】 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，因此可以用线性回归模型来估计总材积量。 线性回归模型的斜率 \(b\) 计算如下： \[ b = \frac{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2} = \frac{0.0134}{0.002} = 6.7 \] 截距 \(a\) 计算如下： \[ a = \bar{y} - b \bar{x} = 0.39 - 6.7 \times 0.06 = 0.39 - 0.402 = -0.012 \] 总材积量的估计值 \(Y\) 计算如下： \[ Y = a + b \times \text{总根部横截面积} = -0.012 + 6.7 \times 186 = -0.012 + 1246.2 = 1246.188 \] <eoe> 【答案】 该林区这种树木的总材积量的估计值：1246.188 m³ <eoa> |
【小问 1 详解】} 样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$ 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$ 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$, 平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$ 【小问 2 详解】} $$ \begin{aligned} & r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}} \\ & =\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \end{aligned} $$ 则 $r \approx 0.97$ 【小问 3 详解】} 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \mathrm{~m}^{3}$, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$. 则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$ |
| deepseekr1 | (1)【解析】 估计平均根部横截面积和平均材积量，只需计算样本均值。根部横截面积总和为0.6 m²，样本数n=10，所以平均根部横截面积=0.6/10=0.06 m²。材积量总和为3.9 m³，平均材积量=3.9/10=0.39 m³。<eoe> 【答案】 平均根部横截面积为$0.06\ \mathrm{m}^2$，平均材积量为$0.39\ \mathrm{m}^3$。<eoa> (2)【解析】 样本相关系数公式为： \[ r = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{\sqrt{[n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2][n\sum y_i^2 - (\sum y_i)^2]}} \] 代入已知数据： - 分子：$10 \times 0.2474 - 0.6 \times 3.9 = 2.474 - 2.34 = 0.134$ - 分母：$\sqrt{[10 \times 0.038 - 0.6^2][10 \times 1.6158 - 3.9^2]} = \sqrt{[0.02][0.948]} = \sqrt{0.01896} \approx 0.1377$ - 相关系数：$r = 0.134 / 0.1377 \approx 0.973$，精确到0.01为0.97。<eoe> 【答案】 样本相关系数为$0.97$。<eoa> (3)【解析】 由样本数据得总根部横截面积与总材积量的比例为$3.9 / 0.6 = 6.5\ \mathrm{m}^3/\mathrm{m}^2$。当总根部面积为$186\ \mathrm{m}^2$时，总材积量估计值为$186 \times 6.5 = 1209\ \mathrm{m}^3$。<eoe> 【答案】 该林区这种树木的总材积量估计值为$1209\ \mathrm{m}^3$。<eoa> |
【小问 1 详解】} 样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$ 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$ 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$, 平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$ 【小问 2 详解】} $$ \begin{aligned} & r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}} \\ & =\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \end{aligned} $$ 则 $r \approx 0.97$ 【小问 3 详解】} 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \mathrm{~m}^{3}$, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$. 则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$ |
| gpto1 | **(1) 解析：** 已知根部横截面积的总和为$0.6\ \mathrm{m}^2$，共有$10$棵树，则平均一棵树的根部横截面积为： \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} = \frac{0.6}{10} = 0.06\ \mathrm{m}^2 \] 同理，材积量的总和为$3.9\ \mathrm{m}^3$，则平均一棵树的材积量为： \[ \bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{10} y_i}{10} = \frac{3.9}{10} = 0.39\ \mathrm{m}^3 \] <eoe> **答案** (1) 平均根部横截面积为$0.06\ \mathrm{m}^2$，平均材积量为$0.39\ \mathrm{m}^3$。<eoa> --- **(2) 解析：** 首先计算样本协方差和样本方差。 计算$\bar{x}$和$\bar{y}$： \[ \bar{x} = 0.06\ \mathrm{m}^2,\quad \bar{y} = 0.39\ \mathrm{m}^3 \] 计算$S_{xy}$： \[ S_{xy} = \sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \sum_{i=1}^{10} x_i y_i - n \bar{x} \bar{y} = 0.2474 - 10 \times 0.06 \times 0.39 = 0.2474 - 0.234 = 0.0134 \] 计算$S_{xx}$： \[ S_{xx} = \sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{10} x_i^2 - n \bar{x}^2 = 0.038 - 10 \times (0.06)^2 = 0.038 - 0.036 = 0.002 \] 计算$S_{yy}$： \[ S_{yy} = \sum_{i=1}^{10} (y_i - \bar{y})^2 = \sum_{i=1}^{10} y_i^2 - n \bar{y}^2 = 1.6158 - 10 \times (0.39)^2 = 1.6158 - 1.521 = 0.0948 \] 计算相关系数$r$： \[ r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}} = \frac{0.0134}{\sqrt{0.002 \times 0.0948}} = \frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} = \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \] <eoe> **答案** (2) 样本相关系数为$0.97$。<eoa> --- **(3) 解析：** 已知材积量与根部横截面积近似成正比，即$y = kx$。 根据样本数据估计比例系数$k$： \[ k = \frac{\sum_{i=1}^{10} y_i}{\sum_{i=1}^{10} x_i} = \frac{3.9}{0.6} = 6.5 \] 因此，总材积量的估计值为： \[ \text{总材积量} = k \times \text{总根部横截面积} = 6.5 \times 186\ \mathrm{m}^2 = 1209\ \mathrm{m}^3 \] <eoe> **答案** (3) 该林区这种树木的总材积量估计为$1209\ \mathrm{m}^3$。<eoa> |
【小问 1 详解】} 样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$ 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$ 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$, 平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$ 【小问 2 详解】} $$ \begin{aligned} & r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}} \\ & =\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \end{aligned} $$ 则 $r \approx 0.97$ 【小问 3 详解】} 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \mathrm{~m}^{3}$, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$. 则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$ |
| GPT-4o | (1)【解析】 估计平均一棵树的根部横截面积和材积量，我们可以使用算术平均值。 根部横截面积的平均值： \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} = \frac{0.6}{10} = 0.06 \,\text{m}^2 \] 材积量的平均值： \[ \bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{10} y_i}{10} = \frac{3.9}{10} = 0.39 \,\text{m}^3 \]<eoe> 【答案】 根部横截面积的平均值为0.06 m²，材积量的平均值为0.39 m³。<eoa> (2)【解析】 样本相关系数的公式为： \[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}} \] 利用给定的数据计算相关系数，首先计算： \[ \sum_{i=1}^{10} x_i = 0.6, \quad \sum_{i=1}^{10} y_i = 3.9 \] \[ \bar{x} = 0.06, \quad \bar{y} = 0.39 \] 计算分子： \[ \sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \sum_{i=1}^{10} x_i y_i - n \bar{x} \bar{y} = 0.2474 - 10 \cdot 0.06 \cdot 0.39 = 0.2474 - 0.234 = 0.0134 \] 计算分母： \[ \sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{10} x_i^2 - n \bar{x}^2 = 0.038 - 10 \cdot 0.06^2 = 0.038 - 0.036 = 0.002 \] \[ \sum_{i=1}^{10} (y_i - \bar{y})^2 = \sum_{i=1}^{10} y_i^2 - n \bar{y}^2 = 1.6158 - 10 \cdot 0.39^2 = 1.6158 - 1.521 = 0.0948 \] 因此，相关系数为： \[ r = \frac{0.0134}{\sqrt{0.002 \cdot 0.0948}} = \frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} = \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \] 精确到0.01，相关系数为0.97。<eoe> 【答案】 根部横截面积与材积量的样本相关系数为0.97。<eoa> (3)【解析】 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，利用回归分析的方法可以估计总材积量。 线性回归模型： \[ y = a + bx \] 其中，斜率 \( b \) 和截距 \( a \) 分别为： \[ b = \frac{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2} = \frac{0.0134}{0.002} = 6.7 \] \[ a = \bar{y} - b \bar{x} = 0.39 - 6.7 \times 0.06 = 0.39 - 0.402 = -0.012 \] 所以回归方程为： \[ y = -0.012 + 6.7x \] 根据题意，所有树木的根部横截面积总和为186 m²，估计总材积量为： \[ \text{总材积量} = -0.012 \times \text{树木总数} + 6.7 \times 186 |
【小问 1 详解】} 样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$ 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$ 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$, 平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$ 【小问 2 详解】} $$ \begin{aligned} & r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}} \\ & =\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \end{aligned} $$ 则 $r \approx 0.97$ 【小问 3 详解】} 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \mathrm{~m}^{3}$, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$. 则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$ |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】根据题意, 样本的根部横截面积与材积量的平均值分别为\overline{x}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}x_{i}=\frac{1}{10}\times0.6=0.06,\overline{y}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}y_{i}=\frac{1}{10}\times3.9=0.39,所以该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量的估计值分别为0.06\mathrm{~m}^{2}和0.39\mathrm{~m}^{3}.<eoe>><eoe>【答案】0.06,0.39<eoa>(2)【解析】由题意,样本的根部横截面积与材积量的方差分别为S_{x}^{2}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}-\overline{x}^{2}=\frac{1}{10}\times0.038-0.06^{2}=0.0018,S_{y}^{2}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}y_{i}^{2}-\overline{y}^{2}=\frac{1}{10}\times1.6158-0.39^{2}=0.06158,样本的根部横截面积与材积量的协方差为S_{xy}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}x_{i}y_{i}-\overline{x}\overline{y}=\frac{1}{10}\times0.2474-0.06\times0.39=0.00954,所以该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数为r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{x}^{2}S_{y}^{2}}}=\frac{0.00954}{\sqrt{0.0018\times0.06158}}\approx0.98<eoe>><eoe>【答案】0.98<eoa>(3)【解析】由题意,树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,即y=kx,所以\overline{y}=k\overline{x},即0.39=k\times0.06,解得k=6.5,所以y=6.5x,所以该林区这种树木的总材积量的估计值为\sum_{i=1}^{n}y_{i}=6.5\sum_{i=1}^{n}x_{i}=6.5\times186=1209<eoe>><eoe>【答案】1209<eoa> |
【小问 1 详解】} 样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$ 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$ 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$, 平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$ 【小问 2 详解】} $$ \begin{aligned} & r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}} \\ & =\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \end{aligned} $$ 则 $r \approx 0.97$ 【小问 3 详解】} 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \mathrm{~m}^{3}$, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$. 则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$ |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)【解析】由题意可得: \begin{cases}\bar{x}=\frac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}x_{i}=\frac{1}{10}\times0.6=0.06\\\bar{y}=\frac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}y_{i}=\frac{1}{10}\times3.9=0.39\end{cases},即该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m^{2},平均一棵的材积量为0.39m^{3}.<eoe> 【答案】\begin{cases}0.06\\0.39\end{cases}<eoa> (2)【解析】由题意可得: \begin{cases}\sum\limits_{i=1} |
【小问 1 详解】} 样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$ 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$ 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$, 平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$ 【小问 2 详解】} $$ \begin{aligned} & r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}} \\ & =\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \end{aligned} $$ 则 $r \approx 0.97$ 【小问 3 详解】} 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \mathrm{~m}^{3}$, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$. 则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$ |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 要估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量，我们需要计算根部横截面积和材积量的平均值。根部横截面积的总和为0.6，材积量的总和为3.9，样本数量为10。因此，平均根部横截面积和平均材积量分别为：\n\n\\[\n\\bar{x} = \\frac{\\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} = \\frac{0.6}{10} = 0.06\n\\]\n\n\\[\n\\bar{y} = \\frac{\\sum_{i=1}^{10} y_i}{10} = \\frac{3.9}{10} = 0.39\n\\]\n\n<eoe>\n【答案】\n\\[\n\\bar{x} = 0.06, \\quad \\bar{y} = 0.39\n\\]\n<eoa>\n\n(2)【解析】 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数，我们需要使用相关系数公式：\n\n\\[\nr = \\frac{\\sum_{i=1}^{10} (x_i - \\bar{x})(y_i - \\bar{y})}{\\sqrt{\\sum_{i=1}^{10} (x_i - \\bar{x})^2 \\sum_{i=1}^{10} (y_i - \\bar{y})^2}}\n\\]\n\n首先计算分子部分：\n\n\\[\n\\sum_{i=1}^{10} (x_i - \\bar{x})(y_i - \\bar{y}) = \\sum_{i=1}^{10} x_i y_i - 10 \\bar{x} \\bar{y} = 0.2474 - 10 \\times 0.06 \\times 0.39 = 0.2474 - 0.234 = 0.0134\n\\]\n\n然后计算分母部分：\n\n\\[\n\\sum_{i=1}^{10} (x_i - \\bar{x})^2 = \\sum_{i=1}^{10} x_i^2 - 10 \\bar{x}^2 = 0.038 - 10 \\times 0.06^2 = 0.038 - 0.036 = 0.002\n\\]\n\n\\[\n\\sum_{i=1}^{10} (y_i - \\bar{y})^2 = \\sum_{i=1}^{10} y_i^2 - 10 \\bar{y}^2 = 1.6158 - 10 \\times 0.39^2 = 1.6158 - 1.521 = 0.0948\n\\]\n\n因此，分母为：\n\n\\[\n\\sqrt{\\sum_{i=1}^{10} (x_i - \\bar{x})^2 \\sum_{i=1}^{10} (y_i - \\bar{y})^2} = \\sqrt{0.002 \\times 0.0948} = \\sqrt{0.0001896} \\approx 0.01377\n\\]\n\n所以，相关系数为：\n\n\\[\nr = \\frac{0.0134}{0.01377} \\approx 0.97\n\\]\n\n<eoe>\n【答案】\n\\[\nr \\approx 0.97\n\\]\n<eoa>\n\n(3)【解析】 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，因此可以假设每棵树的材积量与根部横截面积的比值为常数。设这个比值为 \\( k \\)，则有：\n\n\\[\nk = \\frac{\\bar{y}}{\\bar{x}} = \\frac{0.39}{0.06} = 6.5\n\\]\n\n所有树木的根部横截面积总和为186 m²，因此总材积量的估计值为：\n\n\\[\n\\text{总材积量} = k \\times 186 = 6.5 \\times 186 = 1209 \\text{ m}^3\n\\]\n\n<eoe>\n【答案】\n\\[\n\\text{总材积量} = 1209 \\text{ m}^3\n\\]\n<eoa>" | 【小问 1 详解】} 样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$ 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$ 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$, 平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$ 【小问 2 详解】} $$ \begin{aligned} & r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}} \\ & =\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \end{aligned} $$ 则 $r \approx 0.97$ 【小问 3 详解】} 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \mathrm{~m}^{3}$, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$. 则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$ |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】\n要估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量，我们分别计算根部横截面积和材积量的平均值。平均值通过总和除以样本数量得到。\n\n【答案】\n平均根部横截面积 $\\bar{x} = \\frac{0.6}{10} = 0.06 \\, \\mathrm{m}^2$\n\n平均材积量 $\\bar{y} = \\frac{3.9}{10} = 0.39 \\, \\mathrm{m}^3$<eoa>\n\n(2)【解析】\n样本相关系数 $r$ 可以通过给定的公式计算，其中所有必要的和已经给出。首先，我们使用给定的公式计算分子和分母，然后求比值。\n\n【答案】\n分子 $\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10}\\left(x_{\\mathrm{i}}-\\bar{x}\\right)\\left(y_{\\mathrm{i}}-\\bar{y}\\right) = \\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10} x_{\\mathrm{i}} y_{\\mathrm{i}} - 10\\bar{x}\\bar{y} = 0.2474 - 10 \\times 0.06 \\times 0.39 = 0.2474 - 2.34 = 0.0134$\n\n分母 $\\sqrt{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10}\\left(x_{\\mathrm{i}}-\\bar{x}\\right)^{2} \\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10}\\left(y_{\\mathrm{i}}-\\bar{y}\\right)^{2}} = \\sqrt{(\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10} x_{\\mathrm{i}}^{2} - 10\\bar{x}^2)(\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10} y_{\\mathrm{i}}^{2} - 10\\bar{y}^2)} = \\sqrt{(0.038 - 10 \\times 0.06^2)(1.6158 - 10 \\times 0.39^2)} = \\sqrt{(0.038 - 0.36)(1.6158 - 1.521)} = \\sqrt{-0.322 \\times 0.0948} = \\sqrt{-0.0304416}$\n\n注意到分母中出现了负数，这可能是因为计算中直接使用了给定的和值，而没有正确处理平方和与平均值的关系。正确的分母计算应为：\n\n分母 $\\sqrt{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10} x_{\\mathrm{i}}^{2} - 10\\bar{x}^2} \\times \\sqrt{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10} y_{\\mathrm{i}}^{2} - 10\\bar{y}^2} = \\sqrt{0.038 - 10 \\times 0.06^2} \\times \\sqrt{1.6158 - 10 \\times 0.39^2} = \\sqrt{0.038 - 0.36} \\times \\sqrt{1.6158 - 1.521} = \\sqrt{-0.322} \\times \\sqrt{0.0948}$\n\n这里分母的计算实际上应该是：\n\n分母 $\\sqrt{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10} x_{\\mathrm{i}}^{2} - 10\\bar{x}^2} \\times \\sqrt{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10} y_{\\mathrm{i}}^{2} - 10\\bar{y}^2} = \\sqrt{0.038 - 10 \\times 0.06^2} \\times \\sqrt{1.6158 - 10 \\times 0.39^2} = \\sqrt{0.038 - 0.36} \\times \\sqrt{1.6158 - 1.521} = \\sqrt{0.002} \\times \\sqrt{0.0948} = \\sqrt{0.002 \\times 0.0948} = \\sqrt{0.00019}$\n\n相关系数 $r = \\frac{0.0134}{\\sqrt{0.00019}} \\approx 0.92$ (精确到0.01)<eoa>\n\n(3)【解析】\n由题意知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，因此可以使用线性关系估计总材积量。首先，计算每单位根部横截面积对应的平均材积量，然后乘以所有树木的根部横截面积总和。\n\n【答案】\n每单位根部横截面积对应的平均材积量为 $\\frac{\\bar{y}}{\\bar{x}} = \\frac{0.39}{0.06} = 6.5 \\, \\mathrm{m}^3/\\mathrm{m}^2$\n\n总材积量的估计值为 $186 \\times 6.5 = 1209 \\, \\mathrm{m}^3$<eoa>" | 【小问 1 详解】} 样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$ 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$ 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$, 平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$ 【小问 2 详解】} $$ \begin{aligned} & r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}} \\ & =\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \end{aligned} $$ 则 $r \approx 0.97$ 【小问 3 详解】} 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \mathrm{~m}^{3}$, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$. 则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$ |
| baichuan4 | (1)【解析】 要估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量，我们需要计算样本中根部横截面积和材积量的平均值。平均值的计算公式为样本总和除以样本数量。 对于根部横截面积的平均值，我们有： $$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} = \frac{0.6}{10} = 0.06 \, \mathrm{m}^2$$ 对于材积量的平均值，我们有： $$\bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{10} y_i}{10} = \frac{3.9}{10} = 0.39 \, \mathrm{m}^3$$ 因此，平均一棵的根部横截面积是 $0.06 \, \mathrm{m}^2$，平均一棵的材积量是 $0.39 \, \mathrm{m}^3$。 【答案】 平均一棵的根部横截面积是 $0.06 \, \mathrm{m}^2$，平均一棵的材积量是 $0.39 \, \mathrm{m}^3$。 (2)【解析】 要求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数，我们可以使用相关系数的计算公式： $$r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}$$ 我们已经知道 $\bar{x} = 0.06$ 和 $\bar{y} = 0.39$，以及 $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 0.038$，$\sum_{i=1}^{10} y_i^2 = 1.6158$，$\sum_{i=1}^{10} x_i y_i = 0.2474$。 首先计算分子： $$\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \sum_{i=1}^{10} x_i y_i - 10\bar{x}\bar{y} = 0.2474 - 10 \cdot 0.06 \cdot 0.39 = 0.2474 - 0.234 = 0.0134$$ 然后计算分母： $$\sqrt{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{10} (y_i - \bar{y})^2} = \sqrt{0.038 - 10 \cdot 0.06^2} \sqrt{1.6158 - 10 \cdot 0.39^2} = \sqrt{0.038 - 0.036} \sqrt{1.6158 - 1.521} = \sqrt{0.002} \sqrt{0.0948} = 0.0447 \cdot 0.308 = 0.0137$$ 因此，相关系数 $r$ 为： $$r = \frac{0.0134}{0.0137} = 0.978$$ 四舍五入到两位小数，得到 $r = 0.98$。 【答案】 该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数为 $0.98$。 (3)【解析】 由于树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，我们可以使用比例关系来估计总材积量。设总材积量为 $Y$，则有： $$\frac{Y}{186} = \frac{3.9}{0.6}$$ 解这个方程，我们得到： $$Y = 186 \cdot \frac{3.9}{0.6} = 186 \cdot 6.5 = 1209$$ 因此，该林区这种树木的总材积量的估计值为 $1209 \, \mathrm{m}^3$。 【答案】 该林区这种树木的总材积量的估计值为 $1209 \, \mathrm{m}^3$。 |
【小问 1 详解】} 样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$ 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$ 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$, 平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$ 【小问 2 详解】} $$ \begin{aligned} & r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}} \\ & =\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \end{aligned} $$ 则 $r \approx 0.97$ 【小问 3 详解】} 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \mathrm{~m}^{3}$, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$. 则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$ |
| doubao | (1)【解析】平均一棵的根部横截面积为：$\overline{x}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}x_i=\frac{0.6}{10}=0.06$（$m^2$）；平均一棵的材积量为：$\overline{y}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}y_i=\frac{3.9}{10}=0.39$（$m^3$）。<eoe> 【答案】平均一棵的根部横截面积为 0.06$m^2$，平均一棵的材积量为 0.39$m^3$。<eoa> (2)【解析】样本相关系数$r=\frac{\sum_{i=1}^{10}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{10}(x_i-\overline{x})^2\sum_{i=1}^{10}(y_i-\overline{y})^2}}=\frac{\sum_{i=1}^{10}x_iy_i-10\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{(\sum_{i=1}^{10}x_i^2-10\overline{x}^2)(\sum_{i=1}^{10}y_i^2-10\overline{y}^2)}}=\frac{0.2474-10\times0.06\times0.39}{\sqrt{(0.038-10\times0.06^2)(1.6158-10\times0.39^2)}}\approx\frac{0.2474-0.234}{\sqrt{(0.038-0.036)(1.6158-1.521)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.002\times0.0948}}\approx0.97$。<eoe> 【答案】0.97。<eoa> (3)【解析】已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，设比例系数为$k$，则$y=kx$，由(1)可知$\overline{y}=k\overline{x}$，即$0.39=k\times0.06$，解得$k=6.5$。已知所有这种树木的根部横截面积总和为$186m^2$，则总材积量估计值为$6.5\times186=1209$（$m^3$）。<eoe> 【答案】1209$m^3$。<eoa> |
【小问 1 详解】} 样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$ 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$ 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$, 平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$ 【小问 2 详解】} $$ \begin{aligned} & r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}} \\ & =\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \end{aligned} $$ 则 $r \approx 0.97$ 【小问 3 详解】} 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \mathrm{~m}^{3}$, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$. 则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$ |
| minimax | (1)【解析】要估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量，我们需要计算所有树木根部横截面积的平均值和所有树木材积量的平均值。平均值是所有值的总和除以值的数量。对于根部横截面积，我们将所有树木的根部横截面积相加得到总和，然后除以树木的数量（10棵）。对于材积量，我们同样将所有树木的材积量相加得到总和，然后除以树木的数量。<eoe> 【答案】 根部横截面积的平均值 $\bar{x}$ 计算如下： $$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} = \frac{0.6}{10} = 0.06 \, \mathrm{m}^{2}$$ 材积量的平均值 $\bar{y}$ 计算如下： $$\bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{10} y_i}{10} = \frac{3.9}{10} = 0.39 \, \mathrm{m}^{3}$$<eoa> (2)【解析】样本相关系数是衡量两个变量之间线性相关程度的统计量。根据题目给出的相关系数公式，我们可以计算出样本相关系数。首先，我们需要计算每个变量的平均值，然后计算每个变量与其平均值的差的乘积之和，最后将这个乘积之和除以每个变量与其平均值差的平方和的乘积的平方根。由于题目已经给出了根部横截面积和材积量的平方和以及它们的乘积和，我们可以直接代入公式计算。<eoe> 【答案】 根据题目给出的相关系数公式： $$r = \frac{\sum_{i=1}^{10}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{10}(x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{10}(y_i - \bar{y})^2}}$$ 我们已知： $$\sum_{i=1}^{10} x_i y_i = 0.2474$$ $$\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 0.038$$ $$\sum_{i=1}^{10} y_i^2 = 1.6158$$ $$\bar{x} = 0.06$$ $$\bar{y} = 0.39$$ 代入公式计算： $$r = \frac{0.2474 - 10 \cdot 0.06 \cdot 0.39}{\sqrt{(0.038 - 10 \cdot 0.06^2)(1.6158 - 10 \cdot 0.39^2)}}$$ $$r = \frac{0.2474 - 0.234}{\sqrt{(0.038 - 0.036)(1.6158 - 1.521)}}$$ $$r = \frac{0.0134}{\sqrt{0.002 \cdot 0.0948}}$$ $$r = \frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}}$$ $$r = \frac{0.0134}{0.01377}$$ $$r \approx 0.973$$ 所以，该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数约为 0.97（精确到 0.01）。<eoa> (3)【解析】由于树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，我们可以使用比例关系来估计总材积量。首先，我们已经知道了平均一棵树的根部横截面积和材积量，以及所有树木根部横截面积的总和。我们可以用所有树木根部横截面积的总和除以平均一棵树的根部横截面积，得到树木的总数。然后，将这个总数乘以平均一棵树的材积量，得到总材积量的估计值。<eoe> 【答案】 首先计算树木的总数： $$\text{树木总数} = \frac{\text{所有树木根部横截面积的总和}}{\text{平均一棵树的根部横截面积}} = \frac{186}{0.06} = 3100$$ 然后计算总材积量的估计值： $$\text{总材积量} = \text{树木总数} \times \text{平均一棵树的材积量} = 3100 \times 0.39 = 1209 \, \mathrm{m}^{3}$$ 所以，该林区这种树木的总材积量的估计值为 1209 立方米。<eoa> |
【小问 1 详解】} 样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$ 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$ 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$, 平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$ 【小问 2 详解】} $$ \begin{aligned} & r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}} \\ & =\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \end{aligned} $$ 则 $r \approx 0.97$ 【小问 3 详解】} 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \mathrm{~m}^{3}$, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$. 则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$ |
| kimi | (1)【解析】 要估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量，我们需要计算横截面积和材积量的样本均值。 样本均值的计算公式为： $$ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $$ $$ \bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} y_i}{n} $$ 其中，$n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 棵树的根部横截面积，$y_i$ 是第 $i$ 棵树的材积量。 <eoe> 【答案】 $$ \bar{x} = \frac{0.6}{10} = 0.06 \, \mathrm{m}^2 $$ $$ \bar{y} = \frac{3.9}{10} = 0.39 \, \mathrm{m}^3 $$ <eoa> (2)【解析】 求样本相关系数 $r$，需要使用已给的相关系数公式： $$ r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}} $$ 首先计算 $x_i - \bar{x}$ 和 $y_i - \bar{y}$ 的值，然后计算分子和分母。 <eoe> 【答案】 首先计算 $x_i - \bar{x}$ 和 $y_i - \bar{y}$： $$ x_1 - \bar{x} = 0.04 - 0.06 = -0.02 $$ $$ y_1 - \bar{y} = 0.25 - 0.39 = -0.14 $$ ...（对所有样本进行同样的计算） 然后计算分子和分母： $$ \text{分子} = \sum_{i=1}^{10}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = -0.02 \times (-0.14) + ... + (0.06 - 0.06) \times (0.40 - 0.39) $$ $$ \text{分母} = \sqrt{\sum_{i=1}^{10}(x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{10}(y_i - \bar{y})^2} = \sqrt{(0.02^2 + ... + 0.00^2)(0.14^2 + ... + 0.01^2)} $$ 代入已知的和： $$ \text{分子} = 0.2474 $$ $$ \text{分母} = \sqrt{0.038 \times 1.6158} $$ $$ r = \frac{0.2474}{\sqrt{0.038 \times 1.6158}} $$ $$ r = \frac{0.2474}{\sqrt{0.061284}} $$ $$ r = \frac{0.2474}{0.2475} $$ $$ r \approx 1.00 $$ 精确到0.01，相关系数 $r \approx 1.00$。 <eoa> (3)【解析】 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，设比例系数为 $k$，则有： $$ y = kx $$ 根据给定的样本数据，可以求得 $k$ 的估计值： $$ k = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} $$ 然后使用 $k$ 来估计总材积量： $$ \text{总材积量} = k \times \text{总横截面积} $$ <eoe> 【答案】 首先计算比例系数 $k$： $$ k = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} = \frac{0.39}{0.06} = 6.5 $$ 然后计算总材积量： $$ \text{总材积量} = 6.5 \times 186 = 1209 \, \mathrm{m}^3 $$ 所以，该林区这种树木的总材积量的估计值为 $1209 \, \mathrm{m}^3$。 <e |
【小问 1 详解】} 样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$ 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$ 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$, 平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$ 【小问 2 详解】} $$ \begin{aligned} & r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}} \\ & =\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \end{aligned} $$ 则 $r \approx 0.97$ 【小问 3 详解】} 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \mathrm{~m}^{3}$, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$. 则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$ |
| wenxinyiyan | (1)【解析】根据表格数据，利用平均数公式计算平均根部横截面积和平均材积量。 【答案】 平均根部横截面积 $\bar{x} = \frac{0.6}{10} = 0.06m^{2}$， 平均材积量 $\bar{y} = \frac{3.9}{10} = 0.39m^{3}$。 (2)【解析】根据给定的相关系数公式，代入已知数据计算样本相关系数。 【答案】 相关系数 $r = \frac{0.2474 - 10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{0.038 - 10 \times {0.06}^{2}} \times \sqrt{1.6158 - 10 \times {0.39}^{2}}} \approx \frac{0.2474 - 0.234}{\sqrt{0.038 - 0.036} \times \sqrt{1.6158 - 1.521}} \approx 0.98$。 (3)【解析】根据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比的关系，利用比例关系估计总材积量。 【答案】 估计的总材积量 $= \frac{0.39}{0.06} \times 186 \approx 1209m^{3}$。 |
【小问 1 详解】} 样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$ 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$ 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$, 平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$ 【小问 2 详解】} $$ \begin{aligned} & r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}} \\ & =\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \end{aligned} $$ 则 $r \approx 0.97$ 【小问 3 详解】} 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \mathrm{~m}^{3}$, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$. 则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$ |
| zhipu | (1)【解析】 要估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量，我们需要计算样本的平均值。 给定数据如下： - 根部横截面积 $x_i$ 的总和为 0.6 $\mathrm{m}^2$ - 材积量 $y_i$ 的总和为 3.9 $\mathrm{m}^3$ - 样本数量 $n = 10$ 平均根部横截面积 $\bar{x}$ 计算公式为： $$ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{n} = \frac{0.6}{10} $$ 平均材积量 $\bar{y}$ 计算公式为： $$ \bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{10} y_i}{n} = \frac{3.9}{10} $$ <eoe> 【答案】 平均根部横截面积 $\bar{x}$ 为： $$ \bar{x} = \frac{0.6}{10} = 0.06 \mathrm{~m}^2 $$ 平均材积量 $\bar{y}$ 为： $$ \bar{y} = \frac{3.9}{10} = 0.39 \mathrm{~m}^3 $$ <eoa> (2)【解析】 要求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数 $r$，我们需要使用相关系数的公式： $$ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}} $$ 已知数据： - $\sum_{i=1}^{10} x_i y_i = 0.2474$ - $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 0.038$ - $\sum_{i=1}^{10} y_i^2 = 1.6158$ - $\bar{x} = 0.06$ - $\bar{y} = 0.39$ - $n = 10$ 首先计算分子部分： $$ \sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \sum_{i=1}^{10} x_i y_i - n \bar{x} \bar{y} = 0.2474 - 10 \times 0.06 \times 0.39 $$ 然后计算分母部分： $$ \sqrt{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{10} (y_i - \bar{y})^2} = \sqrt{\left(\sum_{i=1}^{10} x_i^2 - n \bar{x}^2\right) \left(\sum_{i=1}^{10} y_i^2 - n \bar{y}^2\right)} $$ $$ = \sqrt{(0.038 - 10 \times 0.06^2) (1.6158 - 10 \times 0.39^2)} $$ 将以上结果代入相关系数公式中进行计算。 <eoe> 【答案】 首先计算分子部分： $$ \sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 0.2474 - 10 \times 0.06 \times 0.39 = 0.2474 - 0.234 = 0.0134 $$ 然后计算分母部分： $$ \sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 = 0.038 - 10 \times 0.06^2 = 0.038 - 0.0036 = 0.0344 $$ $$ \sum_{i=1}^{10} (y_i - \bar{y})^2 = 1.6158 - 10 \times 0.39^2 = 1.6158 - 1.521 = 0.0948 $$ 所以分母为： $$ \sqrt{0.0344 \times 0.0948} = \sqrt{0.00325552} \approx 0.0570 $$ 相关系数 $r$ 为： $$ r = \frac{0.0134}{0.0570} \approx 0.23 $$ <eoa> (3)【解析】 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，即 $y \propto x$，可以写成 $y = kx$，其中 $k$ 是比例常数。 首先利用样本数据求出比例常数 $k$： $$ k = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} = \frac{0.39}{0.06} $$ 然后利用该比例常数和所有树木的根部横截面积总和来估计总材积量： $$ \text{总材积量} = k \times \text{所有树木的根部横截面积总和} = k \times 186 $$ <eoe> 【答案】 首先计算比例常数 $k$： $$ k = \frac{0.39}{0.06} = 6.5 $$ 然后估计总材积量： $$ \text{总材积量} = 6.5 \times 186 = 1209 \mathrm{~m}^3 $$ <eoa> |
【小问 1 详解】} 样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$ 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$ 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$, 平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$ 【小问 2 详解】} $$ \begin{aligned} & r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}} \\ & =\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \end{aligned} $$ 则 $r \approx 0.97$ 【小问 3 详解】} 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \mathrm{~m}^{3}$, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$. 则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$ |
| gpto1 | **(1) 解析：** 已知根部横截面积的总和为$0.6\ \mathrm{m}^2$，共有$10$棵树，则平均一棵树的根部横截面积为： \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} = \frac{0.6}{10} = 0.06\ \mathrm{m}^2 \] 同理，材积量的总和为$3.9\ \mathrm{m}^3$，则平均一棵树的材积量为： \[ \bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{10} y_i}{10} = \frac{3.9}{10} = 0.39\ \mathrm{m}^3 \] <eoe> **答案** (1) 平均根部横截面积为$0.06\ \mathrm{m}^2$，平均材积量为$0.39\ \mathrm{m}^3$。<eoa> --- **(2) 解析：** 首先计算样本协方差和样本方差。 计算$\bar{x}$和$\bar{y}$： \[ \bar{x} = 0.06\ \mathrm{m}^2,\quad \bar{y} = 0.39\ \mathrm{m}^3 \] 计算$S_{xy}$： \[ S_{xy} = \sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \sum_{i=1}^{10} x_i y_i - n \bar{x} \bar{y} = 0.2474 - 10 \times 0.06 \times 0.39 = 0.2474 - 0.234 = 0.0134 \] 计算$S_{xx}$： \[ S_{xx} = \sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{10} x_i^2 - n \bar{x}^2 = 0.038 - 10 \times (0.06)^2 = 0.038 - 0.036 = 0.002 \] 计算$S_{yy}$： \[ S_{yy} = \sum_{i=1}^{10} (y_i - \bar{y})^2 = \sum_{i=1}^{10} y_i^2 - n \bar{y}^2 = 1.6158 - 10 \times (0.39)^2 = 1.6158 - 1.521 = 0.0948 \] 计算相关系数$r$： \[ r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}} = \frac{0.0134}{\sqrt{0.002 \times 0.0948}} = \frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} = \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \] <eoe> **答案** (2) 样本相关系数为$0.97$。<eoa> --- **(3) 解析：** 已知材积量与根部横截面积近似成正比，即$y = kx$。 根据样本数据估计比例系数$k$： \[ k = \frac{\sum_{i=1}^{10} y_i}{\sum_{i=1}^{10} x_i} = \frac{3.9}{0.6} = 6.5 \] 因此，总材积量的估计值为： \[ \text{总材积量} = k \times \text{总根部横截面积} = 6.5 \times 186\ \mathrm{m}^2 = 1209\ \mathrm{m}^3 \] <eoe> **答案** (3) 该林区这种树木的总材积量估计为$1209\ \mathrm{m}^3$。<eoa> |
【小问 1 详解】} 样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$ 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$ 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$, 平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$ 【小问 2 详解】} $$ \begin{aligned} & r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}} \\ & =\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \end{aligned} $$ 则 $r \approx 0.97$ 【小问 3 详解】} 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \mathrm{~m}^{3}$, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$. 则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$ |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-04128e72-5250-9a13-90e5-f7fe1022f21e', 'request_id': '04128e72-5250-9a13-90e5-f7fe1022f21e'} | 【小问 1 详解】} 样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$ 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$ 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$, 平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$ 【小问 2 详解】} $$ \begin{aligned} & r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}} \\ & =\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97 \end{aligned} $$ 则 $r \approx 0.97$ 【小问 3 详解】} 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \mathrm{~m}^{3}$, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$. 则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$ |